精品解析：湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一､单项选择题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解分式不等式和指数函数的值域，再由交集定义即得. 【详解】由可得，解得，即， 又由，故，即. 故. 故选：C. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题，则命题的否定： B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若，则 D. 已知集合，且，满足条件的集合的个数为8 【答案】B 【解析】 【分析】利用命题的否定形式判断A；集合的子集关系判断B；不等式的性质判断C；集合的子集的个数判断D. 【详解】对于A，由特称命题的否定知，命题，的否定为：，故A正确； 对于B，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B不正确； 对于C，因为，所以，则，故C正确. 对于D，由，故集合N的个数为，故D正确. 故选：B. 3. 下列比较大小的式子中，正确的有（ ）个 ①；②；③. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①底数存在乘方的关系，所以化简成同底数，利用指数函数单调性比较大小；②③底数没有乘方关系，所以化简成同指数，利用幂函数大单调性比较大小. 【详解】，，∵且∴，∴，故①成立； ，，∵且，∴，故②成立； ，，即， ∵且，∴，∴，故③不成立. 故这三个式子中只有2个正确. 故选：C 4. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断． 【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增， ∴，解得m＝2， ∴， ∴在R上为奇函数， 由，得， ∵在R上为单调增函数， ∴， ∴恒成立． 故选：A． 5. 在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 6. 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【详解】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 7. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先由奇偶性求得在上的解析式，把不等式转化为等价不等式组，结合指数函数单调性，求解不等式组的解集即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，， 当时，，可得，所以， 又因为为上的奇函数，则， 则可转化为或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程有13个不同的解 C. 在上单调递增 D. 当时，恒成立 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数和的图象，结合图象，对选项中的命题真假性判断即可． 【详解】在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示： 计算，选项A正确； 方程可化为， 则时，方程有3个不同的解，时，方程有5个不同的解， 由此得出方程有个不同的解，故有13个不同的解，选项B正确； 由图象知，在,上单调递减，选项C错误； 当,时，可化为， 由于在每个区间,内，在处取得最大值，故 等价于，，即，恒成立，所以选项D正确． 故选：C． 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 二､多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数且的图象恒过定点 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】A.利用抽象函数的定义域求解；B.由指数函数过定点问题求解；C. 令，利用对勾函数的性质求解；D.由判断. 【详解】A. 因为的定义域为，所以，解得，所以的定义域为，故正确； B. 令，得此时，所以函数且的图象恒过定点，故错误； C. 令，由对勾函数的性质得 在 上递增，所以 ，故错误； D. 若方程有一正根和一负根，则方程两根，解得，当时，，故正确； 故选：AD 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 的值域是 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用反函数法可判断C选项；分、两种情况分析，结合“高斯函数”的定义可求出函数的值域，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，且， 所以，，所以，函数为奇函数，A对； 对于B选项，因为，， 所以，，，则， 所以，函数不是偶函数，B错； 对于C选项，设，可得，即，解得， 所以，函数的值域是，C对； 对于D选项，当时，， 当时，， 所以，函数的值域为，D对. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对称性、和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】可得， 又， ，故，C正确 的图象关于直线对称， ， ， ， ，，，B正确； 的图象关于直线对称， ，，是偶函数； 又， ， ，又是偶函数， ， 是偶函数，故A错误， 由得，根据是偶函数，， 又，，由，， ，D正确． 故选：BCD． 三､填空题 12. 已知，计算：__________. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】平方得到，再运用完全平方公式、立方差公式变形代入即可. 【详解】平方得，即， . 故答案为：. 13. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，并判断函数的单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】对，， 令，则，， 函数在上单调递增，， 不等式 ，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数定义域为且满足，且时，，若不等式f()≤f()＋f(a)恒成立，则a∈____________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数单调性的定义先判断的单调性．然后化简已知不等式，根据单调性解已知不等式，参变分离后利用基本不等式进行求解即可． 【详解】任取，，且， 则，， ， 即， 由此得到是上的减函数． 则不等式（a）等价为不等式， 即，即， ，当且仅当时，取等号，，即，. 故答案为：，. 四､解答题 15. 已知函数的定义域为 （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，再结合判别式，可求得的取值集合； （2）由题意得到是的真子集，分类讨论和两种情况得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 由题意得不等式的解集为： 当时，恒成立，满足题意； 当时，则由解集为可得，解得：， 综上可得：； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件可得：是的真子集， 当时，满足题意，此时有，解得：； 当时，则，解得， 综上，的取值范围是. 16. （1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）6 【解析】 【分析】（1）由得，根据与1的大小分类讨论即可求解； （2）由已知得，利用韦达定理得，进而得，令，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）， 当，即时， ， 当，即时，无解， 当，即时， ， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号，故的最小值为6. 17. 荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为. （1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【答案】（1）（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小为平方米 （2）采光条件变好了，理由：设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 【解析】 【分析】（1）（i）利用三角形相似可得，得出面积表达式解不等式可得结果； （ii）依题意得出不等式组即可解得结果； （2）利用作差法即可判断出采光效果是变好了. 【小问1详解】 （i）设矩形的另一边长为， 由三角形相似得且，所以， 又矩形窗户面积， 解得， 故的取值范围为. （ii）设地板面积为，解不等式组， 所以，即，解得， 故窗户面积最小为， 令，可得，解得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米. 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 19. 若存在常数k，b使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数． （1）证明：函数在区间上单调递增． （2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：任取，不妨设， 则 ， 由，则，， 故，即， 故函数在区间上单调递增． （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明结论； （2）求出的图象的交点，设与是存在隔离直线函数，可得，利用可求出k的值，结合证明，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，与存在隔离直线函数； 令，即， 即，即， 即，解得或， 由于，故舍去； 当时，，即有公共点， 设与存在隔离直线函数， 则点在隔离直线函数上，则，即， 则； 若当时有，即， 则在上恒成立，即， 由于，故此时只有时上式才成立，则， 下面证明，令， 即，故，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即为与的隔离直线函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一､单项选择题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 命题，则命题的否定： B. 若集合中只有一个元素，则 C. 若，则 D. 已知集合，且，满足条件的集合的个数为8 3. 下列比较大小的式子中，正确的有（ ）个 ①；②；③. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 5. 在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 6. 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程有13个不同的解 C. 在上单调递增 D. 当时，恒成立 二､多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数且的图象恒过定点 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 的值域是 D. 的值域是 11. 已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 三､填空题 12. 已知，计算：__________. 13. 已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为__________. 14. 已知函数定义域为且满足，且时，，若不等式f()≤f()＋f(a)恒成立，则a∈____________. 四､解答题 15. 已知函数的定义域为 （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 17. 荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为. （1）已知阁楼屋顶为高，底边长的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 19. 若存在常数k，b使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数． （1）证明：函数在区间上单调递增． （2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $