第12章 微专题4 通过“截长补短”构造全等-【宝典训练】2023-2024学年八年级上册数学高效课堂课件(人教版)

第十二章　全等三角形 微专题4　通过“截长补短”构造全等 例1 变1 例2 变2 截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等． 　 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB＋BD． 返回首页 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 证明：如答图，在AC上截取AE＝AB，连接DE， ∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠EAD． 又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADE(SAS)， ∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB． 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形， ∴DE＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD． 返回首页 答图 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 　 如图，已知在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是△ABC的角平分线．求证：AC＝AB＋BD． 返回首页 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 证明：如答图，延长AB到F，使AF＝AC，连接DF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAD＝∠CAD． ∴△FAD≌△CAD(SAS)，∴∠F＝∠C． ∵∠ABC＝2∠C，∠ABC＝∠F＋∠BDF， ∴∠F＝∠BDF，∴BD＝BF，∴AC＝AF＝AB＋BD． 返回首页 答图 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 　 如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C．求证：AD＋BC＝AB． 证明：在线段AB上取AF＝AD，连接EF，如答图， 返回首页 ∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠D＝∠AFE. 由AD∥CB又可得∠C＋∠D＝180°， ∴∠AFE＋∠C＝180°. 答图 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 又∵∠BFE＋∠AFE＝180°， ∴∠C＝∠BFE. 返回首页 ∴△CBE≌△FBE(AAS)．∴BC＝BF. ∵AB＝BF＋AF， ∴AB＝AD＋BC． 答图 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 　 　如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD，求证：∠A＋∠C＝180°. 证明：方法1　截长 如答图1，在BC上截取BE，使BE＝AB，连接DE， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC．又BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴∠A＝∠BED，AD＝DE. ∵AD＝CD，∴DE＝DC，∴∠C＝∠DEC． ∵∠BED＋∠DEC＝180°，∴∠A＋∠C＝180°. 返回首页 答图1 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 方法2　补短 如答图2，延长BA到点E，使BE＝BC． ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC．又BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD(SAS)， ∴∠E＝∠C，DC＝DE. ∵AD＝CD，∴DE＝AD，∴∠E＝∠EAD． ∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°. 返回首页 答图2 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 方法3　构造直角三角形全等 如答图3，作DE⊥BC于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F， ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC． ∵DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF＝DE. 又AD＝CD， ∴Rt△FAD≌Rt△ECD(HL)，∴∠FAD＝∠C． ∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°. 返回首页 答图3 例1 变1 例2 变2 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 课堂小结： 结构特点：已知角平分线，证明线段和差或者角度关系问题． 处理策略：在角两边截取相等的线段，特殊的时候会做垂线，这就是常见的截长补短法来构造全等． 返回首页 第 ‹#› 页 微专题4　通过“截长补短”构造全等 本节内容到此结束！ logo 在△FAD和△CAD中， 在△ADE和△AFE中， 在△CBE和△FBE中， $$