河南省2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题

2024一2025年度河南省高二上学期第三次月考 数学参考答案 1.B直线1的斜率不存在，故直线1的倾斜角为受 2.D(a·b)c与a(b·c)不一定相等. 5- 2 3.A由题意可得 b=2. 解得a-2,所以椭圆C的方程为号+苦-1 a2=b2+c. 4.D因为a.b,c共面，所以c=xa+yb,即（一1,0，m)=r(0,1,2)+y(一1,1,1）=（一y,x+ -y=-1, y,2x+y),则x十y=0,解得x=-1y=1,m=-1. 2r+y=m 5.C点P(0,1)关于x轴对称的点为点P'(0,一1)，所求方对应的直线为P'Q,其方程为 y-克-1.即x-2y-2-0, + 6.A设A(x1·y1)B(x2y:).则 两式相减可得i连+i=0,即青+ +- 9 十x=-1 y-yz)+y=0.因为M是AB的中点.所以 即十x3=-2. (x1-x2)(x1十x) y十2=1 y1+y2=2. 2 直线1的斜率k-二兰所以+·马2-0，解得k=音 x一x3 7.D取BC中点的F,连接AF.以A为坐标原点，AF,AD,AA,所在 直线分别为x,y,z轴.建立空间直角坐标系，则B(V3.一1.0)， A1(0.01).D(0.2.0).BA=(-3.1.1).AD=(0,2.-1).点B 到直线A:D的距离为 -(·_2画 IADI 5 8.B设P(xy)则Pi=(2-x,-y).i=(10-x,-y).因为A·Pi=0,所以(2-x)· (10-x)+(-y)=0,即(x一6)+y2=16,所以点P在以(6,0)为圆心，4为半径的圆上.因 为点P在直线x一4y+2=0上，所以直线1x一4y+2=0与圆(x一6)+y'=16有公共点， 【高二数学·参考答案第1页（共6页】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 则l品<4解得-<<8 02+16 9D若>1则：=后-号=宁解得长=台若<1，则-号=号=子解得 10AD将两圆的方程作差，可得x-号·即直线AB的方程为z一号A正确， 圆01：x2+(y-2)2=4,圆02：(x-3)2+(y-2)2=9,圆01的圆心为O1(0,2),半径r1= 2,圆O:的圆心为O:(3,2),r2=3,线段AB的中垂线经过O1和O:的圆心，故线段AB的 中垂线方程为y=2,B正确， 圆0：的圆心0，到直线x-号的距离为号放AB1=22:-(T_8,c结误 点M与点N之间的距离的最大值为r1十r2十|O1O2|=8,D正确. 1L,ABC以A为坐标原点，AD,AB,AA1所在直线分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系，如 图所示，连接PQ,BN. A1(0.0.6).Q(3.0.号）B(0.6.0).N(6.:3).P(0.0,3).则 7 D P戒-(3.0.).B时=(6.03)，耐=2P戒所以Q,B,N.P四 点共面，若A1N=2A1Q-2A1户+uA,则2-2+μ=1，解得 μ=1，A正确.过点H作HG⊥A:B,交A,B于点G,过点G作 AB的垂线，垂足即K1,过点A作AB的垂线，垂足即K:连接 HK1,HK.由题意可得AH=6a(0<A<1),则H(0,0,6λ). G(0,3-3x3+3),K1(0,3-3,0),K:(0,3,3),则AK:=(0,3.3),HK1=(0,3-3, -6),HK,=(0,3,3-61),A1B=(0,6,-6).易得AK:是平面a的一个法向量，若HK, /伻面a则HK·AK:-0,即3(3-3)+3(-6)=0，解得入-号∈(0.1).符合题意，所 以存在点H,使得HK1∥平面a,B正确.|HK|=√(3-3)+(-6)下= 3√5-2以+-3√5（入-）广+当入-号时.HK取得最小值，最小值为5 .c正 确.若HK1⊥HK:,则HK·HK=3(3-3)-6A(3-6)=0,得4以2-3十1=0，无解， 所以不存在点H,使得HK1⊥HK:D错误 1 12】直线l1的斜率k1=-3,则直线：的斜率k:=2十a=了解得a=1 13.6连接AD,(图略).A萨.A心-号D+AC)·A花=号A可，A心+AC=号×2厄 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 可h只 X2 Xcos-晋+号×2Ey=6, 14.6不妨设点M在射线OP上，点N在射线PO上.因为|PM|=1OM|一|OP|=3- IOP1.PNI=|ON|+|OP|=3+|OP|,所以|PM·IPN1=9-IOPI.因为|PF,I· |PF:|=4,1PF|+|PF2|=25,所以20=|PF,2+|PF:2+8.即|PF,2+|PF2I2= 12=|F,F,,所以△PF,F,是直角三角形.|OP1=21F,F,=3,所以PM·1PN|= 9-|OP|2=6. 15.解：(1)（方法一）直线AB的方程为x=2,线段AB的中垂线方程为y=2,…2分 直线AC的方程为y=1,线段AC的中垂线方程为x=4,…4分 直线y=2与直线x=4的交点为(4,2)，即圆M的圆心为(4,2).…5分 点(4,2)到点A(2,1)的距离为5，即圆M的半径为W5,…6分 所以圆M的标准方程为(x一4)2十(y一2)2=5.…7分 (方法二)设圆M的标准方程为(x一a)2+(y一b)2=r2, (2-a)2+(1-b)2=r2, 则(2-a)2+(3-b)2=r2, …3分 (6-a)2+(1-b)2=r2 a=4, 解得b=2, 5分 y2=5. 故圆M的标准方程为(x一4)2+(y一2)=5. 7分 (2)圆M的圆心为M(4,2),直线AM的斜率为2 …10分 所求切线方程为y一1=一2(x一2).即2x十y一5=0.…13分 16.解：设AA1=2AB=2,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A0,0.0).D11,0.2).G(1.号0）AD=(1,0.2),AG=(1.号 0）…2分 设平面AGD1的法向量为n=(x,yx), ∫n·AD=0.r+2x=0. 即 1n·A花=0.+2=0, 令x=2,则n=(2,一4一1).… …5分 1)证明：E1.11).F(0.号)，萨=(-1-20) …6分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 因为E家，n=-1X2-乞×(-4)+0X(-1)=0,所以E⊥n.…8分 所以EF坪面AGD1.… …10分 (2)易知A店为平面ADD1的一个法向量，且A官=(0.1,0).…12分 cos(AB.n)= A应n=-4 …14分 ABIInI 21 易得二面角G-AD1-D为镜角，所以二面角G-AD1-D的余弦值为4y 21 ,…15分 [注]第(1)问证法二如下： 连接EG,C:D(图略).由题可得ADC1B:,AD=C,B1,所以四边形ADC1B1是平行四边 形.所以AB1C1D,AB1=C1D. …1分 在△CC,D中.GE/亿D.GE=CD,所以GEhB1GE=AB=AF,…3分 所以四边形EFAG是平行四边形，所以EF∥AG.…4分 因为EF中平面AGD1,AGC平面AGD1,所以EF平面AGD.·6分 17.解：(1)设点M的坐标为(xy),点P的坐标为(xoya),则点D的坐标为(xo0), 由M是线段PD的中点：得x=oy-岁 …2分 因为点P在圆x2十y2=8上，所以x十y后=8.…3分 把。%=2y代人方程+好-8，得r+y-8,即写+苦-1， 以C减的方程为写十号1……… (2)联立3 ，…7分 y=x十m, ①由△=(8m)2-4×5(4m2-8)>0,解得-√10<m<√10， 所以m的取值范围为（一10，√0）.…10分 ②因为m=1,所以5x2+8x-4=0,解得工1=亏x=-2. 2 ………12分 故1N1=中F1x4-x=2x(号+2)-122 …15分 18.(1)证明：取AB的中点O,连接OP,OC.… …1分 因为△PAB为等边三角形，所以OP LAB.…2分 因为△ABC为等腰直角三角形.且AC⊥BC,所以OC⊥AB.…3分 因为OPC平面POC,(OCC平面POC.OP∩OC=O,所以AB⊥平面POC,…4分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 所以AB⊥PC…5分 (2)解：因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,OPC平面PAB,OP⊥ AB,所以OP⊥平面ABC.… …7分 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,一1,0)， C(1.0.0),P(003),B(0.1.0).Ci=(-1.1.0).cp=(-1.0. …9分 设Ci=C(0≤A≤1)，则AD-A心+Ci=(1,1,0)+1(-1.03) =(1一入，1，√5入）. …11分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 成n=0即厂+y0. 则节·n=0,-x+5:=0, 令：=5，则x=3y=3,所以n=(3,3W5). …13分 设直线AD与平面PBC所成的角为0， 则sin0=|cos(AD,n)l= 3-3A+3+3λ 6 √2IX√1-λ)'+1+37 /2I×V1-λ)+1+3 *…4544n44…”15分 6 4v3 ，当且仅当入=时，等号成立 vix4(a-)'+7Vmx√只 故直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值为4y 7 …17分 181懈，设Ty).根据%-2.得x+3)+=4(+y…2分 即(x一1)2十y2=4,所以C的方程为(x一1)2+y2=4.…4分 (2)证明：根据圆的对称性，不妨设E(一1,0)，F(3,0).…5分 设H(4.)(1≠0).则kHB=5kHf=,…6分 所以直线HE的方程为y=写(x十1)，直线HF的方程为y=1(x一3).…7分 设M(x1y1),N(x2y2). 联立方程 得(25十12)x2+(212一50)x+12-75=0,…8分 (x-1)2+y2=4. 所以一x= 即要则一架所以M(2。 12-75 =75-12 20t1 25+225+1 …9分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 可Ch只 联立方程 y=l(x-3). (x-1)2+y2=4. 得(1+)x2-(612+2)x+912-3=0,…10分 所以3-品即-则一治所似N品》.1分 912-3 20-u 当1≠士√5时kw= 5+1+F 61 5-12312-15-12 …12分 25+11+18 所以直线MN的方程为y一 架兴(》化简得y写名-7… 20 2 …14分 所以直线MN过定点（子o). …15分 当1=士5时==子.此时直线MN过定点（号0以.…16分 综上，直线MN过定点（子o, …17分 非会员， 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建2024一2025年度河南省高二上学期第三次月考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第1节。 显 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 却 1.已知直线l经过点A(1,a),B(1,b),a<b,则l的倾斜角为 邮 A晋 B受 C.0 2.关于空间向量a,b,c,下列运算错误的是 长 Aa·b=b·a B.(a十b)·c=a·c十b·c C.(aa)·b=λ(a·b) D.(a·b)c=a(b·c) ☒ B已知椭圆C舌+芳a>>0)的离心率为号，且过点(0,2)，则C的方程野 数 A+苦-1 4 c苦+芳-1 8 4.已知a=(0,1,2),b=(-1,1,1),c=(-1,0,m),若a,b,c共面，则m= 拓 A.0 B.1 C.2 D.-1 5.一条光线从点P(0,1)射出，与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射，则反射光线所在直线的 点 方程为 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.x-2y-2=0 D.x+2y-2=0 6已知椭圆c:号 ￥=1，过点M(-一1,1)的直线L交C于A,B两点，且M是AB的中点，则 直线！的斜率为 A号 B号 c号 7.如图，在四棱台ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面 ABCD,AA,=AB,=AB=1,∠ABC=于，则点B到直线AD的距 离为 A.2 B.2√6 C店 5 D230 5 【高二数学第1页（共4页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 &已知A(2,0,B(们0，D),若直线x一4y+2e0上存推焦P,使得P才，r币w6,则1的斯值 闹为 [-3)] [-g司 c(-,-]U3,+) .《-,- JU[号+ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共】8分，在每小题缩出的逸项中，有多项将舍圆唇要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， Q已知箱圆C著+y=1的离心率为2：则长的值可以为 A号 B号 C.4 n 10.圆01：x+y2-4y=0和圆02：x2+y2-6x-4y十4=0的交点为A,B,点M在硼01上， 点N在圆O:上，则 A直线AB的方程为x=号 B.线段AB的中垂线方程为y=2 C1AB1=25 3 D.点M与点N之间的距离的最大值为8 11.若E任平面y,F∈平面y,EF⊥平面y,则称点F为点E在平面y A 内的正投影，记为F=t,(E).如图，在直四棱柱ABCD-A1B,C,D1D 中，BC=2AD,AD⊥AB,P,N分别为AA,CC,的中点，D= 3QD,AB=BC=AA1=6.记平面A1BC为a,平面ABCD为B, AH=λAA,(0<<1),K1=t[t,(H)],K2=t,[tg(H)]. A若A1N=2A1Q-2A1P+A1B,则μ=1 B.存在点H,使得HK1平面a C线段HK,长度的最小值是5 D.存在点H,使得HK1⊥HK2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线l1:一3x一y+3=0与l2:x一(2十a)y十1=0互相垂直，则a=▲ 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C1D1中，F是CD1的中点， 则A市.AC=▲一· 14.已知圆0：x2+y=9,椭圆C:号+苦=1的左，右焦点分别为F, F2,O为坐标原点，P为椭圆C上一点，直线OP与圆O交于点M,N, 若1PF|·IPFz=4,则|PM·PN|=▲- 【高二数学第2页（共4页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证阴过程或演算步骤 15.(13分) 已知在△ABC中，A(2,1),B(2,3),C(6,I),记△ABC的外接既为圆M. (1)求圆M的标准方程： (2)求过点A且与圆M相切的直线的方程， 16.(15分) 如图，长方体ABCD-A1B,C,D1的底面ABCD是正方形，E,F,G分别为CC1,AB:,CD 的中点，AA1=2AB. (1)证明：EF平面AGD1, (2)求二面角GAD,-D的余弦值， 17.(15分) 在圆x2十y2=8上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足，当点P在圆上运动 时，记线段PD的中点M的轨迹为C (1)求C的方程. (2)直线l:y=x十m与C交于M,N两点（点M,N不重合）. ①求m的取值范围； ②若m=1,求|MN. 【高二数学第3页（共4页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建 18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，PA=2,AC ⊥BC,平面PAB⊥平面ABC, (1)证明：AB⊥PC (2)点D在线段PC上，求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值 学 19.(17分) 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲 线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点A,B的距离之 比P2为定值Xa≠1D的点P的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿 波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点T到两个定点A(一3,0)，O(0,0)的距离之比 为定值2，则点T的轨迹就是阿氏圆，记为C, ITAI 烟 (1)求C的方程； 够 (2)若C与x轴分别交于E,F两点，不在x轴上的点H是直线l:x=4上的动点，直线 HE,HF分别与C的另一个交点为M,N,证明直线MN经过定点，并求出该定点的 坐标 【高二数学第4页（共4页）】 ·25-163B1· 扫描全能王创建