河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

沧衡名校联盟高三年级2024-2025学年上学期期中考试 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语,函数与导数,不等式,三角函数与 解三角形,平面向量,复数,数列. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={xl-2<x<5),B=(xl2a-1<x<2a+6),若AB=(x|3<x<5 , 则a- A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是 A.ab>bc B.ac2>bc2 D.a(a-c)>b(-c) 3.在等比数列(a.)中,a一aa;=27,则a= A.273 B.81 C.813 D. 243 4.甲、乙、丙三人进人某比赛的决赛,若该比赛的冠军只有1人,则“甲是冠军”是“乙不是冠 军”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知cos(a-)-2 -,tanatang-3,则cos(a十B)- A- B-2 C. 6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,在化学中,常用pH值来表示溶 液的酸碱度.pH的计算公式为pH一一lgc(H),其中c(H)表示溶液中氢离子的浓度,单 位是摩尔/升.已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升,则A溶液的pH值约为(参考 数据:1g2~0.301,lg3~0.477) .B.0.87 C.1.13 A.0.268 D.1.87 【高三数学第1页(共4页)】 7.如图,AB是圆O的一条直径,CD是圆O的一条弦,点P在线段CD上,若AB-10,CD= 6,则PA2+PB?的最小值是 A.41 B.50 C.82 D.100 8.已知函数f(x)-3cos(x-)(>0)在(0,n)内恰有两个零点,则的取值范围是 #) B.[1,17 #{## D.(17 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分 9.已知复数5-31 7-,则 A.2-4-i B.z·2-15 C.1z-221-5 D.2一3在复平面内对应的点位于第一象限 10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=v3,且(2b一c)cosA=acosC,则下 列结论正确的是 A.A- B.△ABC的外接圆的面积是. D.26一c的取值范围是(一/③,2/③) 11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)一f(4一x),当0<x<2时,f(x)=x*-2x,则 A.f(3)--1 B. f(x)的图象关于直线x三1对称 C.f(x)的图象关于点(4,0)中心对称 D.当4<x<6时,f(x)=-x2+10x-24 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知向量a-(-1,1),b-(2,1),若(ka十b)1a,则 -△ 13.正偶数排列如图所示,a(m,n)(m,nN.)表示第m行第n个数,如a(4,3) 2 -18,若a(m,n)-2024,则m-n-△. 6 8 1012 14.已知函数f(x)-lnx-ae“,若对任意的x>-,f(x)<o成立,则正数a的 14 161820 __ 取值范围是_△. 【高三数学第2页(共4页)】 , 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin(A-)-asinB. (1)求A的大小; (2)若a=4,且△ABC的面积是③,求b十c的值 16.(15分) 已知函数f(x)-x3-x?+2x-5 (1)求曲线y=f(x)在x一1处的切线方程 (2)若过点(1,n)(m去一3)可作曲线y一f(x)的三条切线,求m的取值范围 17.(15分) 设数列a。)的前n项和为S。,且2S.一3a.一1 (1)求(a.)的通项公式; (2若.- (a,n为奇数, 求数列(.)的前n项和T。 lloga.,n为偶数, 【高三数学 第3页(共4页)】 18.(17分) 已知函数f(x)-Acos(cx十)(A>0,>0,-<<o)的部分图象如图所示 (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的单调递减区间 (3)若存在xe[-,o],使得不等式f(x)十a^{}+2a-1<o成立,求a的取值范围. 器 出 19.(17分) m 若存在有限个x。,使得f(一x。)一f(x。),且f(x)不是偶函数,则称f(x)为“缺陷偶函 数”,x。称为f(x)的偶点 1 (1)证明:h(x)一x十x为“缺陷偶函数”,且偶点唯一. (2)对任意x,yER,函数f(x),g(x)都满足f(x)十f(y)十g(x)-2g(y)-x?十y. → 要 参考数据:ln- 2 智 【高三数学 第4页(共4页)】 题回 沧衡名校联盟高三年级2024一2025学年上学期期中考试 数学参考答案 (2a十6>5. 1.B 由题意可得 ,解得a-2. l2a-1-3 2.C 对于A,当a=1,b--1,c=-2时,不满足ab>bc,则A错误.对于B,当c=0时,ac^2 确.对于D,当a=-1,b--2,c=-3时,不满足a(a-c)>b(b-c),则D错误 3.D 设数列(a.ì的公比为q,则aìq③}=aìq·aq②}-27,解得a,-1,q-3,故a-aìq5-243. 4.B 若甲是冠军,则乙不是冠军;若乙不是冠军,则甲是冠军或丙是冠军,故“甲是冠军”是“乙 不是冠军”的充分不必要条件 cos acosB+sin asin)- 5.A 由题意可得 sinasinB-3. lcos acosp 6.B 由题意得pH--lg0.135--lg135+3--3lg3-lg5+3--3lg3+lg2+2-0.87 7.C 如图,连接PO.由题意得O是线段AB的中点,所以OA--OB.因 为PA-P+OA.PB-P+OB-P-OA,所以PA-P*+ 2P.OA+OA*,PB:-P-2P.OA+OA,所以PA*+PB= 2PO2+2OA*.因为AB-10,CD-6,所以圆心O到直线CD的距离d- #(4B){-}-(C){*}-4.,所以4<IP|<5,所以82<2P+20A< 100.故PA+PB的最小值是82. 以2#得_# 1-2 -i-17,则A正确,B错误.因为z-2z--4十3i,所以lz-2l-5,则C正确.因为z-3 1十i,所以z一3在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,则D正确 10.BCD 因为(2b一c)cos A=acos C,所以 2sinBcos A-sin Ccos A=sinAcos C,所以 2sin Bcos A-sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)一sin B,因为sin B:0,所以cos A= 【高三数学·参考答案 第1页(共5页)】 c*-2bccosA,即6^{②}十c2-bc=3.因为b十c*>2bc,当且仅当b=c时,等号成立,所以bc< sinA 3sinB-3co B-=2\3snB-).因为<B<2-,所以一-<B-<,所以-<# sin(B-)<1,所以-3<2v3sin(B-)<2v3,即2-c的取值范围是(-3,2v3). 故D正确. 11.ACD因为f(x)-f(4-x),所以f(3)=f(1),因为f(x)=x2-2x(0<x<2),所以 f(3)=f(1)一一1,则A正确,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(一x)一一f(x) 所以f(一1)=一f(1)=1.因为f(一1)≠f(3),所以f(x)的图象不关于直线x-1对称 则B错误.因为f(x)一f(4一x),所以f(一x)一f(4十x).因为f(x)是定义在R上的奇 函数,所以f(一x)=一f(x),所以f(4十x)=一f(4一x),所以f(x)的图象关于点(4,0) 中心对称,则C正确.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)一0,所以当0<x<2 时,f(x)-x*-2x.设4<x<6,则0<x-4<2,所以f(x-4)-(-4)*-2(x-4)-x -10x+24.因为f(x)-f(4-x),所以f(x)=-f(x-4)=-x2+10x-24,则D正确. 因为a-(-1,1),b-(2,1),所以ka十b-(2-k,1十).因为(ka十b)Ia,所以(ka十 b)·a--(2-b)十1十-0,解得-1 ,n(n十1) n+1). 个数,当n-44时, 13.23 由题意可知第:行有n个数,则前n行一共有 12 990 1012,当n-45时 1012-990-22,所以”-22,则m-n-45-22-23 14.[,+o)由/(cx)<o,即lnx-ae“<o,得lnx<ae".,因为x所以xlnx<axe" -"lne“.设g(x)-xlnx,则g'(x)-lnx十1.因为x→-,所以g'(x)>0,所以g(x)在 [1]+o)上单调递增,因为xln.x<e“"lne“,所以g(x)<g(e“).因为ax>o,所以e“> h'(x)>o,得0<x<e,则h(x)在(0,e)上单调递增.故h(x)<h(e)-1,即a二1. 15.解:(1)因为bsin( A-")-s inB,所以sin B sin( A-")- sin Asin B.....1分 【高三数学·参考答案 第2页(共5页)】 王 因为<Bpvr.以样. s.p..,.以.-.答 ...s. ,....... 所以tanA--3,又0<A<n,所以A- .2r 3 ............ 由余弦定理可得a{-b{+c2-2bccosA,即b{+c2+bc=16, 故b十c-25. 则所求切线方程为y-(-3.)=-3(x-1),即y=-3x-6(或3x-y-6-0).....5分 (2)设过点(1,n)(n去-3)的切线的切点为(x。,y。). 由(1)可知f(x)-3x2②-2x十2,则所作切线斜率 -f(x。)-3x}-2x。+2. ....-6分 由直线的斜率计算公式可得 y。-n2-x+2x。-5-m ................. 2。-1 2。-1 则-+2o-5- -3x- 2x。+2,所以22x-4x+2x。+m+3-0....... 8分 x。-1- 因为过点(1,n)(n去一3)可作曲线y=f(x)的三条切线,所以关于x。的方程2x3-4x2+ 2x。十十3一0有三个不同的实数根. . ...................... 设函数g(x)=2x3-4x2+2x+m+3,则g'(x)=6x*-8x+2=2(3.x-1)(x-1)..... ..........1.分.. 由g'(x)>0,得x<或x>1,则g(x)在(-o,)和(1,+oo)上单调递增; ...11分 由g”(x)<o.得<x<1,则g(x)在(},1)上单调递减. ................. ..... $()-2x()*}-4x()+2x}+m+3>o, 由题意可得 ............... g(1)-2×1-4×1+2×1+m+3 0 ................... 则(a.)是.首...........,.,.....................5分 (2)由(1)可知当”为奇数时,b.一a.-3“-; 【高三数学·参考答案 第3页(共5页) , 地王 当n为偶数时,b.-loga.=n-1. 当n为奇数时,T。三(++十..+.)十(++b十..十b-) =(1+3+3+...+3“-1)+(1+3+5十...十n-2) 1--(1+n-2).n-1 2__ 3"1+2n2-4n+1 ........................... 当n为偶数时,T.=(b,+b+b;十...十b-))十(b十b十b。十.+b.) =(1+3+3+...+3”)+(1+3+5十...十n-1) ..................... 2 3"+2n2-4n+1 ,”为奇数, 3“-+2:-1_为偶数. 8 综上,T.一 8 -12-2 由图可知/(11)-Acos(11+)-0,则l1+=n+(k< ), ..................................................分 故f(x)-2cos(2:-). 故f(x)的单调递减区间是[+,^n+2-](z】). ........................ 因为存在xe[-,o],使得不等式f(x)+a^2+2a-1<o成立,所以-2+a2+2a-1< 【高三数学·参考答案 第4页(共5页) 即a{+2a-3<0,解得-3<a<1,故a的取值范围是[-3,1. ................ 19.证明:(1)由h(一x)=h(x),得一x十(一x)-x十x, 解得x一0,所以h(x)只有1个偶点,且偶点为0; 所以h(x)一x十x为“缺陷偶函数”,且偶点唯一。 (2)由题意得f(x)十g(x)一x2=一f(y)+2g(y)十y对x,yER恒成立, ........4 所以存在常数a,使得f(x)十g(x)一x2=一f(y)+2g(y)十y=a. f(x)十g(x)-x2-a, 解得g(x)--2-+2a 令y-x,得 .............. l-f(x)+2g(x)十x-a, 3 -2 2 即x?--2a(x:0),则-2a>0,即a<0. ............. F(x)-2g(c)--+2ax 2,F'(x)-3-2-2r+2a 3 3 因为△-4-24a0,所以F’(x)一0必有两根x.,.(设x.x).............8分 当x<x.或x>x。时,F'(x)>0,当x<x<x时,F’(x)<0 所以函数F(x)一xg(x)有2个极值点x1,x2. ②若g(3)一 当x>1时,要证g(x)>ln(x?-1),只需证x2-x>ln(x?-1). 因为x-x-(3x-4)-(x-2)*>0,所以x-x>3x-4, 则'(x)-3-63(---1)(x1). 2(c2-1 22-1 所以 ()一-()因为()-1-15. 所以p(x)mn_3 2 17分 【高三数学·参考答案 第5页(共5页)】