安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第四次素质拓展数学试题

合肥一中高三上学期数学素质拓展4 命题、审题人：刘斌陈银科 一，选择题：本大题共8小愿，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.设集合U=R,集合M={x|x2-2x201,N=(x|y=log2(1-x)},则{x|x<2)=() A.MUN B.NU(CM) C.MUCN) D.C(MON) 2.函数f(x)=1+1og2x与g(x)=21在同一直角坐标系下的图象大致是() 3.己知△ABC中，若AB°=-AB,AC+B函，BC+CA,.CB,则△ABC是( A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3)，则b的值为() A.3 B.-3 C.5 D.-5 5.下列叙述中正确的个数是：() ①若a,b,c为平面向量，则(a·b)=a(b·c): ②向量(a,b)-(a,b与a垂直： ③ā=(-3，m),b=(4,3),若ā与6的夹角是钝角，则实数m的取值范围是m<4 ④.记 =8，则向量a在向量6上的投影向量为(a:0e 1b1 A.0 B.1 C.2 D.3 6.若一元二次不等式a,x2+x+G>0,4x+br+G<0的解集分别为M、N,a、4、9、a1、 B、5均不为0，M、N既不是R也不是②，则M=N是三=之=三的《) 43b3C A,充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知0>0，函数f()=sin(ar+)在（任，π）单调递减，则w的取值范围是() 分 B分争c.@ D.(0,2] 8&.定义域在R上的奇函数=号者存在0@号0，使得 f(N5sin0cos)+fk-cos2)>0成立，则实数k的取值范围为( ) A(2,+∞) C(-o,2) 引 9.已知1og2a>1og2b,则下列不等式一定成立的有() A.a2b2 B.a->b-1 cb+9>2 b a b D.(a+1°>(b+1)° d 10.已知函数f(x)=Asin(r+p)(A>0,o>0,0<p<π)的部分图象如图所示，则() 12 6 A.f()=+) B.函数x)的图象关于 (0对格 C.函数fx)的图象关于x 1五对称 D.函数x)在 上单调递增 1 11 已知实数x,y满足ey+之=0，则() A.当y<0时，x+y=0B.当x<0时，x+y=0 C.当x+y≠0时，y-x>2D.当x+y≠0时，-1<y<0 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知a是三角形的内角，若cos2a=cos2a-sin2a,则tana= 13.已知函数f(x)=x(r+a'在x=1处有极小值，则实数a=一 14.圆O,与圆O2半径分别为1和2，两圆外切于点P,点A,B分别为圆0，O上动点， ∠APB=120°，则PA.PB的最小值为 2 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知函数f=m(+}-ox+引+sm爱+ (I)求函数f(x)的最小值，及f(x)取最小值时的x的值： (Ⅲ)将函数)图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变)，再向右平移？个单位。 6 16.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD,AC=√5，AD=1,∠ACD=30 (1)求CD的长： (2)若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围. 17.已知函数f(x)=an(x+)-x (1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：当a>0时，f(x)<(a-1)na+a2 18如图，半圆O的直径为4cm,A为直径延长线上的点，OA=4cm,B为半圆上任意一点，以 AB为一边作等边三角形ABC,设∠AOB=a, ()问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值， (2)克罗狄斯·托勒密(P1oly)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理： 任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号， 根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC (3)求△4OC面积的最大值. 19.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形 成的曲线是什么？这就是著名的"悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 由()-的图象，定义双自正弦硒数sh()-“,类比三角函数的性质可得双曲正弦 2 函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：ch2(x)-sh(x)=1,②倍元关系： sh(2x)=2sh(x)-ch(x). (1)求曲线ch(x)在x=2处的切线斜率： (2)若对任意x>0,都有(x-a-l)(sh(x)+ch(x)22sinr-2(x-a)cosr恒成立，求实数a的取 值范围： (3)(1)证明：当x>0时，sh(x)>x: ()证明： tanl 1 an an3 【an N) 4 合肥一中高三上学期数学素质拓展4 命题、审题人：刘斌陈银科 一，选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.设集合U=R,集合M={xx2-2x20,N=(x|y=log2(1-x)},则(xx<2=() A.MUN B.NU(C,M) C.MUC N) D.C,(MnN） 【答案】B 【解】因为M={x|x2-2x20}=(-o,0U[2,+o,N=(x|y=log2(1-x)》=(-o,1), 所以MN=(-oo,1)U[2,+o),NUCM)=(-oo,U(0,2)=(-o,2)={x|x<2}, M(CuN)=(-oo,0U[2,+o）)[l,+oo)=(-o0,0]U[1,+oo), 因为M∩N=(-o,0],所以Cu(M∩N)=(0,+∞)， 故选：B 2.函数f(x)=1+1og2x与g(x)=2+W在同一直角坐标系下的图象大致是(C) 3.已知△ABC中，若AB=AB.AC+BA,BC+CA.CB,则△ABC是(C) A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形 4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ar+b切于点(1,3)，则b的值为() A.3 B.-3 C.5 D.-5 答案：A 5.下列叙述中正确的个数是：(C) ①若ā，b,c为平面向量，则(ab)元=(b,): ②向量(a·b)-(a.cb与a垂直： ③ā=(-3，m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角，则实数m的取值范围是m<4 ④.记 =e,则向量a在向量万上的投影向量为(a:0记 A.0 B.1C.2D.3 6.若一元二次不等式ax2+x+G>0,ar+bx+c2<0的解集分别为M、N,a、、G、a、 b、5,均不为0，M、N既不是R也不是②，则M=N”是9=2=9的（) az b ca A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过两个一元二次不等式解集的关系，结合充分、必要条件判断即可. 【详解】若一元二次不等式ax2+bx+G>0,a2x2+bx+S2<0的解集分别为M、N, 第1页，试卷共12页 4、年、6、4、么、6均不为0，M、N慨不是R也不是O,若M=N,则9=-之=三 a2 b:Ca 反之，若=2=三，则M=N,例如及=久=三=l, az ba cz 不等式a,r2+x+G>0的解集与不等式ar之+bx+S<0即ax2+bx+G<0的解集不一样， 因此“M=N”是三=久=三的充分不必要条件。 故选：A. 7已知0>0.函数f)=i如(r+孕在（号）单调递减，则0的取值范园是() 导 c.0, D.(0,2] 答案：A【解析】函数f()=sin(ar+)的图像可看作是由函数f(x)=sinx的图像先 向左平移牙个单位得f)=sin(x+孕的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原 来的。倍，纵坐标不变得到的，而函数=sm(x+孕的减区间是？头，所以要 使函数f)=sin(ax+孕在（号）上是减函数， 需满足 5x≥π 解得≤a≤ 41 8.定义城在R上的奇函数0一引号 若存在0e-牙1，使得 f(N5sin0cos)+f(k-cos2)>0成立，则实数k的取值范围为( A(2,+o) c(-0,2) 引 答案：D 因为f(x)是奇函数， 所以四+=投+2+程-2+81+02 2+22m+22+22427=0 即(a-1)(2+1)=0对.x∈R恒成立，所以a=1: f)=-2+1.-11 2+222+1 由指数函数的性质可得f()在R上为减函数，又f(x)是奇函数， f(3sin0cose)+f(k-cos20)>:f(3sin0cos0)>-f(k-cos20)=f(-k+cos20), 所以5sin9cos0<-k+cos20,即k<cos0-Bsin0cos9在0e-牙01上有解， 记g(0=cos28-V3sin0cos0,则k<g0)mn, 第2页，试卷共12页 0=+20-920=n20-名，因为0at-受0，所似20-号et-5g, 6 所以sn00-名a-l-,所以g0-号 所以k<,即实数长的取值范围为（一引 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分。 9.已知log2a>1og2b,则下列不等式一定成立的有() A.a2b2 B.a-2>b-1 c.b+9>2 b D.(a+1)°>(b+1)° a a b 【答案】AC 【解】由log2a>log2b,得a>b>0, 则a2>b2,故A正确： 选项B,当a=1,b=时，则a-=-山b-1=-1 b a21 比树时ab-子散B错换： a 选项C,因为2>0，>0， b b 由基本不等式可得2+8≥2 b.0=2, a b Va b 由a≠b,等号取不到，则之+>2，故C正确： a b 选项D,当a=2,b=1时，(a+1)°=3，(b+1)2=22=4, 此时(a+1<(b+1)°，故D错误。 故选：AC 10.已知函数f(x)=Asin(x+p)(A>0,o>0,0<p<π)的部分图象如图所示，则() A.f=2o2r+ B.函数x)的图象关于 （0对 C.函数f)的图象关于x= 对称 π5π 上单调递增 12 D.函数x)在 2'6」 【答案】ABD 【解】由图可知：A=2, 第3页，试卷共12页 f(}22x(}p2 故“-君+=受+2akez, π，π :0<p<兀.p= 26 故A正确： 6~2,放B正确： 当x=-时，2x+=-, 3 当x= 时，2x+不=4 63 ≠km,keZ,故C错误： 当x[匠]时.2+后[g5]=2.做D确 故选：ABD 11已知实数x,y满足e+y+兰=0，则() A.当y<0时，x+y=0B.当x<0时，x+y=0 C.当x+y≠0时，y-x>2D.当x+y≠0时，-1<y<0 【答案】ACD 【详解】A选项，由e+之=0得e”=-Y>0,因为y<0,所以x>0, e”=士0两边取对数，+y=n（}=lh(-小n, 故x+lnx=-y+ln(-y), 令f(x)=x+lnx,x>0,故f(x)=f(-y), 由于f(x)=x+山x在(0，+∞)上单调递增，故x=-y,故x+y=0,A正确： B选项，x<0时，y>0,故x+y=n-ny-l(-刘 故y-lny=-x-ln(-x). 令g(x)=x-lnx,x>0,则g(y)=g(-x), 其中g(x)=1-1=-1, 当x>1时，8'(x)>0,当0<x<1时，g(x)<0, 故8(x)=x-hx在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 因为g(x)=x-lnx不单调，故y不一定等于-x,即x+y=0不一定成立，B错误： CD选项，由AB选项知，x+y≠0时，x<0,y>0, 令y=-x=m,则有8(m)=g(n),不妨设0<m<1<n, Inn-Inm 第4页，试卷共12页 下面证明Vm<、一m <m+n Inn-Inm 2 先证不等式右边， n-mInn-Inm 1 →m一<ln m+n 2 +1 2 m n 令”=1>1，即证<n1, 1+12 令90= --lnt,1>1, 1+12 则9)=， 21_4-+1--) <0, +12i-2+122+ 故9)=日之1在1e回)上单调适藏 1+12 又90=0，故<n1,所以n=m<m+n 1+12 Inn-Inm 2 即1<m 2 ,m+n>2,故y-x>2,C正确： 再证不等式左边，√m<”-m,即证nn-lnm<”一一n”<, Inn-Inm √mn m （I-n--z+=T-【-乏=(")Mm‘【<n‘，+n-n叮乙=(")M9 u2 故w(u）=2lnW-4+二在(1，+∞)上单调递减， 又w)=0,放21nu<-,故√m<n-m Inn-Inm 即√<1，所以0<n<1,故0<-<1，所以-1<y<0,D正确 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知c是三角形的内角，若cos2a=cos2a-sin2a,则tana= 【答案】-2 【解】因为a是三角形的内角，则sina>0, cos'a cos2a-sin2a,cos2a cos2 a-sin2 a-2sin a cosa, 所以，sin2a&=-2 sinacosa,可得sina=-2cosa>0,故tana=-2. 故答案为：-2. 13.已知函数fx)=x(x+a)在x=1处有极小值，则实数a= 答案：1 14.圆O与圆O2半径分别为1和2，两圆外切于点P,点A,B分别为圆O,O上动点， ∠APB=120°，则PA.PB的最小值为 第5页，试卷共12页 【答案】-3 【解】法一：如图建系，圆0：(x+1)2+y2=1,圆02：(x-2)2+y2=4,P(0,0) 01 0 设∠0，PB=0,则∠O,PA=60°-8，PB=4cos8,|PA=2cos(60°-0)， co108c00co() =-4cos0\ 2 2sin20+21+cos20) 法二：设∠APO=日，则∠AO,P=π-20，因∠APB= 2 31 ∠BoP--a.0[0引 过0，作0D1AP,所以PA=2cos0,同理P=4cas行-9月 所以Pm.PB=pA-P丽cos120°=8cos0.cos - =-4cos0 =sin 20+23cos20 2 2 所以(PAPB）=-3。 第6页，试卷共12页