重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高三上学期第三次质量检测数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2025届高三第三次质量检测 数学试题 2024.11 注意事项： 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。 1.已知集合A=L,23,4,B={x2-x-6<0},则AnB=() A.{2} B.1,29 C.2,3} D.L,2,3} 2.若(z+1)i=z,则z2+i=（) A月 B.2 C.i D.i 3.已知向量d=(1,),6=(2,-1),若(d+216,则=() A.1 B.-1 C.12 D.-12 4.已知as(e+)-手，mam9-号，则os(e-到的值为() A号 B.青 c.3 D. 5.已知圆锥PO的底面半径为5，轴截面的面积为3√2，则该圆锥的体积为() A.元 B.√6m C.3n D.3√6元 10gax,x≥1 6.已知函数f(x)= -x2+2(a-)x+a-6x<1（a>0且a≠1)在定义域内是增函数，则a的取 值范围是(· A.(2,3) B.(2,+o0) C.[2,3] D.(1,4) 7.已知函数f(x)=cos@x(o>0), 若/+到为偶函数，且/在区间@网内仅有两个零 点，则ω的值是() A.2 B,3 C.5 D.8 8.f(x)是定义在R上的函数，f(O)=2,且对任意xeR,满足f(x+2)-f(x)≤2， f(x+6)-f(x)26,则f2016=() A.2015 B.2016 C.2017 D.2018 数学试题第1页（共4页) 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9.设函数f因=(x+2)'(x-),则【) A.f(x)有三个零点 B.x=0是f(x)的极小值点 C.f(x)的图象关于点(1,2)对称 D.当0<x<1时，f(x)>f(x2) 10.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次 坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差 为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都 服从正态分布，则() A.PX>32)>P(Y>32) B.P(X≤36)=P(Y≤36) C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 11.已知△ABC中，AB⊥BG.AB=BC=2,E,F分别在线段BA,CA上，且BE=1BA,CT= 1CA(U∈(0,1).现将△AEF沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为a(a∈(O,π).以下命题 正确的是(1 A若A=子a=子则点F到平面ABC的距离为 R存在λ使得四棱锥A-BCFE有外接球 C.若入=子则三棱锥F-一ABB体积的最大值为始品 D.若a=受三棱锥A-BEF的外接球的半径取得最小值时，1=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{a.}的前n项和为S.,若a+a=14,4=-3,则= 13.如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同 的涂色方式。 14.已知正数x,y满足V9x2-1+√9y2-1=9xy,则4x2+y2的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若函数f(x)在1，e2上有且仅有2个零点，求a的取值范围。 16.如图，在三棱柱ABG-AB,C中，△AB,C为正三角形，四边形A4BB为菱形 B B (1)求证：AB1平面ABC: (2)若AC=BC=4,且AC⊥BC,E为CC的中点，求平面AB,E与平面ABC的夹角的余弦值. 17.在△MBC中，角4，B,C的对边分别是a,b,G,满足bs血4=asm(B+到 (I)设a=3,c-2,过B作BD垂直AC于点D,点E为线段BD的中点，求BEE的值： (2)若△ABC为锐角三角形，c=2,求△ABC面积的取值范围. 18.已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MW垂直x轴，垂足为N,O为坐标原点，△OMN的 重心为G (1)求点G的轨迹方程： (2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线1与曲线C相交于A、B两点，点Q0,1),若点H(V5,0)恰 好是△ABQ的垂心，求直线1的方程 数学试题第3页（共4页） 19.游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套 餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台I0天销售优惠券 情况。 日期t 2 3 4 5 6 7 10 销售量（千张） 1.9 1.98 2.22.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04 经计第可得2-22-1862-8期 (1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数 量大幅减少，已知销售量y和日期1呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于1的经验回 归方程（结果中的数值用分数表示）： (②)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为好，选择B套餐的概率为？，并且A套餐可以用 一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为P,求 P: (3)记(2)中所得概率P.的值构成数列{P}(neN) ①求P的最值： ②数列收敛的定义：已知数列{a},若对于任意给定的正数6，总存在正整数N。,使得当 n>N。时，a。-d<e,(a是一个确定的实数)，则称数列{a,}收敛于a根据数列收敛的定义证 明数列{P}收敛 参考公式： 25-0-习立%- 26-可 蜘学试题第4页（共4页） 十一月月考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D C C B C A D BD BCD ACD 12.16 13.120 14.1 二、多选题 9.BD 10.BCD 11.【答案】ACD 【解答】由题意可知：EF//BC,且AB⊥BC, 则AB⊥EF,即AE⊥EF,BE⊥EF,可知二面角A-EF-C的大小为a=∠AEB, 因为EF//BC,EF丈平面ABC,BCC平面ABC,所以EF//平面ABC, 又因为AE⊥EF,BE⊥EF,BEnAE=E,BE,AEC平面ABE, 可知EF⊥平面ABE,所以BC⊥平面ABE, 对于A:若元=之a=子则AB=BE=AB=1, 且点F到平面ABC的距离即为点E到平面ABC的距离，设为d, 因为VE-ABc=Vc-ABB: 即时d×经x1×2=×2×x1×1× 解得d=罗 所以点P到平面ABC的距离为号， 故A正确： 对于B:可知四边形BCFE为直角梯形，可知B,C,E,F四点不共圆， 所以不存在入，使得四棱锥ABCFE有外接球，故B错误： 对于C:若入=子则AB=EF=2BB= 可得三棱锥F-AB的体积，-ABe=×分×号××na=积sina< 1、4、1、4. 16 当且仅当a=时，等号成立， 所以棱锥F-ABB体积的最大值为始兰，故C正确： 对于D:由题意可知：AE=EF=2-21,BE=21, 若a=则三棱锥A-BEF的外接球即为以AE,BE,EF为相邻三边的长方体的外接球， 其半径R=VAE2+BE2+EF-√2-22+4+(2-2 试卷第1页，共8页 =12(0-)+4 当且仅当入=时，等号成立， 所以当三棱锥A一BEF的外接球的半径取得最小值时，入=子故D正确： 故选：ACD. 14.1 【详解】xy>0,由V9x2-1+V9y2-1=9x9, 动细= ◆血aA,且a,B 所以，有sin B1-sina2+-sina/1-((sin B)=1, 即s血fosa+=sna+月=i,故a+f= 所以如a+如B=投+l, 题+r-是)-+号)5+层- 当且仅当子，即x=-时取等 所以4x2+y2的最小值为1. 四、解答题 15(1)答案见解析 [ 【详解】（①：f因-hx-(ae),则了=a上，。 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当a>0时由/间-0，得x=日 若0<x<,则f小0：若x>后，则f0. 而址8页 当a>0时，f(x)的单调递增区间为 》单调递减区间为仁 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为(0，+∞)： 当a>0时，函数树的端区间为》，减区同为仁信+ (2)当x]时，由f创=0可得a=,令g)=,其中xeLe], 则直线y=a与函数g(x)在[l,e2]上的图像有两个交点， g倒血，当1<x<e时，g>0,此时函数g)单调递增， 当e<x<e2时，g(x)<0,此时函数g(x)单调递减. 所以，函数g()的极大值为8Θ-片，且g0=0,8)-子，如下图所示： =g) e x 由图可知，当sa<。时，直线y=a与函数g()在L,]上的图像有两个交点， 因此，实数a的取值范围是 「21 16. (1)证明见解析： 9 【详解】(1)设AB与AB交于点G,连接CG, 则由△ABC为正三角形可得AB⊥CG, 又由四边形AABB为菱形可得AB⊥AB, 因为AB∩CG=G,AB、CGc平面ABC, 所以AB⊥平面ABC. (2)由(1)可得AB⊥BC, 又AC⊥BC,AB∩AC=A,AB、ACC平面AB,C,所以BC⊥平面AB,C, 取AC中点O,连接B,O,则由△AB,C为正三角形可得BO⊥AC, 因为AC=BC=4,所以B0=√42-2=25， 又BC⊥平面AB,C,BOc平面AB,C,所以BC⊥BO, 取AB中点H,连接OH,则OH1IBC,故OH⊥AC且OH⊥B,O, 故可建立如图所示的空间直角坐标系O-2, 则0(0,0,0，A(0,-2,0),B(0,0,2),E(-2,15), 所以0丽=(0,0,25)，A瓜=0,2,23)，AE=(-2,3,V), 由上0丽=(00,23)是平面ABC的一个法向量， 设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z), 1=2y+25z=0 1A正证-2x+3y+5=0取z=-1,则n-(N5,5,- 则 设平面ABE与平面ABC的夹角为B, 则0l=cos(,0a- .OB OB. 2《阿方9 25 所以平面MB,E与平面ABC的夹角的余弦值为5 17. 【培1唱 9g 【详解】1)bsin4=asmB+写引 由正弦定理得： sin Bsin A=sin Asin (8+}AB+ -sin Acos B 所以n4i血B-5n4cosB=0, 2 2 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以inB-5 osB=0,即m8e5. 因为Be(Q动所以8=写 因为a=3,c=2,由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accos B=9+4-6=7, 因为b>0,所以b=√7， 其中5ae-esin=×3x2x53的 1 22 所以D=2S=35-32 AC万 7 因为点E为线段BD的中点，所以E= 14 由题意得：EA=ED+DA=BE+DA, 所以酝=距·（酝+Da)=E2+0= 28 2由1)知：9又c=2, “ 2 由正弦定理得：sinA sinC 4+到 2sinA 2sin A 4 所以 sin+ 2 cosA·1+ 3 tanA 因为VABC为锐角三角形，所以 c-4 解得：4引 则tan Ae 4 1+3(,4) tan A V8C国积为5-m8=9停26） 故VABC面积的取值范围是 9 18【答案】0苦+y=0g*0) )y-J-1 【详解】(1)设G(x,y),M(x),则N(xo,0),因G为a0W的重心， x= 故有： 3 解得气-受%=3，代入云+=9，化简得苦+扩-1 3 又0,0，故y40,所以G的轨滤方程为后+y=(g*0叭， (2)因H为△AB2的垂心，故有AB⊥H0,AH⊥BQ, 又知9-怎，所以=5，放设直线1的方程为y=5+mm. 0-√53 与+y2=1联立消去y得：13x2+83mx+4m2-4三 由△=208-16m2>0得m2<13,- 设A(,片)，B(,2),则，+五= -83m 13 13 由1g,将方，所以6-可列5+m+m--o, 所以4xx2+5(m-1(名+x)+m2-m=0, 所以4(4m2-4)-24m(m-l)+13(m2-m=0,化简得5m2+1m-16=0, 解得m=1(舍去)或m=-16 (满足△>0)，故直线1的方程为y=5x-1