河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月质量检测数学试卷

高二数学 一红来 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写 清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水答 字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:北师大版选择性必修第一册第一章~第三章第3节。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.直线x一-2的倾斜角为 C B D.- A.0 一1的渐近线方程为 3.过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线/的方程是 A.x十y-3-0 B.x-2y-0 C.x十-3-0或x-2-0 D.x十v-3-0或x-y-1-0 4.“m>4”是“方程(n十3)r十(4一m)v-1表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知a-(1,3.-2),b-(m,2,m+1),若a b,则n的值为 C.4 B.-6 A.6 D.-4 【高二11月质量检测·数学 第1页(共4页)】 北师大 6.已知tR,若关于x的方程 1-2^*}-x十1有两个不相等的实数根,则/的取值范围是 #.###) B.(###)# C.#2) D.(一②②) B-4FA,则C的离心率是 # C D.5 8.已知圆M;r*十(-3)}一4.过x轴上的点P(x,0)作直线/与圆M交于A.B两点,若存在直线/使 得2PA一AB,则x。的取值范围为 A.[-v6,6] B.[-V7,/7 C.[-2/2,2/2] D.[-3,3] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.平行六面体ABCD-A.B.CD 的底面ABCD是正方形,AA =AB=1.AAB= AAD=60*},AC OBD=O,A.COBD.-O,则下列说法正确的是 A.AC-/5 B.BO-A-D+A C.四边形BBDD的面积为/2 D.若AM-5A+A0-AB,则点M在平面B:BD.内 10.已知抛物线C:v一4x的焦点为F,准线为/.经过F的直线n与C交于A,B两点(A在第一象限) D(0,1),E为C上的动点,则下列结论正确的是 A.满足△ADF为直角三角形的点A有且仅有2个 B.过点D且与C有目仅有一个公共点的直线恰有3条 C.若E在直线/上的射影为E,则ED十EE/② D.若直线m的倾斜角为,则|AF|-3|BFl 11.关于曲线E:x十y一1,下列说法正确的是 A.曲线E关于直线y一一文对称 B.曲线E围成的区域面积小于2 【高二11月质量检测·数学 第2页(共4页)】 北师大 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知空间向量a-(2,2/,/),b-(2十/,t-4,/-1),/是实数,则b-a的最小值是 13.如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞅图,该桥是世界首座独塔地错式回转缆悬索桥,大桥主 跨OA长约500米,主塔AB的高约100米,缆悬索OB是以O为顶点并开口向上的抛物线C的一部 分,则主塔顶端B点到抛物线C的焦点F的距离为 米. s_ 桥面 D(0,t),使得ADB的平分线在y轴上,则的值为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知点A(1,-6),B(3,2),直线/方程为ax十v十a+1=0(a R) (1)证明:无论a取何值,直线/必过第三象限; (2)若点A,B到直线/的距离相等,求a的值 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y*-2x(>0)与圆x十-9相交于A,B两点,且|AB-4v2 (1)求抛物线C的方程 (2)若直线/:y一2x-1与C相交于M,N两点,F是C的焦点,求△FMN的周长 17.(本小题满分15分) 设A(1.③),B(4.0).C(-3.③),D(1.-③),圆Q的圆心在x轴的正半轴上,且过A,B.C.D中的 三个点. (1)求圆Q的方程; (2)若圆Q上存在两个不同的点P,使得PA{}十PC}一2入成立,求实数入的取值范围 【高二11月质量检测·数学 第3页(共4页)】 北师大 18.(本小题满分17分) 原点. (1)求尸的方程; (2)A,B,C,D是F上的四个点,AD与BC相交于点E(4,-2) ①若A,B分别为C与x,y轴的正半轴的交点,求直线CD的斜率 ②若直线AB的斜率为 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中,若在曲线E的方程F(x,y)一0中,以(x,y)(>0且a关1)代替(x, 得到曲线E。的方程F(x,y)一0,则称E,是由曲线E:通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线 入称为伸缩比. (1)若不过原点的直线E:通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是E,证明:E。是与E 平行的 直线; x轴有A,B两个交点(A在B的左侧),过点(4,0)且斜率为的直线/与E在y轴的右侧有M N两个交点. ①求b的取值范围; ②若直线AM,BM,BN的斜率分别为,,,证明:(一)为定值 【高二11月质量检测·数学 第4页(共4页)】 北师大高二数学参考答案、提示及评分细则 1,B直线x=一2垂直于x轴，所以其倾斜角为乏.做选B 2A双曲线号-荒=1的渐近线方程是号-无=0，即)y=士子故选八 3.C当直线1过原点时，其方程是x一2y=0,符合题意：当直线1不过原点时，其斜率为一1，所以方程是x十y一3=0.故 选C 4.A方程(m十3).x2十(4一m)y=1表示双曲线，则(m+3)(4-m)<0,解得m<一3或m>4,所以“m>4”是“方程 (m十3)x2十(4一m)y=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A 5.Ca·b=m+6一2(m+1)=m+6-2m一2=0，解得m=4.故选C. 氏.Λ由题意y一一27表示焦点在y轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为A(一号0小： 当直线=x十：经过A点时1=号，当直线y=x十与椭圆相切时，由 =1一2·得 y=x+t 3+2+f-1=0.所以4=-4×3X(f-1D=0,解得1-（负根合去.当直线与半 椭圆有两个交点时，根据图象！的取值范围为[受，受)放选入 7.D不妨设F是椭圆C的左焦点，F是C的右焦点，C的焦距为2，连接BF,AF,则|BF =BF=a,又萨=4Fi.所以AP=a,AF1=子a.在△ABF中，由余弦定理得 cOS∠ABF=AB+BF-AF (a)'+ar-(a) 2AB·BF 2…a…a =-号，所以1-2sim∠F0 -古即sn∠FB0=西所以e=后-=部=sn∠FB0=,放选D &B根据题意，对于给定的P点，当直线1过圆心M时，骨-=2此时滑有最大值，所以-2≥2， 所以|PM≤4，即√x+9≤4，解得-7≤xo≤7.故选B 9.ACD因为AC=AB+AD+AA,所以AC=(AB+AD+A4)=AB+AD2+A42+2AB.AD+2AD.A4 +2AA·A亦=1+1+1+2×1×1×c0s90°+2×1×1×os60°+2×1×1×c0%60°=5，AC1=5,故A正确：因为 Bd-B丽+BG-AM+之D=-AA+号(D-A)=-A店+号A市+AA,故B错误，因为筋·B酝 B币.A4=(AD-AB)·AA=AD.AA-AB.AA-1X1×cos60°-1X1Xcs60°=0，所以BB⊥BD,四边形 BBDD,为矩形，其面积S=BB×BD=1×2=E,故C正确：因为=号A0+号Ad-A,由于号+号-1=1. 所以M,O,O,B,四点共面，即M在平面B:BDD内，故D正确.故选ACD. 10.BCD对于A,显然满足∠AFD=乏的点A恰有1个，又以DF为直径的圆与抛物线在第一象 限有1个交点，当A,2)时，∠ADF=乏，所以满足△ADF为直角三角形的点A恰有3个，故 A错误：对于B,当直线斜率不存在时，直线方程为x=0,与抛物线只有一个公共点：当直线斜率 y=kx+1, 存在时，设直线方程为y=kx十1，联立 y2=4x, 消x得ky一4y十4=0，当k=0时，方程为y =1,此时直线与抛物线只有一个交点：当k≠0时，则△=16一16k=0,解得k=1.综上所述，过 点D与C有且仅有一个公共点的直线有3条，故B正确：对于C,如图所示，抛物线C:y=4x的 【高二11月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 北师大 焦点为F(1,O),|ED|+|EE|=|ED十|EF|≥DF|=√2，当且仅当E在线段DF上时取等号，故C正确：对于 y2=4x, D,因为F(1,0),直线m的倾斜角为于，则直线m的方程为y=√(x一1)，联立 得3x2-10x+3=0, y=√3(.x-1). 解得A=3,=号，所以AF=A十号=4，BF=十号=号，则|AF=3引BF,放D正确，放选BCD 1L.ABC对于方程x支+|y支=1，以一x代替y,同时以一y代替x方程不变，所以曲线E关于y=一x对称，故A正 确：对于B,设(m,n),(m,)分别为x十|y支=1与x十y=1图象上第一象限内的点，0<m<1,则n一t=(1一√m) 一(1一m)=2(m一√m)<0,所以(m,n)在(m,t)的下方，所以曲线E围成的面积小于|x十|y|=1围成的面积，故B 正确：对于C因为x士<（止）广=子，等号仅当x==时成立，所以曲线E上的点到x轴、 y轴的距离之积x<()广=6，故C正确：对于D,因为士y止≤√回立，所以1x十y≥ 2 2 2(☑止)广-之，等号仅当x=-时成立，所以曲线E上的点到x轴y轴的距离之和的最小值为分 2 故D错误.故选ABC 12.3因为b-a=(2+t,1-4,1-1)-(2,21,1)=(1,-1-4,-1),所以|b-a|=√+(-t-4)2+(-1)下= √2+8t+17=√2(t+2)+9,所以当1=一2时，b-a取最小值，且最小值为3. 13.725以O为坐标原点，过O且与主塔AB平行的直线为y轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，则B(500,100),设抛物线C的方程为x2-2y,则500-2p× 桥向 A 100,解得p=1250,所以抛物线C的准线方程为y=一625，|BF1=100+625 =725. 14.3设A(.M),B(.,必)(0)，由题得k十km=0,即当，二/+少二1-0，整理得(y-t)十.n(边一1)=0.又 为=十分%=十分所以n十号-0+n(k+专-)=0，整理得2张n+(传-)小国十)=00. 一红+分得6E++号红一号=0.所以+ 运=骨代入①并整理得-2k+号=0. 9 由 x2+y2=1 此式对任意的k都成立，所以=3 15.(1)证明：直线1的方程为a.x十y十a十1=0，即a(x十1)十(y+1)=0, 所以直线1过定点P(一1，一1)，… …3分 因为（一1，一1）位于第三象限，所以无论a取何值，直线l必过第三象限。 …6分 (2)解：法-：由点到直线的距离公式知，a一6+a+1=3a+2+a+1 √1+a √1+a 即2a-5|=|4a十3|，… …9分 所以2a-5=4a+3或5-2a=4a+3, 解得a=-4或a=子 13分 法二：若点A,B到直线I的距离相等，则直线AB∥l或直线1经过线段AB的中点，…8分 当AB/1时，-a三号，解得a=4, …10分 线段AB的中点坐标为（生，一士）.即(2，一2.… 11分 当直线l经过线段AB的中点时，2a一2+a+1=0,解得a=3: …12分 综上a=-4或a=子 13分 【高二11月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 北师大 16.解：1)因为1AB=42,根据圆与抛物线的对称性，不妨设A(,2√2) …2分 因为点A(告，22)在圆2+y=9上，所以9+8=9，… …5分 解得p=4(负值舍去)，所以C的方程是y=8.x 7分 y=2x-1, (2)由 消去y并整理得4.x2-12.x+1=0, y2=8x 设M(x为).N(x业)，则 △=(-12)2-4×4×1=128>0，.01十x=3,x1x= …9分 所以MF川十|NF到=n十2十p=十x2十4=7，…12分 |MN1=V(a-)'+(M一了=√(-x)+(24-1-2+1)=V5(-)了=V√5(+)2-4J -V5(3-X)=2/而，…14分 所以△FMN的周长为|MN+MF+NF=7+2√IO.… …15分 17.解：(1)若圆Q经过A,C,则圆心必在AC的垂直平分线x=-1上，不合题意： ……1分 根据题意得圆Q只能过点A,B,D三点，… …2分 线段AB的垂直平分线的方程为/3x一y一23=0，… 3分 线段AD的垂直平分线的方程为y=0,… …4分 3x-y-23=0, [x=2, 联立方程组 解得 y=0, y=0, 所以圆心为(2,0)，半径为2， 所以圆Q的方程为(x一2)2十y2=4.… …7分 (2)设P(xy),因为PA2+PC=2x, 所以(x-1)2+(y-V3)+(x+3)+(y-3)=2λ， 化简得(x+1)2+(y一√3)°=1-4，所以>4. 11分 根据题意有√-可-2<23<V-4+2,解得20-83<1<20+83.… 15分 18,解：)因为M0,1D是椭圆T上的一点，所以行=1，即6=1… …】分 又∠Mf0=30°，所以a=2b=2, …3分 故厂的方程为十y=L. …4分 (2)①若A,B分别为椭圆Γ与x,y轴的正半轴的交点，则A(2,0),B(0,1), 则直线AD的方程是y=,.(一2》.即y=2-,代人椭圆r的方程，消去y并整理得5-1十12=0，解得： =2或x=号，因为A(2.0,所以m=号则物=青，即D(号，号) 小…7分 同理可得C(一) 5 …9分 5 所以km 135 246 6 10分 135 【高二11月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 北师大 ②因为直线AB的斜率为一号，所以可设直线AB的方程为y=一号x+m,m≠0， 代入号+y=1消去y并整理得x2-2mx+2m-2=0. 设A(1M),B(x2,y),则△=(-2n)2-4(2m2-2)=4(2-m2)>0,x1十x2=2n,d1=2m2-2, 1AB=a-)牛n为=√-+-=号V+-46=5:2m, …13分 又点E(4,一2)到直线AB的距离d=2m. 5 …14分 所以△EAB的面积S=之×ABd=√2一m·m<2-m)+证=1，等号仅当2-m=|ml,即m=士1时 2 成立， 显然m=士1满足△>0，所以△EAB面积的最大值是1.… 16分 此时，直线AB的方程是y=-7x士1.即叶2叶2=0或+2y一2=0. 17分 19.(1)证明：设不过原点的直线E的方程是a,x十by十=0(a,b,c都是常数，且a,b不同时为0，c≠0)，则曲线E2的方程 是ax)+b)+c=0(>0.且入≠1).即a+6+元=0，… …2分 因为a6,6分都是常数，且a,b不同时为0，≠0.≠分 所以曲线E是一条直线，且与直线E,平行.… …3分 (2)①解：伸缩比X=时，曲线E通过关于原点的“伸缩变换“得到的曲线是B:后一千=1， 所以曲线6的方程是2g-②-1，即听-y=1.… 16 4 …5分 E与x轴的两个交点A,B的坐标分别是（一2,0），(2,0)， 因为直线1过点(4,0)，斜率为k,所以直线1的方程为y=k(x一4)，代人x2一4y=4, 消去y并整理得(42-1)x2一32k2x十642十4=0，…7分 设My),N(2).则1-4k2≠0,4=(-32k)-4(42-1)(64+4)=16(122+1)>0,西+x=4 32k2 nn=64k2+4 4k2-1· …9分 因为1与B在y轴的右侧有两个交点，所以十一2二>0，且一张告兰>0，…11分 32k2 解得K-或k>2,所以的取值范围是(-0，一2)U(号，十∞)： …12分 ②证明：由①知k<一或>号，所以k≠0， k2k=边 (一4)（一4）=x12-4k(+2)+16k2 2(64+1_4h×32k+16k 产2‘产22鼎 4k2一1 4k2一1 xg-2(0十2)+4 64k+42×32k 4k-1一4k二1十4 一12k =-3 16k2 4 15分 16分 所以s(一)=一k=}-(-子）=1为定值.… 17分 【高二11月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 北师大