专题02 一次函数综合应用（12大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题02 一次函数综合应用 题型一 待定系数法 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知y与成正比，且当时，， (1)求y与x的函数关系式； (2)点在这个函数图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、求一次函数的自变量或函数值： （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）把点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵y与成正比， 设y与x的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：∵点在这个函数图象上， 把点代入得，， 解得． 题型二 最大利润问题 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某中学要添置某种教学仪器． 方案一：到商店购买，每件需要8元： 方案二：学校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用费120元． 设需要仪器件．方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)问（元），（元）关于（件）的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围） (2)当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？ (3)若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？ 【答案】(1)，； (2)当添置仪器30件时，两种方案所需的费用相同； (3)若学校计划添置仪器60件，则采用方案二便宜． 【分析】本题考查了列函数关系式，求函数函数值，一元一次方程的应用． （1）方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量；方案二：总费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具的租用费，据此可得出方案一和方案二的函数关系式； （2）本题只需令（1）中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，即可求得两种方案所需的费用相同时，仪器的件数； （3）可将分别代入（2）中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，； （2）解：根据题意，令， 得， 解得， 故当购买30件仪器时，两种方案所需的费用相同； （3）解：把分别代入，中， 得(元)，(元)， ， 当学校添置60件仪器，选择方案二比较便宜． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨；从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨．现乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为． (1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式； (2)怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用． 【答案】(1)，； (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【分析】（）根据题意即可得出之间的函数关系式； （）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 此题考查了一次函数的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得， ； （2）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式为， ∵，随的增大而增大， ∴当时，， ∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是10040元． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本的销售总额为1450元，200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进500本练习本，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x本，求所获利润W关于x的函数关系式． 【答案】(1)普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元 (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用． （1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；200本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程组，求出即可； （2）购买普通练习本x个，则购买精装练习本个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可． 【详解】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，由题意可得： ， 解得， 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元； （2）购买普通练习本x个，则购买精装练习本个， 由题意可得：， 即W关于x的函数关系式是：． 5．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 (1)设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ (2)求与函数关系式； (3)李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 【答案】(1)文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元 (2)与的函数关系式为 (3)为3时，文具店所获利润始终不变，是160元 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系确定方程组及函数关系是解决问题的关键． （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）根据题意，直接得到，整理即可得到与的函数关系式为； （3）设文具店这次销售过程中所获利润为元，由题意得，再由文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，得求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元， 依题意得，解得， 答：文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元； （2）解：由已知得， 整理得， 与的函数关系式为； （3）解：设文具店这次销售过程中所获利润为元， 依题意得， 整理得， 文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变， ，解得，此时， 答：为3时，文具店所获利润始终不变，是160元． 题型三 根据图像解决实际问题 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）辽宁省丹东市今年“九九草莓”喜获丰收，元旦当天A超市进行“九九草莓”优惠促销活动，“九九草莓”销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．    (1)求销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系式； (2)B超市“九九草莓”的标价为80元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买9千克“九九草莓”，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 【答案】(1) (2)B超市购买更划算 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，求一次函数的函数值， （1）利用待定系数法分段求出函数解析数； （2）分别计算两个超市购买9千克草莓的费用，比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入，得， 解得， ∴（）； 当时，设， 将，代入，得 ， 解得， ∴； 综上，； （2）当购买9千克“九九草莓”时， 在A超市购买需（元）， 在B超市购买需（元）， ∵， ∴在B超市购买更划算． 7．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图1所示． (1)求y与x之间的关系式，并说明点A的实际意义； (2)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法1：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法2：运营成本不变，只提高票价． 如果分别按照上述两种方法运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系发生了变化，你认为在图2和图3中，哪个图象反映了按方法1运营的函数关系？请说明理由； (3)两种解决办法的具体措施如下： 方法1：票价不变，将运营成本降低到万元： 方法2：运营成本不变，只提高票价，使每万人收支差额提高到万元． 请求出两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量． 【答案】(1)，A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元； (2)图3按方法1运营的函数关系． (3)两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为6万人． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可，根据A的坐标含义可得A表示的实际意义； （2）由图2中运营成本没有改变，图3的运用成本减少，从而可得答案； （3）先分别求解两种情况下的函数解析式，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， ∴， 解得：， ∴设y与x之间的关系式为， A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元； （2）∵图2中运营成本没有改变，图3的运用成本减少， ∴图3按方法1运营的函数关系． （3）∵方法1：票价不变，将运营成本降低到万元： ∴函数关系式为：， ∵方法2：运营成本不变，只提高票价，使每万人收支差额提高到万元． ∴函数关系式为：， 当时， 解得：， ∴两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为6万人． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）随着汽车工业逐渐迈向电动化时代．国产汽车不再受制于内燃机技术，新能源逐渐成为汽车产业发展的新趋势．越来越多的人选择购买新能源汽车，为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根 据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %． (2)图中点表示的实际意义是 (3)当新能源汽车的电池电量过低时，车辆的动力性能也会有一定程度的下降．现将此款无任何差别的两辆汽车均从剩余电量时开始充电；充电小时时，用快速充电器充电的汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是多少？ (4)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1) (2)用快速充电器时，当充电时，汽车电池电量为%； (3)充电小时时，快速充电器充电的汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是和； (4)快速充电器比普通充电器少用 【分析】本题主要考查一次函数的应用； （1）利用小时所充电量除以，即可得出答案； （2）根据图象即可作答； （3）先求出直线、直线的表达式，再分别将代入，即可求出答案； （4）把分别代入（3）中的两个解析式，再做差即可求得． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）图中点表示的实际意义是当充电时，汽车电池电量为． 故答案为：用快速充电器时，当充电时，汽车电池电量为． （3）设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 设直线的表达式为， 把、代入得， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 答：充电小时时，快速充电器充电的汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是和． （4）当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ， 答：快速充电器比普通充电器少用． 题型四 行程问题与一次函数图像 9．（23-24八年级上·辽宁·期末）在一条笔直的城市绿道上有，两地．甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，到达地后立刻以原速度原路返回地，乙从地步行匀速前往地(甲、乙二人到达地后均停止运动)．甲、乙二人之间的距离(米)与出发时间(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)，两地相距________米，甲的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； (2)求线段的函数解析式； (3)在运动过程中，当两人相距米时，请直接写出的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象获取信息； （1）由知，，两地相距米，甲的速度为米分，乙的速度为米分； （2）求出，，再用待定系数法可得线段解析式为； （3）分三种情况：当两人相遇前，，当两人相遇后，，当乙到地，甲返回距地米时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：由知，，两地相距米， 由图象可得，甲用分钟回到地， 甲的速度为米分， 乙用分钟到达地， 乙的速度为米分， 故答案为：，，； （2）表示甲到达地， 分， 此时乙所走路程是米， 米； ， 表示乙到达地， 此时甲返回所走路程为米， 两人相距米，即米， ， 设线段解析式为， 解得 线段解析式为； （3）当两人相遇前，， 解得； 当两人相遇后，， 解得：， 当乙到地，甲返回距地米时，， 解得； 综上所述，当两人相距米时，的值为或或． 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）某中学八年级甲乙两班商定举行一次远足研学活动，A、B两地相距10km，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地，乙班比甲班晚出发一小时，设甲班步行时间为x小时，甲、乙两班距离A地的距离分别为、千米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)N点的横坐标是______； (2)求出、与x的函数关系式； (3)乙班出发多长时间，甲、乙两班相遇？ (4)甲班离出发地A地多远时，两班相距4千米？ 【答案】(1)1 (2)， (3)乙班出发小时，甲，乙相遇 (4)甲班离出发地地米或米时，两班相距4千米 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）由A、B两地相距10km，乙班比甲班晚出发一小时，从而可得答案； （2）直接利用待定系数法求解、与x的函数关系式即可； （3）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （4）利用两个函数解析式，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴的横坐标为； （2）设，把代入得：， ∴， ∴； 设， 把和代入得：， 解得， ， （3）当时，， 解得，（小时）， 答：乙班出发小时，甲，乙相遇； （4）当时， 解得， ， 当时， ， 解得， ； 答：甲班离出发地地米或米时，两班相距4千米． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）有一笔直的公路连接两地，甲车从地驶往地，速度为，乙车从地驶往地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动． 途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往地． 设甲车行驶的时间为，甲、乙两车之间的距离为与之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： (1)直接写出两地之间的距离为_________km； (2)求出点的横坐标； (3)当甲、乙两车相距80km时，请直接写出的值． 【答案】(1)300； (2)1； (3)2或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，判断出点B为两车相遇是解题的关键． （1）由图象可得两地的距离； （2）根据图象可得点表示甲车出现故障，点表示两车相遇， 点表示甲车修好故障， 点表示乙车到达目的地可得答案； （3）由甲、乙两车距，分两种情况可求解． 【详解】（1）解：由图象得，两地之间的距离为， ∴两地之间的距离为． （2）解：设甲行驶小时后，甲车发生故障，由题意得： 解得 ∴点的横坐标是． （3）解：如图 由（2）得， 当时， ， 故， ， 当时， 故， 线段表示甲车停车后， 乙车独自行驶， 线段表示两车相遇后，乙车独自行驶， 由的坐标可得，此时 ∴两车相距时， 或． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系． (1)预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？ (2)为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？ 【答案】(1)快艇在距离海岸能追赶上可疑船只． (2)快艇的速度为． 【分析】（1）本题考查的是实际问题与一次函数，设直线的解析式为，直线的解析式为，把函数图象中的已知坐标代入解析式求解．然后通过与的解析式，列方程求解即可． （2）本题通过快艇与可疑船只离海岸距离相同，利用求出可疑船只所用的时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 当，时，有，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 当，时，有，解得， 直线的解析式为， 当快艇追赶上可疑船只时， 有，解得， 把代入中，有， 所以快艇在距离海岸能追赶上可疑船只． （2）解：快艇可比快艇B提前追赶上， 此时快艇与可疑船只距离海岸（）， 即当时，有，解得， 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是______米/分； (2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家? (3)请求出张强出发多长时间与妈妈相距米． 【答案】(1) (2)分钟 (3)分钟、分钟、分钟 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）由两点的坐标即可求解； （2）求出点的坐标即可求解； （3）求出直线的解析式、直线的解析式、直线的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知： 张强返回时的速度是：（米/分）， 故答案为： （2）解：∵（米），（米）， ∴ ∴妈妈原来的速度为：（米/分）， 妈妈按原来的速度回家需要：（分钟）， ∵（分钟）， ∴妈妈比按原速返回提前分钟到家； （3）解：如图所示： 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ， 解得： ， 解得： ， 解得： 综上所述：张强出发分钟、分钟、分钟与妈妈相距米 14．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）小明、小刚两人同时从家步行到乙地游玩，小明开始以的速度行走，行走了一段路程后开始加快速度，两人到小明家的距离与行走时间之间的函数图象如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题． (1)a＝______． (2)若小刚的速度是小明提速后速度的， ①小刚到达乙地的时间为______； ②求两人相遇时离乙地的距离． 【答案】(1) (2)①②两人相遇时离乙地的距离为 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据图象即可求出a； （2）根据图象可求出小明的速度，进而求出小刚的速度，即可求出答案；根据图象求出直线的解析式，进而求出相遇的时间，即可求解 【详解】（1）解：由图象可得： （2）解：①由图象可得：， ∵小刚的速度是小明提速后速度的， ∴， ∵小刚到达乙地的距离为， ∴小刚到达乙地的时间为； 由题意可得：，解得：， ②设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴， 同理可得：， 令，即，解得： 当时，， 此时两人相遇时离乙地的距离为； 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系，根据图象提供的信息，请你解答下列问题： (1)填空： ①乙的速度是______； ②乙先出发______后，甲才出发； ③当甲出发后，此时乙距离地______； (2)求出甲离开地的距离与时间之间关系的函数表达式． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题考查了一次函数是应用，解题关键是读懂图像，理解数据的含义． （）由图像根据路程、速度与时间的关系即可得到答案； （）根据待定系数法即可得解． 【详解】（1）解：①乙的速度是为， ②由图像可知与横轴交点为， ∴乙先出发后，甲才出发； ③甲出发小时时，乙走了小时，此时 此时乙距离地， 故答案为：，，； （2）解：设甲离开地的距离与时间之间关系的函数表达式是， 由题意，把、代入中，得 解这个方程组得， 甲离开地的距离与时间之间关系的函数表达式是：． 题型五 一次函数与三角形面积 16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数图像分别交轴、轴于点，，一次函数的图像经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的解析式； (2)若以，，为顶点的三角形的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标要分情况讨论是解题的关键． （1）先根据一次函数求出点的坐标，再点的坐标代入一次函数中求出，即可求解； （2）先根据函数解析式求出、的坐标，得到，设，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 将代入中，得：， 直线的解析式为； （2）在中，令，则， 解得：， ， 在中，令，则， 解得：， ， ， 点是直线上的一个动点， 设， ， 解得：或， 点的坐标为或． 17．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C．    (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为秒．若点P在线段DA上，且的面积为10，求的值； (3)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与直线，直线交于点M、N，若线段，请求出此时点N的坐标． 【答案】(1)、 (2) (3)点N的坐标为或． 【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将点C的坐标代入，即可求得b的值； （2）先分别求得、、，由题意可得，点P的坐标为，则，再由三角形的面积公式列方程求解即可； （3）设点N的坐标为，则点M的坐标为，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，， ∴，即， 把点代入得，， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，，即， ∴、， 由题意可得，点P的坐标为，则， ∵的面积为10， ∴， 解得； （3）解：∵，分别与直线，直线交于点M、N，    ∴设点N的坐标为，则点M的坐标为， ∵， ∴，解得或， ∴点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线，于点M，点N，设点Q的横坐标为m， ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，直接写出m的值； ③直接写出用含m的代数式表示的面积． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)①②或8③ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，三角形面积． （1）联立解析式，构成方程组，解方程组即可求解； （2）①点Q的横坐标为m，由轴，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解；②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况第一种情形：点N是的中点时，第二种情形：点M是的中点时，根据中点坐标公式即可求解；③先表示出点P到直线的距离为，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）∵直线与直线交于点P， ∴联立方程组， 解得， ∴点P的坐标为； （2）解：①点Q的横坐标为m， ∵轴， ∴点Q，M，N三点横坐标都为m， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴； ②当时，，解得，则 ，解得：，则， 当时，， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴，， 由①知， 第一种情形：点N是的中点时，， ∴， 解得：或16（舍去）； 第二种情形：点M是的中点时，， ∴， 解得：或（舍去）； 综上，或8； ③∵点Q的横坐标为m，点P的坐标为， ∴点P到直线的距离为， 由①知， 当时，，；当时，，； ∴的面积． 题型六 一次函数与等腰三角形 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在t的值，使为等腰三角形，t的值为4或或或8 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可； （2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当时；当时；当时；分别求出t的值即可． 【详解】（1）在中，当时，； 当时，； ∴； ∵点C在直线上， ∴， 又∵点也在直线上， ∴， 解得：； （2）①在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则，过C作于E，如图1所示： 则， ∵的面积为10， ∴， 解得：； ②存在，理由如下： 过C作于E，如图1所示： 则， ∴， ∴； a、当时，， ∴， ∴； b、当时，如图2所示： 则， ∴，， ∴，或； c、当时，如图3所示： 设，则，， ∴， 解得：， ∴P与E重合，， ∴， ∴； t的值为4或或或8． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A的坐标为，直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴上是否存在一点E，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为； (2)点的坐标为或或． 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质． （1）先求得，再运用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）过点作轴于点，则，利用勾股定理可得，设，则，分两种情况：当时，当时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：直线 与直线 相交于点，点的横坐标为1， ， 设直线的函数表达式为，把点、的坐标代入， 直线的函数表达式为； （2）解：在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形． 如图2，过点作轴于点，测． ，． 在中，． 设，则． 当时，， 解得：或， ∴或； 当时， 轴，即， ，即， ． 综上所述，在轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形；点的坐标为或或． 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线的图像与轴、轴分别交于，两点，且． （1）求点坐标和值． 【问题探究】 （2）点在直线的图像上，当点的横坐标是时，求的面积； 【问题发现】 （3）若点是直线图像上在第二象限内的一个动点，求的面积与的函数关系式； 【问题拓展】 （4）①问题（3）中当点运动到某位置时，的面积为，求此时点坐标； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点坐标为，；（2）的面积为；（3）；（4）①点坐标为时，的面积为；②存在一点，使是等腰三角形，满足条件的所有点坐标为或或或，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，涉及三角形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论． （1）由与轴相交于点，可得，根据，求出，即可求出点坐标，将点坐标代入，即可求出值； （2）求出，根据即可求解； （3）由即可求解； （4）①当时，，求出，再将代入中即可求解；②设，则，，，当时，；当时，；当时，；分别解方程即可求解． 【详解】（1）与轴相交于点， ， ， ， 点坐标为， 把点坐标代入， 得，； （2）由（1）知， 把代入 得， ， ； （3）， ； （4）①当时，， 解得，则， 点坐标为时，的面积为； ②存在一点，使是等腰三角形，理由如下： 设， ，，， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或， ； 当时，， 解得：或， 或； 综上所述，点坐标为或或或． 22．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第一章探索勾股定理时，我们就是“用不同的方式表示同一图形的面积”探究出了勾股定理．这种方法又称为等面积法． 【问题探究】小明所在的学习小组尝试了用等面积法解决下面的问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，垂足分别为，．求的值．他们用两种方法表示出的面积：    作于点，则． 连接，则 ． 请你帮助该小组的同学算出 ． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为 ．    （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为，请利用以上所学的知识求点的坐标． 【拓展延伸】 如图3，若点是第一象限内一点，且点到三边所在直线的距离相等，请求出点的坐标．    【答案】【问题探究】，；【学以致用】（1）求直线的解析式为；（2）点或；【拓展延伸】点坐标为或． 【分析】本题主要考查了三角形的面积，一次函数的图像与性质，两点间的距离公式等知识，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质，两点间的距离公式． 【问题探究】根据三角形的面积公式即可求解； 【学以致用】（1）先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得点，点，进而得到，结合点，可得，由点到直线：的距离为，可得然后分点P在线段和线段的延长线上两种情况讨论，即可求解； 【拓展延伸】先证明，当在内时，可确定点Q在的角平分线上，也在边的高上，作，设点为，结合，，点到三边所在直线的距离相等，点是第一象限内一点，可得，已知，列方程即可求出值，由此即可求解；当在外时，求得． 【详解】解：【问题探究】，， ， ，， ，即， ， 故答案为：，； 解：【学以致用】（1）直线经过点， ， 解得：， 点， 设直线的解析式为，将点，点代入得： ，解得：， 直线的解析式为； （2）在直线：中，令，则， 点，， ∵点，， ， 点，点， ， 点到直线：的距离为， ， ， ∴， ∴， ∴点在线段或线段的延长线上， 当点在线段上时，， 即， 解得：，将其代入中解得：， 点； 当点在线段的延长线上时，， 即， 解得：，将其代入中解得：， 点； 综上所述：点的坐标是或； 解：【拓展延伸】点，点， ， 故； 当点Q在内时，如图； ∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点在的角平分线上，也在边的高上， 如图，作于E，则；设点为， 又，，点到三边所在直线的距离相等，点是第一象限内一点， ； ， ， ∴， 点； 当在外时，如图， 设点到三边所在直线的距离为， 同理可得：， 解得：，即点纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵在的角平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上可知：点的坐标为或． 题型七 一次函数与等腰直角三角形 23．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中有两点，连接，点在线段上，连接，若点纵坐标为． (1)点横坐标为 ；（直接用含的式子表示） (2)过点作的垂线，在垂线上取一点，满足，设点的坐标为．请先按要求在图中画出图形，再求的值． 【答案】(1) (2)的值为5或 【分析】（1）求出直线表达式，由题中点纵坐标为，代入表达式求解是解决问题； （2）根据题意作出图形，分两种情况：①在第三象限；②在第一象限；分情况利用三角形全等的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， 设直线表达式为，则 ，解得， 表达式为， 点纵坐标为， ，解得， 故答案为：； （2）解：如图所示： ①当点在第三象限时，分别过点，作轴于点，轴于点， 如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 由（1）得，点的坐标为， ，， 点的坐标为， ，， ，， ； ②当点在第一象限时，分别过点，作轴于点，轴于点， 如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ， 综上所述：的值为5或． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及待定系数法确定函数、求直线上点的坐标、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 24．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标； (3)如图，已知点，点在直线上，点在直线上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）根据的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出的表达式； （）分当点位于点的左侧和右侧两种情况，设点，利用三角形面积公式分别把、表示出来，再根据题意列出方程即可求解； （）分点位于点右侧和左侧两种情况，利用全等三角形的性质进行求解即可解答． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，当点位于点的左侧时，设点， 把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴面积， ∵的面积， 又∵的面积为面积的， ∴， 整理得，， 解得， 当时，点的坐标为，与点重合，不符，舍去， ∴， ∴点的坐标为； 当点位于点的右侧时，如图， 的面积， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：当点位于点右侧时，如图，过点作轴的平行线，与轴相交于点，分别过点作它的垂线，垂足分别为点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 当点位于点左侧时，如图， 同理可得， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的面积； 故的面积或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，利用数形结合分析问题是解题的关键． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点P在线段上（点P不与点A，点C重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交直线于点N．设点P的横坐标为m，线段MN的长度为l． ①求l与m之间的函数表达式，并写出自变量m的取值范围； ②连接，当时，请直接写出l的值． 【答案】(1) (2)①当时，，当时，； ② 【分析】（1）将点代入直线的解析式，求出a的值，得点E的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①设点P的横坐标为m，则，，即可得l与m之间的函数表达式，由点P在线段上（点P不与点A，点C重合），可写出自变量m的取值范围；过点P作，交于Q，过点Q作轴于H，证明，可得，由Q在直线上，可求得m的值，代入①求得的函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入直线的解析式，得， ， 设直线的函数表达式为， 将点，点代入得， ，解得：， 直线的函数表达式为； （2）①如图， 过点P作x轴的垂线交直线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m，线段的长度为l， ，， ， 直线的解析式， 令，则，解得， ， 点P在线段上（点P不与点A，点C重合），点， ， l与m之间的函数表达式为，自变量m的取值范围； ②如图，过点P作，交于Q，过点Q作轴于H， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 直线的解析式， 令，则， ， ， ， ， 在直线：上， ，解得， 代入①求得的函数表达式得， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形． 题型八 一次函数与折叠问题 26．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C的坐标分别是和，E为C点左侧x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，求的长（提示：点E可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上） 【答案】或 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理．分点在轴正半轴上和点在轴负半轴上，两种情况，进行求解即可．解题的关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 【详解】当点在轴正半轴上时，如图：设交轴于点，则：四边形均为长方形， ∵长方形的顶点A、C的坐标分别是和， ∴，，， ∵翻折， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即：， ∴，即：； 当点在轴负半轴上时：如图 同法可得， ∴， 设，则， 在中，， 即：， ∴，即：， 综上：或． 题型九 一次函数与等边三角形 27．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知，在平面直角坐标系中，A、B分别在x、y轴上，线段，，的垂直平分线交x轴于点C，交于点D． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，平分，求的长； (3)如图3，，E为射线上一动点，连，以为边向下作等边三角形，连，当最短时，求的值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形，解直角三角形，等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等，掌握全等三角形的判定方法是关键 （1）求出，直接运用直角三角形30°角的性质即可． （2）连接，过E点于M，于N，证明，通过角度关系证明，然后解出即可． （3）连接过D点作于，于H，通过证明是等边三角形来证明，得出F点在的平分线上，得到最短长度为，即的长度． 【详解】（1）（1）解：由题可知， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解：连接，过E点于M，于N ∵平分 ∴ ∵是的垂直平分线 ∴ ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解：连接过D点作于，于H ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴F点在的平分线上 ∵，于，于H ∴ ∵是的垂直平分线 ∴ ∴平分 ∴ ∴ ∴ 即最短长度为． 题型十 一次函数与全等三角形 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象． (1)__________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据图象分析得出点E的位置于x的关系． （1）根据全等三角形的性质推出四边形为菱形，则，进而得出当点E在上时，点E到的距离不变，由图2可知，当时，y的值不变，即可得出，当时，点E与点B重合，即可得出； （2）过点D作于点H，根据，求出，根据勾股定理得出，则，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴当点E在上时，点E到的距离不变， 由图2可知，当时，y的值不变， ∵点E的速度为， ∴， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，点E与点B重合， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作于点H， ∵，， ∴，即， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点，的直线（，为常数，）．过点作直线交轴于点，且． 图1                          图2                       备用图 (1)求直线的函数表达式和点坐标； (2)如图1，长方形的一边在轴上，它的对边在轴上方，设的长为，长方形沿轴向右移动得到长方形．当点的对应点移动到轴上时，顶点的对应点恰好落在直线上． ①请用含的代数式表示的长为______； ②若直线与直线交于点，当时，求长方形的面积； ③长方形继续向右移动得到长方形，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，如图2所示，连接并延长交轴于点．在平面内存在点，使得与全等，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，点坐标为． (2)①．②或45；③点的坐标为或或． 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式，将点，代入直线中，即可求得解析式，再结合，即可求得点． （2）①利用平移的性质和矩形的性质，得出，在利用在直线上求得的横坐标，再结合平移的性质和矩形的性质，得到，即可解题． ②若在点下方，设，把，代入，得直线的函数表达式，将代入，求出的值，得到，后即可求出四边形的面积；若在点上方，求出，再把代入，解得，得到，，则； ③本题通过点、求得直线，可表示出点，利用与全等，哪些对应的角相等，对应的边相等，根据对应的边等，建立等式，即可解题．． 【详解】（1）解：将点，代入直线的函数表达式中， 有，解得， 直线的函数表达式为． ，且， ，解得， 点坐标为． （2）①解：四边形为长方形， ， 由平移的性质可知，， 当时，有，解得， ， 由平移的性质可知，， 故答案为：． ②当点的坐标为时，点在点的右侧，此时，与条件矛盾，可得点的坐标为， 设，把，代入， 得，解得， 得直线的函数表达式为， 若在点下方， 且， ， ， 把代入， 得，解得， ，， ； 若在点上方， 且且， ， ， 把代入，解得， ，， ； 综上所述，长方形的面积为或45； ③解：， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入中， 有，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ，， ，，， ， 平面内存在点，使得与全等， 当点使得与全等时， 有，， ，即， ，， ， ， 当点使得与全等时， 有，， ， ，即， ， ， 当点使得与全等时， 有，， ， 、、同在轴上， ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质、平移的性质和全等三角形的性质和判定综合，解题的关键在于结合图形和图形的变换过程，建立线段之间的等量关系，即可解题． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以为边作长方形．点是边上一点（不与点、点重合），连接，以为直角边在第一象限作，其中． (1)当点的坐标为时，求点的坐标； (2)连接，当为等腰三角形时，请直接写出点的横坐标． （提示：若等腰直角三角形的直角边长为，根据勾股定理可求得斜边长为） 【答案】(1) (2)3或或 【分析】（1）过点作于点，利用点的坐标表示出线段的长度，利用直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，求出线段的长度，则结论可得； （2）设点的坐标为，则，过点作于点，延长交于点，利用(1)的结论得到，，利用矩形的判定与性质和勾股定理求得和，再利用分类讨论的思想方法得到关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：点坐标为， ， 点的坐标为， 过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在和中． ， ， ， 则， 故点E的坐标为． （2）设点的坐标为，则，过点作于点，延长交于点，如图， 由（1）知∶， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 当为等腰三角形时， ①时， ， ， ， (不合题意，舍去)或 ②时， ， ， ， ， (不合题意，舍去)或． ③时， ， ， ， ， 综上，点的横坐标为或6或3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平面直角坐标系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与轴交于点，与轴交于点，与交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)点在线段上（点不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．设点的横坐标为，线段的长度为． ①求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②连接，当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①， ② 【分析】（1）将点代入直线的解析式，求出a的值，得点E的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①设点P的横坐标为m，则，，即可得与m之间的函数表达式，由点P在线段上（点P不与点A，点C重合），可写出自变量m的取值范围； ②过点P作，交于Q，过Q作轴于H，证明，可得，，由Q在直线上，可求得m的值，代入①求得的函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入直线的解析式， 得， ∴点E的坐标为， 设直线的函数表达式为 将点，点代入得 ， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）解：①如图，    ∵过点P作x轴的垂线交直线于点M，交直线于点N．设点P的横坐标为m， ∴M，， ∴， ∵直线的解析式， 令，则，解得， ∴， ∵点P在线段上（点P不与点A，点C重合），点， ∴； ∴与m之间的函数表达式为，自变量m的取值范围为； ②过点P作，交于Q，过Q作轴于H，      ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵直线的解析式 令，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵Q在直线AB：上， ∴ 解得， 代入①求得的函数表达式 得． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形． 32．（23-24八年级下·江西南昌·期末）（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则B点坐标为_________． （2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知，若，点C在第一象限，且，试求出C点坐标． （3）问题解决：如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为；（3）或 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，证明，即可求解； （2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D，与（1）同理证明，求出相关线段长度，可得答案； （3）设D坐标为，分D在下方与上方两种情况，证明，可得答案． 【详解】解：（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴B点坐标为， 故答案为：； （2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D， 与（1）同理， ∴， ， ∴点C的横坐标为：， C点的纵坐标为：， 故点C的坐标为； （3）设D坐标为， 当D在下方时，如图3-1，过D作轴于E，交于F， 同（1），可证得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当D在上方时，如图3-2，过D作轴于E，交延长线于F， 同（1），可证得， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 题型十一 一次函数与方案设计 33．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择． 套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元； 套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元． 小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？ 【分析并建立模型】 小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系． 【解决问题】 (1)请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式． (2)当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？ (3)小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 【答案】(1)，． (2)当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同． (3)根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式． （1）根据套餐每月的话费为月租加上通话费，套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可． （2）根据两种套餐费用相同，列出关于的方程，求解即可． （3）根据关系式，列出当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于分钟时，套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，． （2）解：因为两种套餐费用相同，有，解得， 所以当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同． （3）解：当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时， 有，解得，即如果通话时间小于分钟时，选套餐更省钱． 小刚父亲：当时，有，解得， 小刚父亲每月最低通话时间为分钟，即通话时间大于分钟， 选套餐不省钱． 小刚母亲：当时，有，解得， 小刚母亲每月最高通话时间为分钟，即通话时间小于分钟， 选套餐省钱． 综上所述，根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱． 题型十二 一次函数与新题型解读 34．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）如图，甲、乙分别从，两点同时出发，甲朝着正北方向，以每秒3个单位长度的速度运动；乙朝着正西方向，以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． 规定：秒时，甲到达的位置记为点，乙到达的位置记为点，例如，1秒时，甲到达的位置记为，乙到达的位置记为（如图所示）；2.5秒时，甲到达的位置记为等等．容易知道，两条平行且相等的线段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有关运动问题时，为研究方便，我们可把点或线段进行合适的平移后，再去研究（物理上的相对运动观，就是源于这种数学方法）．现对秒时，甲、乙到达的位置点，，按如下步骤操作：第一步：连接； 第二步：把线段进行平移，使点与点重合，平移后，点的对应点用点标记． 解答下列问题： (1)【理解与初步应用】当时，利用网格，在图中画出，经过上述第二步操作后的图形； (2)【实验与数据整理】补全下表： 的取值 1 2 3 点的坐标 （ ) （ ) （ ) (3)【数据分析与结论运用】 ①如果把点的横、纵坐标分别用变量x，y表示，则y与x之间的函数关系式为___________． ②点的坐标为___________． (4)【拓展应用】我们知道，在运动过程中的任意时刻，甲相对于乙的方位（即，点相对于点的方位）与相对于点B的方位相同．这为我们解决某些问题，提供了新思路．请解答：运动过程中，甲、乙之间的最近距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② (4) 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）分别求出，的长，可得结论； （3）①由（2）即可完成； ②把代入（2）中的坐标即可完成； （4）根据垂线段最短，当垂直直线时，甲、乙之间的距离最近；过C作，交x轴于点E，设，利用勾股定理求得a的值，求出直线解析式，由及直线过点B，可求得直线的解析式，联立两直线解析式， 确定交点坐标，利用两点之间距离公式求解． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2）解：当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 当时间为t时，，则， ∴； 故答案为：； （3）解：①由（2）知，， ∴， 消去t得：； 故答案为：； ②当时，，， 则点的坐标为； 故答案为：； （4）解：由（3）知，点在直线上运动， 当垂直直线时，甲、乙之间的距离最近； 如图，直线的解析式为，过C作，交x轴于点E，设， 对于，令，则，即；令，则，即； ∴， 由勾股定理得，， 由于， ∴， 解得，即； 设直线的解析式为，把点E的坐标代入解得：， 即直线的解析式为； ∵， ∴设直线的解析式为， 由于直线过点，代入上式得：， 得， 即直线的解析式为； 联立直线与直线的解析式：，解得：， 即， 由勾股定理得：， 即甲、乙之间的最近距离为个单位长度． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数的综合，考查了图形的平移，求一次函数解析式，勾股定理，两个一次函数图象平行的特征，求两直线的交点坐标等知识，综合性强，运算量较大，正确理解题意是解题的关键． 35．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -1 -2 a -2 b 0 … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象； (3)判断：函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； 观察函数图象，当时，x的取值范围是________． 观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)是；；存在最小值，最小值是 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把x的值代入计算，即可求出a、b的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； 分情况讨论：时和时，分别求解不等式，即可得到答案； 利用绝对值的性质，得到，当且仅当时取等号，即可判断最小值． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即， 故答案为：；； （2）解：函数图象如下： （3）解：由（2）图象可知，函数的图像是轴对称图形， 故答案为：是； ， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：， 综上所述：x的取值范围是； 故答案为：； 存在，最小值为，证明如下： ， ，当且仅当时取等号， 函数的最小值为； 即存在最小值，最小值为． 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 1000分钟 套餐说明： 1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）． 2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟． 建立模型 1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）． A套餐：当时，； B套餐：当时，__________； 2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）． 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间的关系式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (3)根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的应用： （1）依据题意，当时，由题意代入计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）进行分析即可作图； （3）依据题意，由（2）的图象进行判断可以得解． 【详解】（1）由题意得，． （2）由题意，结合（1）当时，；当时，，进而作图如下． （3）由题意，当时，选择A套餐更合适；当时，选择B套餐更合适． 故答案为：，． 37．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【问题提出】 小明在学习一次函数后，对形如（其中为常数，且）的一次函数产生了兴趣，于是对它的图像和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明已经分别画出了函数，，的图像． 请你先完成下侧列表，然后再描点、连线在图中画出函数的图像． x 0 1 y 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图像的观察、思考，你发现（为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【总结经验】 (3)类比上述探究结果，推理函数（其中为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【实践运用】 (4)已知一次函数（为常数，且）的图像一定过点，且与轴相交于点，若的面积为2，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、画函数图像、一次函数与方程的关系等知识点，掌握一次函数图象与系数的关系是解题关键． （1）先描点，然后再连线即可画出函数图像； （2）将代入解析式求解即可． （3）将代入解析式求解即可． （4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，然后再求面积即可． 【详解】（1）解：由，列表如下： x 0 1 y 4 2 画出函数图像如下： （2）解：将代入可得， ∴函数的图像一定经过． 故答案为：． （3）解：将代入可得：, ∴函数的图像一定经过， 故答案为：． （4）解：将代入可得：， ∴点N坐标为， 将代入可得：， ∴点A坐标为， ∴， ∴，解得：或． 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 工人师傅在铺地面时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2．中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为y，宽为x，且．    （1）请求出图1中y与x的函数关系式； 【策略分析】 （2）求出图2中y与x的函数关系式； （3）对于（2）中的问题，小明给出解题思路： 由图2得； 整理得：， 由平方根定义可以得出：， 所以图2中与的函数关系式是或． 小明得出的结果正确不?请说明理由． 【拓展研究】 （4）在图3中作出两个函数的图象，求出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义； （5）根据以上讨论补全下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？请说明理由． 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 … y … 【答案】（1）；（2）；（3）不正确，理由见解析；（4）作图见解析，交点坐标为，交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为5和3时，能围成图1，图2中的图形；（5）表格见解析，理由见解析 【分析】（1）由组成长方形的长度关系可得，然后整理即可； （2）依题意得，，整理得，，结合，确定y与x的函数关系式即可； （3）理由见（2）； （4）描点，连线作图象即可，联立得，，计算求解可得交点坐标，然后进行作答即可； （5）根据图2中y与x的函数关系式，分别求解不同正方形边长，不同长方形宽度下的长方形的长，填表格，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：依题意得，，整理得，， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：不正确，理由如下： ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∴，即； （4）解：如图3，    联立得，， 解得，， ∴交点坐标为，交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为5和3时，能围成图1，图2中的图形； （5）解：由题意得，当阴影部分边长为1，时，； 当阴影部分边长为2，时，则，此时满足要求的； 当阴影部分边长为3，时，则，此时满足要求的； 当阴影部分边长为4，时，则，此时满足要求的； 填表如下： 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 … y 5 … 由表格可知，， ∴当长方形的长、宽满足时，能拼成类似图1和图2的图形；当长方形的长、宽不满足时，不能拼成类似图1和图2的图． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二元一次方程组的应用．熟练掌握一次函数的应用，利用面积的关系求表达式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数综合应用 题型一 待定系数法 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知y与成正比，且当时，， (1)求y与x的函数关系式； (2)点在这个函数图象上，求a的值． 题型二 最大利润问题 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某中学要添置某种教学仪器． 方案一：到商店购买，每件需要8元： 方案二：学校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用费120元． 设需要仪器件．方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)问（元），（元）关于（件）的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围） (2)当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？ (3)若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？ 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨；从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨．现乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为． (1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式； (2)怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本的销售总额为1450元，200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进500本练习本，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x本，求所获利润W关于x的函数关系式． 5．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 (1)设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ (2)求与函数关系式； (3)李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 题型三 根据图像解决实际问题 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）辽宁省丹东市今年“九九草莓”喜获丰收，元旦当天A超市进行“九九草莓”优惠促销活动，“九九草莓”销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．    (1)求销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系式； (2)B超市“九九草莓”的标价为80元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买9千克“九九草莓”，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 7．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图1所示． (1)求y与x之间的关系式，并说明点A的实际意义； (2)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法1：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法2：运营成本不变，只提高票价． 如果分别按照上述两种方法运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系发生了变化，你认为在图2和图3中，哪个图象反映了按方法1运营的函数关系？请说明理由； (3)两种解决办法的具体措施如下： 方法1：票价不变，将运营成本降低到万元： 方法2：运营成本不变，只提高票价，使每万人收支差额提高到万元． 请求出两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）随着汽车工业逐渐迈向电动化时代．国产汽车不再受制于内燃机技术，新能源逐渐成为汽车产业发展的新趋势．越来越多的人选择购买新能源汽车，为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根 据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %． (2)图中点表示的实际意义是 (3)当新能源汽车的电池电量过低时，车辆的动力性能也会有一定程度的下降．现将此款无任何差别的两辆汽车均从剩余电量时开始充电；充电小时时，用快速充电器充电的汽车和用普通充电器充电的汽车分别显示的电量是多少？ (4)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 题型四 行程问题与一次函数图像 9．（23-24八年级上·辽宁·期末）在一条笔直的城市绿道上有，两地．甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，到达地后立刻以原速度原路返回地，乙从地步行匀速前往地(甲、乙二人到达地后均停止运动)．甲、乙二人之间的距离(米)与出发时间(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)，两地相距________米，甲的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； (2)求线段的函数解析式； (3)在运动过程中，当两人相距米时，请直接写出的值． 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）某中学八年级甲乙两班商定举行一次远足研学活动，A、B两地相距10km，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地，乙班比甲班晚出发一小时，设甲班步行时间为x小时，甲、乙两班距离A地的距离分别为、千米，、与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)N点的横坐标是______； (2)求出、与x的函数关系式； (3)乙班出发多长时间，甲、乙两班相遇？ (4)甲班离出发地A地多远时，两班相距4千米？ 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）有一笔直的公路连接两地，甲车从地驶往地，速度为，乙车从地驶往地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动． 途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往地． 设甲车行驶的时间为，甲、乙两车之间的距离为与之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： (1)直接写出两地之间的距离为_________km； (2)求出点的横坐标； (3)当甲、乙两车相距80km时，请直接写出的值． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系． (1)预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？ (2)为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？ 13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是______米/分； (2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家? (3)请求出张强出发多长时间与妈妈相距米． 14．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）小明、小刚两人同时从家步行到乙地游玩，小明开始以的速度行走，行走了一段路程后开始加快速度，两人到小明家的距离与行走时间之间的函数图象如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题． (1)a＝______． (2)若小刚的速度是小明提速后速度的， ①小刚到达乙地的时间为______； ②求两人相遇时离乙地的距离． 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系，根据图象提供的信息，请你解答下列问题： (1)填空： ①乙的速度是______； ②乙先出发______后，甲才出发； ③当甲出发后，此时乙距离地______； (2)求出甲离开地的距离与时间之间关系的函数表达式． 题型五 一次函数与三角形面积 16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数图像分别交轴、轴于点，，一次函数的图像经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的解析式； (2)若以，，为顶点的三角形的面积为，求出点的坐标． 17．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C．    (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动（点P不与点D，点A重合）．设点P的运动时间为秒．若点P在线段DA上，且的面积为10，求的值； (3)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与直线，直线交于点M、N，若线段，请求出此时点N的坐标． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线，于点M，点N，设点Q的横坐标为m， ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，直接写出m的值； ③直接写出用含m的代数式表示的面积． 题型六 一次函数与等腰三角形 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A的坐标为，直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴上是否存在一点E，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由． 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线的图像与轴、轴分别交于，两点，且． （1）求点坐标和值． 【问题探究】 （2）点在直线的图像上，当点的横坐标是时，求的面积； 【问题发现】 （3）若点是直线图像上在第二象限内的一个动点，求的面积与的函数关系式； 【问题拓展】 （4）①问题（3）中当点运动到某位置时，的面积为，求此时点坐标； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 22．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第一章探索勾股定理时，我们就是“用不同的方式表示同一图形的面积”探究出了勾股定理．这种方法又称为等面积法． 【问题探究】小明所在的学习小组尝试了用等面积法解决下面的问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，垂足分别为，．求的值．他们用两种方法表示出的面积：    作于点，则． 连接，则 ． 请你帮助该小组的同学算出 ． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为 ．    （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为，请利用以上所学的知识求点的坐标． 【拓展延伸】 如图3，若点是第一象限内一点，且点到三边所在直线的距离相等，请求出点的坐标．    题型七 一次函数与等腰直角三角形 23．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中有两点，连接，点在线段上，连接，若点纵坐标为． (1)点横坐标为 ；（直接用含的式子表示） (2)过点作的垂线，在垂线上取一点，满足，设点的坐标为．请先按要求在图中画出图形，再求的值． 24．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标； (3)如图，已知点，点在直线上，点在直线上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点P在线段上（点P不与点A，点C重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交直线于点N．设点P的横坐标为m，线段MN的长度为l． ①求l与m之间的函数表达式，并写出自变量m的取值范围； ②连接，当时，请直接写出l的值． 题型八 一次函数与折叠问题 26．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C的坐标分别是和，E为C点左侧x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，求的长（提示：点E可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上） 题型九 一次函数与等边三角形 27．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知，在平面直角坐标系中，A、B分别在x、y轴上，线段，，的垂直平分线交x轴于点C，交于点D． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，平分，求的长； (3)如图3，，E为射线上一动点，连，以为边向下作等边三角形，连，当最短时，求的值． 题型十 一次函数与全等三角形 28．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象． (1)__________； (2)求的值． 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点，的直线（，为常数，）．过点作直线交轴于点，且． 图1                          图2                       备用图 (1)求直线的函数表达式和点坐标； (2)如图1，长方形的一边在轴上，它的对边在轴上方，设的长为，长方形沿轴向右移动得到长方形．当点的对应点移动到轴上时，顶点的对应点恰好落在直线上． ①请用含的代数式表示的长为______； ②若直线与直线交于点，当时，求长方形的面积； ③长方形继续向右移动得到长方形，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，如图2所示，连接并延长交轴于点．在平面内存在点，使得与全等，求点的坐标． 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以为边作长方形．点是边上一点（不与点、点重合），连接，以为直角边在第一象限作，其中． (1)当点的坐标为时，求点的坐标； (2)连接，当为等腰三角形时，请直接写出点的横坐标． （提示：若等腰直角三角形的直角边长为，根据勾股定理可求得斜边长为） 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与轴交于点，与轴交于点，与交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)点在线段上（点不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．设点的横坐标为，线段的长度为． ①求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②连接，当时，请直接写出的值． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则B点坐标为_________． （2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知，若，点C在第一象限，且，试求出C点坐标． （3）问题解决：如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 题型十一 一次函数与方案设计 33．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择． 套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元； 套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元． 小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？ 【分析并建立模型】 小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系． 【解决问题】 (1)请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式． (2)当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？ (3)小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 题型十二 一次函数与新题型解读 34．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）如图，甲、乙分别从，两点同时出发，甲朝着正北方向，以每秒3个单位长度的速度运动；乙朝着正西方向，以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． 规定：秒时，甲到达的位置记为点，乙到达的位置记为点，例如，1秒时，甲到达的位置记为，乙到达的位置记为（如图所示）；2.5秒时，甲到达的位置记为等等．容易知道，两条平行且相等的线段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有关运动问题时，为研究方便，我们可把点或线段进行合适的平移后，再去研究（物理上的相对运动观，就是源于这种数学方法）．现对秒时，甲、乙到达的位置点，，按如下步骤操作：第一步：连接； 第二步：把线段进行平移，使点与点重合，平移后，点的对应点用点标记． 解答下列问题： (1)【理解与初步应用】当时，利用网格，在图中画出，经过上述第二步操作后的图形； (2)【实验与数据整理】补全下表： 的取值 1 2 3 点的坐标 （ ) （ ) （ ) (3)【数据分析与结论运用】 ①如果把点的横、纵坐标分别用变量x，y表示，则y与x之间的函数关系式为___________． ②点的坐标为___________． (4)【拓展应用】我们知道，在运动过程中的任意时刻，甲相对于乙的方位（即，点相对于点的方位）与相对于点B的方位相同．这为我们解决某些问题，提供了新思路．请解答：运动过程中，甲、乙之间的最近距离为___________个单位长度． 35．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -1 -2 a -2 b 0 … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象； (3)判断：函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； 观察函数图象，当时，x的取值范围是________． 观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 1000分钟 套餐说明： 1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）． 2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟． 建立模型 1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）． A套餐：当时，； B套餐：当时，__________； 2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）． 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间的关系式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (3)根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适． 37．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【问题提出】 小明在学习一次函数后，对形如（其中为常数，且）的一次函数产生了兴趣，于是对它的图像和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明已经分别画出了函数，，的图像． 请你先完成下侧列表，然后再描点、连线在图中画出函数的图像． x 0 1 y 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图像的观察、思考，你发现（为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【总结经验】 (3)类比上述探究结果，推理函数（其中为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【实践运用】 (4)已知一次函数（为常数，且）的图像一定过点，且与轴相交于点，若的面积为2，求出的值． 38．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 工人师傅在铺地面时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2．中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为y，宽为x，且．    （1）请求出图1中y与x的函数关系式； 【策略分析】 （2）求出图2中y与x的函数关系式； （3）对于（2）中的问题，小明给出解题思路： 由图2得； 整理得：， 由平方根定义可以得出：， 所以图2中与的函数关系式是或． 小明得出的结果正确不?请说明理由． 【拓展研究】 （4）在图3中作出两个函数的图象，求出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义； （5）根据以上讨论补全下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？请说明理由． 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 … y … 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$