4.5增长速度的比较同步习题-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4．5　增长速度的比较 必备知识基础练 1.(5分) 如图所示的曲线大致反映的增长趋势所对应的函数模型是(　　) A．一次函数　　　　 B．幂函数 C．对数函数 D．指数函数 2．(5分)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) 　 A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2 3．(5分)下列函数中，当x越来越大时，随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝10 000x B．y＝log2x C．y＝2x＋1 D．y＝()x 4．(5分)给出以下四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝.则在区间[1，2]上平均变化率最大的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 5．(5分)已知f(x)＝3x与g(x)＝3x在区间[a，a＋1]上的平均变化率分别为k1，k2，当k2>k1时，实数a的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，log3) D．(log3，＋∞) 6．(5分)已知f(x)＝2x，g(x)＝3x，h(x)＝x3，则在区间[1，2]上函数值增长速度的大小顺序是(　　) A．h(x)<f(x)<g(x) B．h(x)<g(x)<f(x) C．f(x)<g(x)<h(x) D．g(x)<f(x)<h(x) 关键能力综合练 7.(6分)(多选) 如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程s的变化情况，下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 8．(5分)函数y＝在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k2<k1<k3 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 9．(5分)(易错题) 四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　) A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝ C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝ 10．(6分)(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).则以下结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 11．(6分)(多选)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中正确的是(　　) A．随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2 B．随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1 C．当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y3 D．当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度有时快于y1 12．(12分)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 核心素养升级练 13.(15分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 14．(15分)我国将每年的3月12日定为植树节，以鼓励全国各族人民植树造林、改善环境、造福子孙后代，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有如下两种方案： 方案一：每年植树1万平方米； 方法二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？请说明理由． 参考数据：1.095≈1.538 6. 参考答案 必备知识基础练 1.(5分) 如图所示的曲线大致反映的增长趋势所对应的函数模型是(　　) A．一次函数　　　　 B．幂函数 C．对数函数 D．指数函数 答案：D 解析：由题图可知，这个函数的增长速度越来越快，反映的是指数函数的增长趋势． 2．(5分)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) 　 A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2 答案：C 3．(5分)下列函数中，当x越来越大时，随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝10 000x B．y＝log2x C．y＝2x＋1 D．y＝()x 答案：D 解析：由于指数函数的增长是“爆炸式”增长，所以在所给函数中．当x越来越大时，函数y＝()x的增长速度最快． 归纳总结：不同增长的函数模型的特点 一次函数模型的增长是匀速的；二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度越来越快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度逐渐平缓的变化规律；幂型函数模型的增长特点与其指数有关． 4．(5分)给出以下四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝.则在区间[1，2]上平均变化率最大的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：C 解析：函数y＝x在区间[1，2]上的平均变化率为＝1，函数y＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3，函数y＝x3在区间[1，2]上的平均变化率为＝7，函数y＝在区间[1，2]上的平均变化率为＝，故函数y＝x3在区间[1，2]上的平均变化率最大．故选C. 归纳总结：求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率＝＝. 5．(5分)已知f(x)＝3x与g(x)＝3x在区间[a，a＋1]上的平均变化率分别为k1，k2，当k2>k1时，实数a的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，log3) D．(log3，＋∞) 答案：D 解析：由题意得k1＝3，k2＝2×3a，由2×3a>3得a>log3，所以实数a的取值范围为(log3，＋∞). 6．(5分)已知f(x)＝2x，g(x)＝3x，h(x)＝x3，则在区间[1，2]上函数值增长速度的大小顺序是(　　) A．h(x)<f(x)<g(x) B．h(x)<g(x)<f(x) C．f(x)<g(x)<h(x) D．g(x)<f(x)<h(x) 答案：C 解析：因为＝＝2，＝＝6，＝＝7，所以在区间[1，2]上函数值增长速度的大小顺序是f(x)<g(x)<h(x). 关键能力综合练 7.(6分)(多选) 如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程s的变化情况，下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 答案：BC 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误． 8．(5分)函数y＝在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k2<k1<k3 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 答案：A 解析：k1＝－1＝－，k2＝－＝－，k3＝－＝－，∴k1<k2<k3，故选A. 归纳总结：平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用： (1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢； (2)平均变化率的大小也代表了区间的端点对应的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响； (3)计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率，利用指数函数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小． 9．(5分)(易错题) 四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　) A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝ C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝ 答案：C 解析：a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.故选C. 易错提醒：在研究函数的增长规律时，要注意结合函数的图象，这样可以起到事半功倍的效果． 10．(6分)(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).则以下结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 答案：BCD 解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，B，C，D正确． 11．(6分)(多选)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中正确的是(　　) A．随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2 B．随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1 C．当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度一直快于y3 D．当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度有时快于y1 答案：BD 解析： 在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x的图象，如图所示，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A错误，B正确；当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3，故C错误；当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度有时快于y1，故D正确． 12．(12分)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 解析：因为＝＝2a， ＝＝1， ＝＝log2(1＋)， 又因为a>1时，有2a>21＝2>1， log2(1＋)<log2(1＋)＝1， 因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的最小． 核心素养升级练 13.(15分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解析：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，∴hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多． 14．(15分)我国将每年的3月12日定为植树节，以鼓励全国各族人民植树造林、改善环境、造福子孙后代，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有如下两种方案： 方案一：每年植树1万平方米； 方法二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？请说明理由． 参考数据：1.095≈1.538 6. 解析：设x(x∈N*)年后的树木面积为y，则方案一的函数模型为y＝10＋x，方法二的函数模型为y＝10(1＋9%)x，将x＝5分别代入两种方案中． 方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米). 方案二：5年后树木面积为10(1＋9%)5≈15.386(万平方米). 因为15.386>15，所以方案二较好． 学科网（北京）股份有限公司 $$