专题01 二元一次方程组应用（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题01 二元一次方程组应用 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某书店销售甲、乙两种图书，已知购买5本甲图书和8本乙图书共需花279元，购买10本甲图书比购买6本乙图书多花162元，求甲、乙图书的单价各为多少元． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为丰富同学们的课余活动，学校成立了体育活动小组，计划到某体育用品专卖店购买一批足球和篮球．已知买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话： 小亮：牛肉和鸡蛋一共6斤，单价分别是元/斤和元/斤，您给了我元，现找回元． 奶奶：你肯定搞错了． 小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起当作找回的钱款了． 奶奶：这就对了． 根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤． 4．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）“绿水青山就是金山银山”，2023年3月12日是我国第45个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若4人合作种植一棵树苗，则还剩3棵，若3人合作种植一棵树苗，则还有2人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生?（要求列方程组解答） 5．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）某旅游团原计划订若干个2人房间．但现在旅游人数增多，这样有11人没有房间住．若订同样数量的3人房间．则多出5个房间，其余房间正好住满．现有这两种房间它们的价钱如下： 规格 2人房间 3人房间 价钱（元间） 120 180 (1)问现在旅游有多少人？原计划订2人房间的多少间？ (2)若用同一种房间，用哪一种房间才合算些？ 题型二 分配问题 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物．小明根据专家的建议为自己搭配了一份的营养早餐，蛋白质总含量占，包括一个谷物面包，一个鸡蛋和一盒牛奶．他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表所示： 食物 谷物面包 鸡蛋 牛奶 蛋白质含量占比 其中一个鸡蛋60克，请计算小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克？ 7．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，小丽知道了科学膳食与身体健康密切相关，她查询了《中国居民膳食指南（）》中的相关信息，结合妈妈的年龄，准备为妈妈制作一份能量为千卡（千卡卡路里），总质量为克的营养早餐．现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所示： 鸡蛋（每克） 牛奶（每克） 谷物食品（每克） 能量（千卡） 若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中牛奶克，请你帮助小丽计算这份早餐中需要鸡蛋和谷物各多少克？ 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 题型三 打折销售 10．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 11．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）在“元旦”期间，七（1）班小明，小亮等同学随家长一同到某公园游玩，小明与他爸爸的对话： 票价：成人：每张40元；学生：按成人票价的5折优惠；团体票（16人以上含16人）：按成人票价的6折优惠. 爸爸：大人门票是每张40元，学生门票是5折优惠，我们一共12人，共需400元． 小明：爸爸，等一下，让我算一算，另一种方式买票是否可以省钱？ (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票省钱？请说明理由． (3)正要购票时，小明发现七（2）班的小张等10名同学和他们的7名家长共17人也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的费用． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）仔细观察下图，认真阅读对话，根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？    题型四 分段计费问题 13．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）锦州某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克时，超出的部分按每千克计费（不足1千克的均按1千克收费）、小亮分别寄快递到北京和重庆，快递的收费标准及小亮邮寄物品的重量和付费金额如表1和表2： 表1：快递的收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 12 重庆 14 表2：小亮邮寄物品的重量和付费金额 目的地 物品的重量（千克） 付费金额（元） 北京 2 重庆 3 (1)求a，b的值； (2)按照此收费标准，小明从锦州分别寄5千克的物品到北京，7千克的物品到重庆共需付费多少元． 题型五 几何问题 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 题型六 方程组与一次函数应用最值问题 15．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 (1)设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ (2)求与函数关系式； (3)李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 16．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）丹东市某商场销售A，B两种空调，这两种空调的进价与售价如下表所示： A B 进价(元/台) 1200 1300 售价(元/台) 1500 1700 (1)若该商场用25000元购买A，B两种空调，全部销售完后可获利7000元，则该商场购进A，B两种空调各多少台？ (2)若该商场计划购进两种空调共20台，其中购进A种空调m台(且m为整数)，当把购进的两种空调全部售出，求m为何值时商场能获得最大利润，并计算最大利润是多少元？ 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本的销售总额为1450元，200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进500本练习本，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x本，求所获利润W关于x的函数关系式． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）要制作200个两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为的长方体无盖木盒（如图1）；现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式（如图2）． 切割、拼接等板材损耗忽略不计． (1)设制作种木盒个，则制作种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)若200张木板材恰好能做成200个两种规格的无盖木盒，请分别求出木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元． 根据市场调研，种木盒的销售单价定为元，种木盒的销售单价定为元，在（2）的条件下，请直接写出这批木盒的销售利润（用含的式子表示）． 19．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的，乙仓库所存原料的，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨． (1)求甲，乙两仓库各存放原料多少吨； (2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元吨和100元吨．设从甲仓库运吨原料到工厂，请求出总运费关于的函数解析式，并求出从甲，乙仓库分别运多少吨时，总运费最少． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）毕业季即将到来，某礼品店准备购进一批适合学生的毕业纪念品．已知购进2件礼品和6件礼品共需180元，购进4件礼品和3件礼品共需135元． (1)设，两种礼品每件的进价分别是元，元，依题意可列方程组______，解得______，______． (2)该店计划将2500元全部用于购进，这两种礼品，设购进礼品件，礼品件． ①则关于的关系式为______； ②该店进货时，厂家要求礼品的购进数量不少于60件．已知礼品每件售价为20元，礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利元，则关于的关系式为______，该店所获利润最大值为_____． 21．（23-24八年级上·辽宁·期末）某公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示： 体积（件） 质量（吨/件） 型商品 0.8 0.5 型商品 2 1 (1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是，质量一共是10.5吨，求、两种型号商品各有几件？ (2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元． 要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，该公司应如何选择运送，付费方式使运费最少，并直接写出出该方式下的运费是多少元． 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 题型七 方案设计问题 23．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）抚顺市某中学在今年11月份组织七年级学生去抚顺市素质教育基地进行实践活动学习，由胡主任和甲、乙两名同学到客车租赁公司洽谈租车事宜． (1)两同学向公司经理了解租车的价格．公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”胡主任说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”请你求出来． (2)公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，你知道七年级共有多少人去素质教育基地进行实践活动吗？ (3)胡主任在一旁听了他们的谈话说：考考你们七年数学学习的情况，“若从省钱角度考虑，还有别的方案吗？”如果是聪明的你，你该如何设计租车方案，请直接写出租车方案． 24．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆一次运完，且恰好每辆车都装满货物． (1)1辆A型车和B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计方案； (3)若A型车租金每辆100元/次，B型车每辆租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某星期天，八（1）班开展社会实践活动，第一小组花86元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到蔬菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 2.2 2 零售价/（元/kg） 3.6 2.8 (1)黄瓜和茄子各批发了多少kg？（列二元一次方程组求解） (2)该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚______元． 26．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）春节前夕，某商场从厂家购进了甲、 乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元． 这两种商品的进价如表： 商品名称 甲种 乙种 进价（元/件） 80 100 (1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件? （列方程组解） (2)在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获总利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元?（列方程解） 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）小明、小亮两人一起去水果超市购买“九九草莓”，小明购买了1kg，小亮购买了2kg，觉得草莓好吃，两人约好再次购买同种草莓，第二次到该超市购买时，小明花了和上次相同的钱，却比上次多买了0.5kg，小亮购买了和上次相同重量的草莓，却比上次少花了10元钱． (1)求这种草莓两次购买的单价分别是多少元? (2)直接写出小明、小亮两次购买这种草莓各自的平均价格分别是______、______； (3)生活中，无论物品的单价如何变化，有人喜欢按相同金额购买，有人喜欢按相同重量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同______购买更合算（填“金额”或“重量”）． 28．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 29．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）2023上海国际车展于2023年4月18日正式开幕，新能源汽车成为本次车展的亮点．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 题型八 开放性问题 30．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，线段和交于点C，探究和的数量关系． ①如图2，俊俊的作法是：过点C作的平行线，就能确定． ②如图3，浩浩的作法是：过点B作的平行线交的延长线于点G．请你选择一名同学的解答思路，并写出完整证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前的两名同学都是通过构造平行线，实现角的位置改变，从而利用平行线的性质化三个角的数量关系为两个角的数量关系．为了帮助同学们更好的感悟这种转化思想，李老师对点C的位置进行了改变．如图4，线段和交于点C，试直接写出和的数量关系． 【学以致用】 （3）如图5，如果，且． ①请判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求和的度数． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二元一次方程组应用 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某书店销售甲、乙两种图书，已知购买5本甲图书和8本乙图书共需花279元，购买10本甲图书比购买6本乙图书多花162元，求甲、乙图书的单价各为多少元． 【答案】甲图书的单价为27元/本，乙图书的单价为18元/本 【分析】该题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出等量关系； 设甲图书的单价为 x元/本，乙图书的单价为 y元/本，根据题意列出方程组解答即可； 【详解】解：设甲图书的单价为元/本，乙图书的单价为元/本， ，                     解得：，                         答：甲图书的单价为27元/本，乙图书的单价为18元/本． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为丰富同学们的课余活动，学校成立了体育活动小组，计划到某体育用品专卖店购买一批足球和篮球．已知买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ 【答案】购买一个足球元，一个篮球元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目数量关系，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设购买一个足球元、一个篮球元，由题意列方程组求解即可． 【详解】解：设购买一个足球元、一个篮球元，由题意得， ， 解得 ， 答：购买一个足球元，一个篮球元． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话： 小亮：牛肉和鸡蛋一共6斤，单价分别是元/斤和元/斤，您给了我元，现找回元． 奶奶：你肯定搞错了． 小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起当作找回的钱款了． 奶奶：这就对了． 根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤． 【答案】小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设小亮买了牛肉x斤，鸡蛋y斤,根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】设小亮买了牛肉斤，鸡蛋斤， 由题意得:, 解得:, 答:小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤. 4．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）“绿水青山就是金山银山”，2023年3月12日是我国第45个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若4人合作种植一棵树苗，则还剩3棵，若3人合作种植一棵树苗，则还有2人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生?（要求列方程组解答） 【答案】共有14棵树苗，44名学生． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设共有棵树苗，名学生，根据若4人合作种植一棵树苗，则还剩3棵，若3人合作种植一棵树苗，则还有2人未分到树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有棵树苗，名学生， 由题意等：， 解得：， 答：共有14棵树苗，44名学生． 5．（23-24八年级上·辽宁营口·期末）某旅游团原计划订若干个2人房间．但现在旅游人数增多，这样有11人没有房间住．若订同样数量的3人房间．则多出5个房间，其余房间正好住满．现有这两种房间它们的价钱如下： 规格 2人房间 3人房间 价钱（元间） 120 180 (1)问现在旅游有多少人？原计划订2人房间的多少间？ (2)若用同一种房间，用哪一种房间才合算些？ 【答案】(1)原计划订2人房间26间，现在旅游有63人 (2)若用同一种房间，用3人房间合算些 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘除法的应用，理解题意是解题关键． （1）设原计划订2人房间x间，现在旅游有y人，根据现在旅游人数增多，有11人没有房间住．订同样数量的3人房间．则多出5个房间，其余房间正好住满．列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）结论求出所需费用比较即可． 【详解】（1）解：设原计划订2人房间x间，现在旅游有y人， 则 解得 答：原计划订2人房间26间，现在旅游有63人； （2）解：（间） （间） （元） （元） ， 若用同一种房间，用3人房间合算些． 题型二 分配问题 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物．小明根据专家的建议为自己搭配了一份的营养早餐，蛋白质总含量占，包括一个谷物面包，一个鸡蛋和一盒牛奶．他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表所示： 食物 谷物面包 鸡蛋 牛奶 蛋白质含量占比 其中一个鸡蛋60克，请计算小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克？ 【答案】小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，根据小明根据专家的建议为自己搭配了一份的营养早餐，蛋白质总含量占10%，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克， 根据题意得： ， 解得：， 答：小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克． 7．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，小丽知道了科学膳食与身体健康密切相关，她查询了《中国居民膳食指南（）》中的相关信息，结合妈妈的年龄，准备为妈妈制作一份能量为千卡（千卡卡路里），总质量为克的营养早餐．现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所示： 鸡蛋（每克） 牛奶（每克） 谷物食品（每克） 能量（千卡） 若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中牛奶克，请你帮助小丽计算这份早餐中需要鸡蛋和谷物各多少克？ 【答案】这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克，依据总能量和总质量建立方程组即可求解，解题的关键是根据题意，找到等量关系，正确列出方程组． 【详解】解：这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克， 由题意可得，， 方程组整理得，， 解得， 答：这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 【答案】(1)见解析 (2)克，克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）根据题意正确列出代数式即可； （2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解： 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） 其中所含铁质（单位） （2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克， 根据题意，得， 化简，得 解这个方程组得． 所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆，利用每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，再建立方程求解即可； 【详解】解：设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆， 则： 解得：， 答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆. 题型三 打折销售 10．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解题的关键．设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车． 根据题意，得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． 11．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）在“元旦”期间，七（1）班小明，小亮等同学随家长一同到某公园游玩，小明与他爸爸的对话： 票价：成人：每张40元；学生：按成人票价的5折优惠；团体票（16人以上含16人）：按成人票价的6折优惠. 爸爸：大人门票是每张40元，学生门票是5折优惠，我们一共12人，共需400元． 小明：爸爸，等一下，让我算一算，另一种方式买票是否可以省钱？ (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票省钱？请说明理由． (3)正要购票时，小明发现七（2）班的小张等10名同学和他们的7名家长共17人也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的费用． 【答案】(1)8，4 (2)购买16张团体票更便宜，理由见解析， (3)15名家长和1名学生购买团体票，13名学生买学生票最优惠，总费用为644元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）结合总价单价数量，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）利用总价单价数量，可求出16张团体票的费用，然后与400元比较，即可得出结论； （3）分别算出3种买票方式的费用，进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：设他们一共去了x个成人，y个学生，根据题意得： 解得：， 所以，他们一共去了8个成人，4个学生． （2）购买16张团体票更便宜，理由如下： （元）， 所以，购买16张团体票更便宜； （3）,， 共有14名学生，15名家长，共有29人， 若购买团体票，费用为：（元）， 若分开买票，费用为：（元）， 若15名家长和1名学生购买团体票，13名学生买学生票， 费用为：（元）， ， 所以15名家长和1名学生购买团体票，13名学生买学生票最优惠，总费用为644元． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）仔细观察下图，认真阅读对话，根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？    【答案】饼干的标价是9元/盒，牛奶的标价是1.1元/袋． 【分析】设饼干的标价是x元/袋（x是整数），牛奶的标价是y元/袋，由题意得 ，用整体代入的思想求出x的取值，注意为整数且小于10，代入②可求牛奶的价格． 【详解】设饼干的标价是x元/袋（x是整数），牛奶的标价是y元/袋， 由题意得， 由②得③ ③代入①得 ∴ ∵x是整数且小于10 ∴ ∴把代入③得（元） 答：饼干的标价是9元/盒，牛奶的标价是1.1元/袋． 【点睛】本题考查二元一次方程和不等式．读懂题意，找到相等或不等关系准确列出式子是解题的关键． 题型四 分段计费问题 13．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）锦州某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克时，超出的部分按每千克计费（不足1千克的均按1千克收费）、小亮分别寄快递到北京和重庆，快递的收费标准及小亮邮寄物品的重量和付费金额如表1和表2： 表1：快递的收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 12 重庆 14 表2：小亮邮寄物品的重量和付费金额 目的地 物品的重量（千克） 付费金额（元） 北京 2 重庆 3 (1)求a，b的值； (2)按照此收费标准，小明从锦州分别寄5千克的物品到北京，7千克的物品到重庆共需付费多少元． 【答案】(1) (2)70元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给的收费表示列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求分别求出到北京和到重庆的运费，然后求和即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解： 元， 答：小明从锦州分别寄5千克的物品到北京，7千克的物品到重庆共需付费70元． 题型五 几何问题 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【答案】(1)5；10 (2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完 【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可； （2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：需正方形纸板：（张）， 长方形纸板：（张）， 故答案为：5；10． （2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得： ， 解得：， 答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据正方形和长方形张数列出方程组． 题型六 方程组与一次函数应用最值问题 15．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 (1)设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ (2)求与函数关系式； (3)李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 【答案】(1)文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元 (2)与的函数关系式为 (3)为3时，文具店所获利润始终不变，是160元 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系确定方程组及函数关系是解决问题的关键． （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）根据题意，直接得到，整理即可得到与的函数关系式为； （3）设文具店这次销售过程中所获利润为元，由题意得，再由文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，得求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元， 依题意得，解得， 答：文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元； （2）解：由已知得， 整理得， 与的函数关系式为； （3）解：设文具店这次销售过程中所获利润为元， 依题意得， 整理得， 文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变， ，解得，此时， 答：为3时，文具店所获利润始终不变，是160元． 16．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）丹东市某商场销售A，B两种空调，这两种空调的进价与售价如下表所示： A B 进价(元/台) 1200 1300 售价(元/台) 1500 1700 (1)若该商场用25000元购买A，B两种空调，全部销售完后可获利7000元，则该商场购进A，B两种空调各多少台？ (2)若该商场计划购进两种空调共20台，其中购进A种空调m台(且m为整数)，当把购进的两种空调全部售出，求m为何值时商场能获得最大利润，并计算最大利润是多少元？ 【答案】(1)该该商场购进种空调10台，种空调10台； (2)当取4台时能获得最大利润，最大利润是7600万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设该商场购进种空调台，种空调台，利用总价单价数量，结合“该商场购进两种空调共需资金25000元，盈利7000元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设把购进的两种空调全部售出后获得的总利润为万元，利用总利润每台的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设该商场购进种空调台，种空调台， 根据题意得：， 解得：． 答：该该商场购进种空调10台，种空调10台； （2）设把购进的两种空调全部售出后获得的总利润为万元， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值． 答：当取4台时能获得最大利润，最大利润是7600万元． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本的销售总额为1450元，200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进500本练习本，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x本，求所获利润W关于x的函数关系式． 【答案】(1)普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元 (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用． （1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；200本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程组，求出即可； （2）购买普通练习本x个，则购买精装练习本个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可． 【详解】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，由题意可得： ， 解得， 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元； （2）购买普通练习本x个，则购买精装练习本个， 由题意可得：， 即W关于x的函数关系式是：． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）要制作200个两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为的长方体无盖木盒（如图1）；现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式（如图2）． 切割、拼接等板材损耗忽略不计． (1)设制作种木盒个，则制作种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)若200张木板材恰好能做成200个两种规格的无盖木盒，请分别求出木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元． 根据市场调研，种木盒的销售单价定为元，种木盒的销售单价定为元，在（2）的条件下，请直接写出这批木盒的销售利润（用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2)故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张． (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组求解． （1）根据制作200个两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材，即可解答； （2）根据使用甲种方式切割的木板材张，使用乙种方式切割的木板材张，得出可切割出张的木板材，张的木板材，再根据一个规格A的盒子需要5张的木板材，一个规格B的盒子需要1张的木板材和4张的木板材，列出方程组求解即可； （3）根据总利润=销售额总成本，即可解答． 【详解】（1）解：∵制作200个两种规格的顶部无盖木盒，制作种木盒个， ∴制作种木盒个， ∵现有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材张， ∴使用乙种方式切割的木板材张， 故答案为：，； （2）解：∵使用甲种方式切割的木板材张，使用乙种方式切割的木板材张， ∴可切割出张的木板材，张的木板材， 一个规格A的盒子需要5张的木板材，一个规格B的盒子需要1张的木板材和4张的木板材； ∴， 解得：， ∴， 答：故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张． （3）解：， 整理为：． 19．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的，乙仓库所存原料的，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨． (1)求甲，乙两仓库各存放原料多少吨； (2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元吨和100元吨．设从甲仓库运吨原料到工厂，请求出总运费关于的函数解析式，并求出从甲，乙仓库分别运多少吨时，总运费最少． 【答案】(1)甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨 (2)，从甲仓库运90吨、从乙仓库运210吨，总运费最少 【分析】本题考查了二元一次方程组及一次函数的性质，解（1）的关键是利用等量关系列出二元一次方程组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式，并灵活利用一次函数的性质，要分类讨论． （1）设甲仓库存放原料吨，乙仓库存放原料吨，根据甲乙两仓库原料间的关系，列方程组求解即可得到答案； （2）设从甲仓库运吨原料到工厂，根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式，再由一次函数性质分析即可得到总运费最少的情况． 【详解】（1）解：设甲仓库存放原料吨，乙仓库存放原料吨，由题意得 ，解得， 答：甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨； （2）解：由题意知，从甲仓库运吨原料到工厂，则从乙仓库运原料吨到工厂， 总运费， ，由一次函数的性质可知，随的增大而增大， 越小，运费越少，即全部从乙仓库运运原料总运费最少， 由（1）知，甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨， 将乙仓库的210吨原料全部运往工厂，剩余吨从甲仓库运， 答：从甲仓库运90吨、从乙仓库运210吨，总运费最少． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）毕业季即将到来，某礼品店准备购进一批适合学生的毕业纪念品．已知购进2件礼品和6件礼品共需180元，购进4件礼品和3件礼品共需135元． (1)设，两种礼品每件的进价分别是元，元，依题意可列方程组______，解得______，______． (2)该店计划将2500元全部用于购进，这两种礼品，设购进礼品件，礼品件． ①则关于的关系式为______； ②该店进货时，厂家要求礼品的购进数量不少于60件．已知礼品每件售价为20元，礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利元，则关于的关系式为______，该店所获利润最大值为_____． 【答案】(1)15，25 (2)①；②，940 【分析】（1）根据题意设A、B两种礼品的进价分别是m元、n元，列出方程组，解方程组即可； （2）①由题意可知该店计划用4500元全部购进A，B两种礼品，设购进A种x个，B种y个，列出二元一次方程，整理可得y关于x的关系式； ②由题意根据两种礼品的进价和售价列出关系式，再求最大利润即可． 【详解】（1）解：设A礼品每个的进价是m元，B礼品每个的进价是n元， 依题意，， 解得； 故答案为：15，25； （2）解：①依题意，， 所以，， 故答案为：； ②， 因为W随x的增大而减小，且， 所以当，W取得最大值． 即A礼品进货60件时，该店获利最大，最大值为940元． 故答案为：，940． 【点睛】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组正确列出一次函数关系式并根据自变量的取值范围求出最值． 21．（23-24八年级上·辽宁·期末）某公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示： 体积（件） 质量（吨/件） 型商品 0.8 0.5 型商品 2 1 (1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是，质量一共是10.5吨，求、两种型号商品各有几件？ (2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元． 要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，该公司应如何选择运送，付费方式使运费最少，并直接写出出该方式下的运费是多少元． 【答案】(1)、两种型号商品各有5件、8件； (2)先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件型产品，运费最少为2000元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用以及方案设计问题，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设、两种型号商品各有件和件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）分别计算出两种方式所需的费用，比较即可． 【详解】（1）解：设、两种型号商品各有件和件， 由题意得，， 解得，， 答：、两种型号商品各有5件、8件； （2）解：①按车收费：（辆， 但车辆的容积为：， 所以3辆车不够，需要4辆车， 此时运费为：元； ②按吨收费：元， ③先用3辆车运送，剩余1件型产品，付费（元． 再运送1件型产品，付费（元． 共需付（元． ， 先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件型产品，运费最少为2000元． 答：先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件型产品，运费最少为2000元． 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 【答案】(1)A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元 (2)①；②，最大利润为1900元 【分析】(1)设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，根据购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元，列出方程组，解方程组即可； (2)①该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，购进A种礼品m个，B种礼品n个，结合（1）中求出的进价，得到购进A种礼品需要元，B种礼品需要元，列出二元一次方程，整理可得n关于m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出W与m的关系式，根据W随m的变化情况及m的取值范围求最大利润即可． 本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意得，， 解得， 故A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元；． （2）(2)①依题意得，， ∴． ②∵W表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最大值．即A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为， (元)． 题型七 方案设计问题 23．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）抚顺市某中学在今年11月份组织七年级学生去抚顺市素质教育基地进行实践活动学习，由胡主任和甲、乙两名同学到客车租赁公司洽谈租车事宜． (1)两同学向公司经理了解租车的价格．公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．”胡主任说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”请你求出来． (2)公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，你知道七年级共有多少人去素质教育基地进行实践活动吗？ (3)胡主任在一旁听了他们的谈话说：考考你们七年数学学习的情况，“若从省钱角度考虑，还有别的方案吗？”如果是聪明的你，你该如何设计租车方案，请直接写出租车方案． 【答案】(1)45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元； (2)参加拓展训练的一共有240人； (3)租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元，根据“租2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆，根据总人数不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，进而可求出参加拓展训练的人数； （3）设租45座的客车辆，租60座的客车辆，根据总人数租用45座客车的辆数租用60座客车的辆数，即可得出，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求出费用更低的租车方案． 【详解】（1）设45座的客车每辆每天的租金为元，则60座的客车每辆每天的租金为元， 依题意，得：， 解得：， ． 答：45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元． （2）解：设只租60座的客车需要辆，则只租45座的客车需要辆， 依题意，得：， 解得：， ，即参加拓展训练的一共有240人． （3）解：设租45座的客车辆，租60座的客车辆， 依题意，得：， ． ，均为正整数， ，． 新方案：租用4辆45座的客车，1辆60座的客车 甲的费用：（元） 乙的费用：（元） 新方案的费用：（元） 租用4辆45座的客车，1辆60座的客车总费用最低． 24．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆一次运完，且恰好每辆车都装满货物． (1)1辆A型车和B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计方案； (3)若A型车租金每辆100元/次，B型车每辆租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)一辆A型车装满货物可运货吨，一辆B型车装满货物可运货吨； (2)方案一：租A型车辆，B型车辆；方案二：租A型车辆，B型车辆；方案三：租A型车辆，B型车辆 (3)方案一：租A型车辆，型车辆，最省钱，最少租车费为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解；熟练根据题意列出相对应的方程是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可； （3）根据（2）的方案分别计算租车费，然后比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：设一辆A型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨； 由题意可得：， 解得： 答：一辆A型车装满货物可运货吨，一辆B型车装满货物可运货吨； （2）解：由题意得：， ∵、b均为正整数， ∴或或 ∴该物流公司共有以下三种租车方案； 方案一：租A型车辆，B型车辆； 方案二：租A型车辆，B型车辆； 方案三：租A型车辆，B型车辆； （3）解：方案一费用：（元） 方案二费用：（元） 方案三费用：（元） ∵ ∴方案一：租A型车辆，型车辆，最省钱，最少租车费为元． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某星期天，八（1）班开展社会实践活动，第一小组花86元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到蔬菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 2.2 2 零售价/（元/kg） 3.6 2.8 (1)黄瓜和茄子各批发了多少kg？（列二元一次方程组求解） (2)该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚______元． 【答案】(1)当天购进黄瓜30千克，茄子10千克 (2)50 【分析】（1）设当天购进黄瓜x千克，茄子y千克，根据黄瓜的批发价是2.2元，茄子批发价是2元，共花了86元，列出方程，求出x的值，即可求出答案； （2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】（1）解：设当天购进黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意得： ， 解得：， 答：当天购进黄瓜30千克，茄子10千克． （2）解： （元）． 即当天卖完这些黄瓜和茄子可赚50元． 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，根据等量关系，列出方程组． 26．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）春节前夕，某商场从厂家购进了甲、 乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元． 这两种商品的进价如表： 商品名称 甲种 乙种 进价（元/件） 80 100 (1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件? （列方程组解） (2)在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获总利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元?（列方程解） 【答案】(1)购进甲种商品30件，乙种商品20件； (2)每件乙商品的售价为114元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出题中的等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设每件乙商品的售价为元，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设购进甲种商品x件，乙种商品件， 由题意可得，， 解得， 答：购进甲种商品30件，乙种商品20件； （2）解：设每件乙商品的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：每件乙商品的售价为114元． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）小明、小亮两人一起去水果超市购买“九九草莓”，小明购买了1kg，小亮购买了2kg，觉得草莓好吃，两人约好再次购买同种草莓，第二次到该超市购买时，小明花了和上次相同的钱，却比上次多买了0.5kg，小亮购买了和上次相同重量的草莓，却比上次少花了10元钱． (1)求这种草莓两次购买的单价分别是多少元? (2)直接写出小明、小亮两次购买这种草莓各自的平均价格分别是______、______； (3)生活中，无论物品的单价如何变化，有人喜欢按相同金额购买，有人喜欢按相同重量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同______购买更合算（填“金额”或“重量”）． 【答案】(1) (2)12，12.5 (3)金额 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， （1）根据价格之间的关系列出方程组，再求出解即可； （2）根据总价除以总质量即可分别求出单价； （3）根据（2）的理解解答即可． 【详解】（1）设第一次购买草莓的单价为x元，第二次购买草莓的单价为y元，根据题意，得 ， 解得． 所以这种草莓两次购买的单价分别是15元，10元； （2）小明购买草莓的平均价格是（元/千克），小亮购买这种草莓的平均价格是（元/千克）． 故答案为：12，12.5； （3）因为， 所以按照相同金额购买更合算． 故答案为：金额． 28．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； (2)①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型 【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型， 根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案； 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得 ， 解得 ， 即A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； （2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得 ， 则， ∵a，b均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 29．（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）2023上海国际车展于2023年4月18日正式开幕，新能源汽车成为本次车展的亮点．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和10万元 (2)购买A型号汽车2辆，B型号汽车15辆；购买A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；购买A型号汽车6辆，B型号汽车5辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确解方程． （1）设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元，根据1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A型号汽车m辆，B型号汽车n辆，根据该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车，列出二元一次方程，根据、n为正整数，求出方程的解，得出结果即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和10万元； （2）解：设购进A型号汽车m辆，B型号汽车n辆，根据题意得： ， ∴， ∵、n为正整数， ∴，，， ∴购买A型号汽车2辆，B型号汽车15辆； 购买A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； 购买A型号汽车6辆，B型号汽车5辆． 题型八 开放性问题 30．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，线段和交于点C，探究和的数量关系． ①如图2，俊俊的作法是：过点C作的平行线，就能确定． ②如图3，浩浩的作法是：过点B作的平行线交的延长线于点G．请你选择一名同学的解答思路，并写出完整证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前的两名同学都是通过构造平行线，实现角的位置改变，从而利用平行线的性质化三个角的数量关系为两个角的数量关系．为了帮助同学们更好的感悟这种转化思想，李老师对点C的位置进行了改变．如图4，线段和交于点C，试直接写出和的数量关系． 【学以致用】 （3）如图5，如果，且． ①请判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求和的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解二元一次方程组： （1）①选择俊俊的解答思路，过点B作．则，由平行线的性质可得，，再根据角之间的关系可得结论；②选择浩浩的解答思路：过点B作的平行线交的延长线于点G，由平行线的性质推出，，据此可得结论； （2）过点C作，则，由平行线的性质可得，则； （3）①可证明，则；②由（1）得：，则，设，则，解方程组即可． 【详解】解：（1）①选择俊俊的解答思路． 过点B作． ， ， ， ， ， ， ②选择浩浩的解答思路： 过点B作的平行线交的延长线于点G． ， ， ； （2）如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①，理由如下： ； ②由（1）得：， ， 设， ， ， ， 解方程组得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$