海南省农垦实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

1海南省农垦实验中学2025届高三10月月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分钟 命题人：龙仕满 审题人：张丹丹 一、单选题（每题5分，共8题，满分40分） 1． =（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则中所有元素之和为（   ） A． B． C．0 D．2 3．若，α是第三象限的角，则=（　　） A． B． C． D． 4．函数在区间上的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．“”是“函数有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质. 现有四个函数:①，②，③;④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（     ）. A．①②③④ B．①③②④ C．②①③④ D．③②①④ 8．函数有一个极值点,则实数的取值范围(　 　) A． B． C．或 D．或 二、多选题（每题6分，共3题，满分18分） 9．下列说法正确的有（    ） A．在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB B．等差数列中，成等比数列，则公比为 C．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为5＋2 D．在△ABC中，已知＝＝，则A＝60° 10．下列说法正确的是（    ） A．在范围内，与角终边相同的角是 B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 C．不等式的解集为 D．函数的定义域是 11．已知，则下列说法正确的有（    ） A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极小值 D．若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 三、填空题（每题5分，共3题，满分15分） 12．函数 的极大值为 ；极小值为 . 13．已知，求 14．已知函数，若对任意实数都有，则实数的取值范围是 . 四、解答题（共5题，满分77分） 15．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（15分）已知函数. (1)求的最小正周期及函数的单调增区间； (2)当时，求的最大值和最小值. (3)中，角所对的边分别为，且为锐角.若，求. 18．（17分）某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列. （1）求的值； （2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为该网购平台的消费金额与性别有关？ （3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替） 列联表         男性 女性 合计 消费金额 消费金额 合计 临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，其中 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，证明：当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A C D B ACD ABD 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】根据两角和的正弦公式可求出结果. 【详解】. 故选：A 2．B 【分析】根据指数函数单调性求集合A，进而求即可得结果. 【详解】由题意可得：， 可得，所以中所有元素之和为. 故选：B. 3．D 【分析】由已知求得，然后展开两角差的正弦求解． 【详解】解：∵，α是第三象限的角， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题． 4．C 【分析】先对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值 【详解】由，得，由，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值， 故选：C 5．A 【详解】试题分析：令，若有解，则，即；， “”是“函数有零点”的充分不必要条件. 考点：1.函数的零点；2.充分条件、必要条件. 6．C 【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】，，，，， ，所以. 故选：C 7．D 【分析】利用函数的奇偶性定义判断函数的对称性、区间符号及是否成立，判断各函数对应的图象即可. 【详解】①由且定义域为R，故为奇函数且，第三个图象符合要求； ②由且定义域为R，故为偶函数，第二个图象符合要求； ③对于在上恒正且，第一个图象符合要求； ④对于，由对勾函数的性质，在上恒正且图象关于原点对称，第四个图象符合要求. 综上，序号安排为③②①④. 故选：D 8．B 【分析】因为函数有一个极值点,可得有一个解,即有一个正实数解,分别讨论方程解情况,即可求得答案. 【详解】函数的定义域为: 又函数有一个极值点 有一个解 即有一个解 ①当,解得: 又当时, 的值恒为非负 此时没有极值,故不符合题意. ②当,有两个不同解,且一正一负时 根据韦达定理可得:,即 解得:. ③当,有两个不同解,且一个解为:. 解得:. 可得:故 符合题意. 综上所述,. 故选:B. 【点睛】本题考查根据极点求参数范围,解题关键是掌握极点概念和根据一元二次方程根所在区间求参数的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 9．ACD 【分析】对于A，利用大角对大边和正弦定理判断即可，对于B，利用等差数列和等比数列的性质进行计算判断，对于C，利用基本不等式判断，对于D，利用正弦定理判断 【详解】对于A，在△ABC中，当A＞B，则，由正弦定理可得，所以A正确， 对于B，设等差数列{an}的公差为，则，因为a1、a3、a4成等比数列，所以，解得或，当时，公比为1，当时，公比为，所以B错误， 对于C，因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以，当且仅当时，取等号，所以C正确， 对于D，因为＝＝，所以由正弦定理得，所以，因为，所以，所以D正确， 故选：ACD 10．ABD 【分析】根据终边相同角的表示判断A，由锐角三角函数求出圆的半径，再由弧长公式，即可判断B，根据正弦函数的性质解不等式，即可判断C，根据正切函数的性质求出函数的定义域，即可判断D. 【详解】对于A：与角终边相同的角为， 令，此时，故A正确； 对于B：设圆的半径为，则，所以， 所以弧长为，故B正确； 对于C：不等式，则， 即不等式的解集为，故C错误； 对于D：对于函数，则，解得， 即函数的定义域为，故D正确； 故选：ABD 11．AD 【分析】根据零点的定义判断，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断B,C,D． 【详解】由得：，即，故函数有唯一零点，故A正确； 由题意可知：， 当时，，则， 当时，，递增；当时，，递减， 则此时的极大值为； 当时，，，在上单调递减， 由此可作出的图象如下：    观察图象可得函数的单调递减区间为，，错， 函数在时有极大值错误， 若关于x的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是，正确， 故选：． 12． 【分析】对函数求导，通过导数判定的单调性，进而可求出极值. 【详解】由于函数的定义域为R， ， 令得或，列表： 1 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为， 故答案为：；. 13．-6 【分析】根据诱导公式和同角三角函数基本公式化简求值即可. 【详解】原式=. 故答案为：-6. 14． 【详解】构造函数，函数为奇函数且在上递减， 即，即，即 ，所以即恒成立，所以，所以 ，故实数的取值范围是． 15．(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 16．(1)证明见解析 (2). 【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角. 【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， ，，， ∵∴， ∵，∴， ∵,且平面，∴平面. （法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， 设是平面的一个法向量. ，. 取，有 ∴，， 则，. ∴平面. （法三）证明：连接 ∵平面，平面,∴. 在中，，. ∵，∴，且， ∴平面， 又∵平面，∴. ∵，又∵， ∴，∴. 且，且平面，∴平面. （2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）. 平面的一个法向量为. . ∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为. （法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN. ∵，∴平面，∵，∴平面. ∴平面平面. 过D做于，连接. ∵平面，∴. 又，， ∴平面，又平面，∴. 又∵，，平面, ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角. 在中，， ∴. ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 17．(1)最小正周期为，单调递增区间为. (2)最大值为，最小值为；（3）. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简原式得到，再利用正弦型函数的周期公式即可求出周期，再由的单调增区间，整体代入即可求解； （2） 令，从而得到，再利用的图象与性质，即可求解. （3） 由 【详解】（1）因为 所以最小正周期为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，令，则， 又时，，得到， 的最大值和最小值分别为，. （3）由（1）可得，又因为所以，所以，即.所以 18．（1），（2）详见解析（3）395元 【分析】（1）根据频率分布直方图可得，结合可得的值. （2）根据表格数据可得，再根据临界值表可得依据小概率值的独立性检验，认为该网购平台的消费金额与性别有关. （3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 由中间三组的人数成等差数列可知， 可解得， （2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人. 所以列联表为 男性 女性 合计 消费金额 20 40 60 消费金额 25 15 40 合计 45 55 100 零假设为该网购平台的消费金额与性别别相互独立（即无关联）. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费金额与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010. （3）调查对象的周平均消费为 ， 由题意，∴ . ∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元. 【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是； （2）两类变量是否相关，应先计算的值，再与临界值比较后可判断是否相关. （3）线性回归方程对应的直线必经过. 19．(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得其切线斜率，即可得其切线方程； （2）分及，结合导数讨论即可得； （3）构造函数，多次求导研究其单调性即可得. 【详解】（1）当时，， 则， ，则， 即曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，恒成立，故在上单调递减； 当时，若，则，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； （3）令， ， 令，则， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 则， 故在上单调递增， 则， 故在上单调递增， 则，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$