专题03 二次根式和方程组计算专项（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题03 二次根式和方程组计算专项 题型一 二次根式计算 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算；先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 2．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先将每个二次根式化成最简二次根式后再根据二次根式的混合运算计算法则进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关怀． （1）先计算二次根式的乘除法，再计算减法即可； （2）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的加减混合运算，0次幂，负指数，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则， （1）根据二次根式的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算二次根式的化简，0次幂，负指数，立方根，再加减即可； 【详解】（1） ； （2） ． 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）根据立方根、绝对值、算术平方根计算即可； （2）去括号，化为最简二次根式合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解答关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则和性质求解即可； （2）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ． 8．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1) (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可求解； （3）先利用二次根式的乘法、除法法则计算，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算，二次根式的加减混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算，二次根式的加减混合运算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算求解即可； （2）利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）直接根据二次根式的乘除法则，进行计算即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算、零指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先化简二次根式，去绝对值，计算零指数幂，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再由二次根式乘法计算，最后由二次根式减法运算得到答案； （2）下有负整数指数幂运算、立方根运算、去绝对值运算及二次根式的性质化简，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式乘法运算、负整数指数幂运算、立方根运算、去绝对值运算及二次根式加减运算等，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 13．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则，正确化简二次根式是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算除法，最后再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法和利用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加法即可； （2）先用完全平方公式与平方差公式计算，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）把各二次根式化为最简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）分别利用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）根据运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 17．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后去括号，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）先化简，再进行加减运算即可； （2）先化简，计算括号内，再进行除法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 21．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算； （1）根据立方根定义，零指数幂运算法则，二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算的法则计算即可求解； （3）先计算乘除，再计算加减即可； （4）根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，解题的关键是充分利用二次根式的性质是快速进行计算． （1）先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 24．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） 25．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据m、n的值，可以计算出，的值，然后将所求式子变形，再代入计算即可； （2）将所求式子变形，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴ ． 26．（23-24八年级上·辽宁·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式混合运算和分式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则和分式的基本性质． （1）先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）把所求式子变形后，将已知代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当时，． 题型二 方程组计算 27．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法．利用加减消元法即可求解． 【详解】解： 得：， 解得：， 将代入中得：， 解得：， 该方程组的解为：． 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解二元一次方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可，此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解： ①+②，得， ， 将代入②，得， ， 原方程组的解为 29．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 30．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）由方程②代入方程①求得x的值，再代回即可得； （2）原方程组整理为，①+②求得x的值，②①求得y的值，据此可得． 【详解】（1）解：， ②代入①得：， ∴， ∴， 解得：， 将代入②得：， ∴方程组的解为：； （2）， 原方程组整理为， ①+②，得：， ②①，得：， 则方程组的解为． 31．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）得，，可得的值，然后将代入①式，计算求解可得值； （2）整理后得，，可得的值，然后将代入①式，计算求解可得值． 【详解】（1）解：， 得，， 解得，， 将代入①式得，， 解得，， ∴； （2）解：， 整理得，， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解下列二元一次方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】（1）解：， 将①代入得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为． （2）解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 33．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①，得： ， 解得， 把代入②，得． 所以这个方程组的解是； （2）解：， ，得③， ，得， 把代入②，得： ， 解得，， 所以这个方程组的解为． 34．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法即可解题． （2）本题解法与（1）类似，注意先将去分母，再利用加减消元法即可解题． 【详解】（1）解： 由得：， 由得：，解得， 将代入中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． （2）解： 由得：， 由得：，解得， 将代入中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． 35．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程： （1）方程求出，再代入②，求出，即可求出方程组的解； （2）先将原方程组整理为，再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得，， 把代入②得，， 解得，， 所以，方程组的解为； （2）解：原方程组整理为 ，得：， 解得，； 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为． 题型三 二次根式与方程组计算 36．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）按要求解答下列各题. (1)计算：． (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解二元一次方程组等知识点，灵活运用相关运算法则和计算方法是解题的关键． （1）先运用平方差公式、二次根式乘法计算，然后再合并同类二次根式即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解： 可得：，解得：， 把代入①可得：，解得：， 所以该方程组的解为：． 37．（23-24八年级上·辽宁·期末）（1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组； （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （2）利用加减消元法解方程组． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ①②得， 解得， 把代入①得， 解得， 所以原方程组的解为 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程组； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简，再进行减法运算即可； （2）先算平方，乘法，再算加减即可； （3）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ②﹣①得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程组： （1）先运算乘法以及化简二次根式，得，合并同类二次根式，即可作答． （2）运用加减消元法，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） 得，解得 把代入，得 ∴ 则 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组， （1）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可； （2）根据，先消去x，求出y，再代入求出x即可． 【详解】（1）原式 ； （2）， ，得，解得：， 将代入①，得． ∴原方程组的解是． 42．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解二元一次方程组： 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查的知识点是算术平方根以及立方根的性质和解二元一次方程组． （1）直接利用算术平方根以及立方根的性质化简即可； （2）用加减消元法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 得：，解得，， 把代入①得，，解得，， ∴原方程组的解为． 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解二元一次方程组： （1）先化简二次根式，计算立方根，绝对值，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 整理得：， 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为． 44．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算： （2）已知关于x和y的二元一次方程的解有，和，求k、b的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化、解二元一次方程组及二元一次方程组的解； （1）利用二次根式的混合运算及分母有理化的运算法则即可求解； （2）依题意得，利用加减消元法即可求解； 熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化的运算法则和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ． （2）依题意得：， 解得：． 45．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）（）计算：； （）解方程组：． 【答案】（）；（）． 【分析】（）根据立方根的定义、立方、二次根式的性质先进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可得到结果； （）利用加减消元法即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握实数的运算法则及加减消元法是解题的关键． 【详解】解：（）原式， ， ， ， ； （）， 得，， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴方程组的解为． 46．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）方程组的解为 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 二元一次方程组，熟练掌握相关运算方法是解题的的关键． （1）先将括号展开，再进行计算即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 得， 解得：， 将带入①得， 解得：， 所以方程组的解为． 47．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）（1）计算： （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，二元一次方程组的解法，掌握二次根式的混合运算的运算顺序与方程组的解法步骤是解本题的关键； （1）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； （2）利用加减法先消去未知数y，求解x，再求解y即可． 【详解】解：（1） （2） 解：由得： 由得： 由得， ， 把代入②得：， ， 原方程组的解为． 48．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)． (2)解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组； （1）根据二次根式性质进行化简，零指数幂运算法则，二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）用加减消元法进行计算即可． 解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 得：③ 得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解是 题型四 二次根式与方程组综合计算 49．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知y与成正比，且当时，， (1)求y与x的函数关系式； (2)点在这个函数图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、求一次函数的自变量或函数值： （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）把点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵y与成正比， 设y与x的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：∵点在这个函数图象上， 把点代入得，， 解得． 50．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2)3 (3)3 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出m，n的值，再根据方程组的解的定义，得到关于p，q的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）中， ∴方程是最佳方程； （2）关于的二元一次方程是“最佳”方程， ， 解得； （3）∵方程组是“最佳”方程组， ∴， ∴， ∴原方程组为， ∵是方程组的解， ∴， 解得， ． 51．（23-24八年级上·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解： （1）夹逼法求出无理数的范围即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可； （3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“整数区间”为； ∵， ∴， ∴的“整数区间”为； （2）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“整数区间”为； （3）∵一个无理数的“整数区间”为， ∴， 又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴m，都是正整数， 则， 当时，，，，符合， 将，代入中，得， ∴； 当时，不满足． ∴a的值为17． 52．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动． 【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如这样的式子，其分母中含有无理数． 【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简． 【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式和来解决． 【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简： ． 另一部分同学认为还可以如下方法化简： ． 以上这两种化简的步骤叫做分母有理化． (1)选择合适的方法化简：（n为正整数）； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用第一种方法即可求解； （）把提出来，利用第一种方法分母有理化，再进行运算即可求解； 本题考查了分母有理化，二次根式的加法运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式和方程组计算专项 题型一 二次根式计算 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末） 2．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）计算： 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1) (2) 4．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1) (2) 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 7．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 8．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1) (2)． (3)． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 10．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1) (2) 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) 12．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）计算： (1)； (2)． 13．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）计算： (1) (2) 14．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2) 15．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）计算： (1) (2) 16．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）计算 (1) (2) 17．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1)； (2)． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 20．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1) (2) 21．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）计算 (1) (2) 22．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 23．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）计算 (1)； (2) 24．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 25．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 26．（23-24八年级上·辽宁·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 题型二 方程组计算 27．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）解方程组： 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解二元一次方程组： 29．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）解方程组：． 30．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）解方程组： (1)； (2)． 31．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解下列二元一次方程组： (1)． (2)． 33．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）解方程组 (1)； (2)． 34．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组 (1) (2) 35．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）解方程组 (1) (2) 题型三 二次根式与方程组计算 36．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）按要求解答下列各题. (1)计算：． (2)解方程组：． 37．（23-24八年级上·辽宁·期末）（1）计算：． （2）解方程组：． 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程组：． 40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)． (2) 42．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解二元一次方程组： 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程组：． 44．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算： （2）已知关于x和y的二元一次方程的解有，和，求k、b的值． 45．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）（）计算：； （）解方程组：． 46．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 47．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）（1）计算： （2）解方程组：． 48．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)． (2)解方程组 题型四 二次根式与方程组综合计算 49．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知y与成正比，且当时，， (1)求y与x的函数关系式； (2)点在这个函数图象上，求a的值． 50．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 51．（23-24八年级上·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 52．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动． 【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如这样的式子，其分母中含有无理数． 【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简． 【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式和来解决． 【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简： ． 另一部分同学认为还可以如下方法化简： ． 以上这两种化简的步骤叫做分母有理化． (1)选择合适的方法化简：（n为正整数）； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$