重庆市第七中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

重庆市第七中学校2024-2025学年度上期 高2026级半期考试数学试题 (满分150分，考试时间120分钟) 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知直线1经过点(3,1)，(2,0)，则直线1的倾斜角为() A月 B. c.号 D.买 2.若直线2x+y+1=0与直线x+2y-2=0互相垂直，则实数a的值是() A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.如图，在空间四边形ABCD中，设E,F分别是BC,CD的中点，则 D+o8+DC)=( ) A.AD B.FA C. D.成 4.平面内点P到F(-3,0)、F(3,0)的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是() B.5*6 c号 D. 5.已知RR是椭圆号+二=1的两个焦点，P是椭圆上一点，3P=4PFl,则aPR5的 2449 面积等于() A.24 B.26 C.225 D.24W2 6.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻 矣”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧， 已知从点(-53)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x-1+(心-)=5 1/4 的圆周，则反射光线所在的直线方程为() A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0 C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0 7.点P是圆C:(x-3'+(y-3)=2上一动点，过点P向圆0：x2+y2=1作两条切线，切点 分别为4，B,则四边形PAOB面积的最大值为(） A.2W31 B.2W17 C.7 D.√i 8.设4B分别为椭圆C:号+ F+6 =1(a>b>0)的左、右顶点，M是C上一点，且 M4MBA®=3：5：7，则C的离心率为（) A.35 B.5V1 C.vis D.7V286 13 182 11 143 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分，在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F、E在x轴上，短轴长等于2，焦距为25， 过焦点R作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是() A.椭圆C的方程为子+少 B.椭圆c的离心率为 2 C.P=1 D.PF2=3 10.已知直线1：a-y+1=0和圆M:(x-)+0-2y=4,则下列选项正确的是 A.直线/恒过点(0，) B.圆M与圆C:x2+y2=1有三条公切线 C.直线1被圆M截得的最短弦长为2反 D.圈M上恰有4个点到直线！的距离等于 C 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-AGD的表面上一个动点， 则() A.当P在平面8CC8上运动时，三棱锥P-4D的体积为定值号 B.当P在线段4C上运动时，P与4G所成角的取值范围是 B 214 C.若F是AB的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PFI平面BCD时，PF长度 的最小值是√5 D.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2π+4√互 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知空间向量a=(6,2,1,6=(2,x3),若a-b)1ā，则x=一 13.设b为实数，若直线y=x+b与曲线x=√4-y2有公共点，则实数b的取值范围 是 14.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多 代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：若实数x,y满足x2+y2-8x+13=0,则x+y 的最小值为一的最大信为一 四、解答题：本题共5小题，共77分，(15题13分，16-17题15分，18-19题17分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和ABFE均为边长为2的 正方形，ADIIEG,AE⊥底面ABCD,M、N分别为DG、EF的中点，EG=1, (1)求证：MN/平面CFG: N (2)求直线AW与平面C℉G所成角的正弦值. 16.(15分)已知点(3，-3到在圆C:x2+y2-8x+6y+m=0上. (1)求该圆的圆心坐标及半径长： 2过点M心-)，斜率为的直线与圆C相交于4B两点，求弦B的长。 17.15分)已知椭圆C:若+卡=a>b>0)经过点以 2 R、F是椭圆C的左 右两个焦点，FE=25,P是椭圆C上的一个动点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)若点P在第一象限，且丽丽≤子，求点P的横坐标的取值范围. 3/4. 18.(17分)如图，在三棱柱4BC-4BG中，底面是边长为2的等边三角形，CG=2, D,E分别是线段AC,CC的中点，C在平面ABC内的射影为D (1)求证：AC⊥平面BDE: (2)若点F为棱G的中点，求点F到平面BDE的距离： (3)者点F为线段G上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面 BDE夹角的余弦值的取值范围， 19.(17分)已知点AB是平面内不同的两点，若点P满足 =2(a>0,且2*)，则点 PB P的轨迹是以有序点对(4，B)为“稳点的A-阿波罗尼斯圆若点2满足№4O刷=4（μ>0）， 则点2的轨迹是以(4，B)为“稳点”的“.卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中， A(-2,0),B(a,b)(a≠-2 (1)当a=2,b=0时，若点P的轨迹是以(4B)为“稳点”的√5阿波罗尼斯圆，求点P的 轨迹方程： (2)在(1)的条件下，若点在以(4，B)为“稳点”的5卡西尼卵形线上，求|Og(0为原 点)的取值范围： (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若b=0,元=√2，试判断是否存 在实数4·，使得以(A,B)为“稳点”的、2一阿波罗尼斯圆与“一卡西尼卵形线都关于同一 个点对称，若存在，求出实数，“的值，若不存在，请说明理由. 4/4重庆市第七中学校2024-2025学年度上期 高2026级半期考试数学答案 一、单选题： 1.A2.B3.C4.B5.A 6.A7.D8.D 8.【详解】在△MMB中，由cos∠MAB=+7产-S_! 2×3×714 得向∠MB--amAB5,所以m∠B=S5-=太u, 14 11 由cos∠MBA 52+72-3213 2×5×714 ,得抽∠MB4=i-s'ZM8M. 14 所以an∠MBM-3 13 =k8' y 设M化o,则长kw=为业=，另 +a无-a-☑ 0 45.b245 13 143a7=143 故选：D. 143 二：多项选择题： 9.ABC 10.ACD 11.AB 11.【详解】对于A:△M4,D的面积不变，点P到平面A4D,D的距离为正方体棱长， 所以三棱锥P-AAD的体积的体积不变， 且人o-3.2-号，所以A正：确 32 对于B:以D为原点，DA,DC,DD,所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，可得 4(2,0,2),D(0,0,2,C(0,2,2), 设P(x,2-x0).0≤x≤2，则DP=(x,2-x,-2),4C=(-2,2,0), 设直线D,P与4G所成角为0， 则osg=os(a更，4 DP.AC k-1 D4闷Vc-+3 因为0≤-s1,当r-=0时， 1/8 可得c0s0=0,所以0=经： c0s8= k-1 当0<-s1时， √(x-2+3 3 +-可 由0e0经，所以导0<经 3 所以异面直线DP与4G所成角的取值范围是引， 所以B正确 D B D 对于C,由(2,2,2)，D0,0,2)C0,2,0),F(2,1,2, 设P(m,m0,0≤m≤2,0≤n≤2， 则C8=(2,0,2),C元=(0，-2,2.F严=(m-2,n-1,-2) 设平面CBD的一个法向量为m=(a,ac）, 「厅.CD=-2b+2x=0 则a.C网=2a+2c=0 取a=1,可得b=-l,c=-1,所以m=0,-1,-), 因为PF1/平面B,CD,所以F币.n=(m-2)-(n-1)+2=0,可得R=m+1, 所以F同=m-2+a-旷+4=V2m2-4m+8=V2(m-+626, 当m=1时，等号成立，所以C错误。 D 9 A 对于D:因为直线P与平面ABCD所成的角为45， 由A⊥平面ABCD,得直线AP与A4所成的角为45°， 2/8 若点P在平面DCCD和平面BCCB内， 因为∠BB=45,DD=45,故不成立： 在平面ADDA内，点P的轨迹是AD=25; 在平面ABB4内，点P的轨迹是AB=2互： 在平面AB,CD,时，作PM⊥平面ABCD,如图所示， 因为∠PAM=45,所以PM=AM,又因为PM=AB,所以AM=AB,所以AP=AB, 所以点P的轨迹是以4点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P的轨迹的长度为二×2x×2=m, 综上，点P的轨迹的总长度为π+4互，所以D错误： D D 故选：AB. 三：填空题： 13 13.【222] 14.4-6 1+6 14.【详解】由x2+y2-8x+13=0得(x-4)°+y2=3,令x+y=t, 则直线x+y=1与圆(x-4)}+y2=3有公共点， 所以圆心到直线x+y=1的距离为4=：s5,解得4-65154+6， √2 所以x+y的最小值为4-√6 k+-1i V2+y2-2x+1 i+3x-+少 可以看作点(3，y)到直线x+√5y-1=0的距离与它到4(，0)距离比值的2倍， 设过点A,0)的直线与圆相切于点P(x,y),此时一 x+3y-1 一取到最大值 2+y2-2x 设直线方程为y=k(x-1), 318 y=x-1) 由-+=3得+F-8+2k+13+2-0, 4=(+2-41+13+=0,解得k=±5，结合图形可知k. 2 把k.三代入联立后的方程可得切点P6, x+5y-1 代入可得F+罗-2x 的最大值为1+5 故答案为：4-6：1+ 3 x+W5y-1=0 四、解答题： 15.【解析】(1)因为四边形BCD为正方形，4E⊥底面ABCD,所以AB,AD,AE两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以B,D,正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系A-肛， 由题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,0,2),F(2,0,2), co12,M2别，Nt02. 则F-0-22,元-(2-12，-别 设平面CFG的一个法向量为n=(x1,y,Z),则 斤1C丽 网1cG ∫-2y+2%=0 为= 故 -24-男+2=0'则 令3=2，得元=12,2)， 所以-2,2-剖小-1+2（引21=0， 所以M⊥%，又Nz平面CFG,所以MWI/平面CFG 6分 (2)由(1)得直线AW的一个方向向量为=(10,2)，平面CFG的一个法向量为元=(1,2,2)， 设直线AW与平面CFG所成角为0， 则如=os(, ·网 1×1+0×2+2×2 =55 丽+22P+2+235了 418 所以直线W与平面CPG所成角的正弦值为5 13分 16.【解析】(1)因为点(2，-3)在圆C:x2+y2-8x+6y+m=0上， 所以4+9-16-18+m=0,解得m=21, 所以该圆的标准方程为(x-4+(y+3=4, 所以该圆的圆心坐标为(4，-3)，半径长为2： 7分 (2)因为直线过点M心-)，斜率为子 所以直线1的方程为y+1=- -.即4+3y-1=0, 则圆心(4，-3)到直线1的距离d-6-9-1_6 16+951 所24-子-2要-号 15分 17.【解析】(1)由已知得2c=25,c=√5， 50小，s6-0+- 9+85_4+5 2, 同理wM.4-5 2 .2a=MF+ME=4, a=2,b=√a2-c-1, 椭圆C的标准方程为子+少=1. 7分 (2)设P>0y>0,且+y1,则丽-(5-小，丽，=(5-名， 丽丽=--+少s分 由椭圆方程可得-2小1号好 整理得3x2≤9，所以0<xs3, 即点P的横坐标的取值范围是(0，可 15分 18.【解析】(1)连接CD,AG,因为G在平面ABC内的射影为D, 5/8 所以CD⊥平面ABC, 因为BD,ACc平面ABC,所以CGD⊥BD,C,D⊥AC, 因为VABC为边长为2的等边三角形，D是线段AC的中点， 所以BD⊥AC, 因为CD∩AC=D,G,D,ACc平面ACC4, 所以BD⊥平面ACCA, 因为ACc平面ACC4,所以BD⊥AC, 因为CC=AC=2,四边形ACC4为平行四边形， 所以平行四边形ACC4为菱形，故4C⊥AC, 因为D,E分别是线段AC,CC的中点，所以DEIIAC, 故AC⊥DE, 因为DEOBD=D,DE,BD1平面BDE, 所以AC⊥平面BDE; 5分 (2)由(1)知，CD,AC,BD两两垂直， 以D为坐标原点，BD,DA,C,D所在直线分别为yz轴，建立空间直角坐标系， 因为CD⊥AC,D是线段AC的中点， 所以由三线合一可得GC=AC=2, 又AC=2,故△ACC为等边三角形， D 4a2同.ca-4osi1同，Ga同.r9同lia0, 由(1)知，AC⊥平面BDE:故平面BDE的一个法向量为A4C=(0,-3,-) 点F到平面BDE的距离。 DF.AC 影5jo-8可 35 10分 Aq V9+3 (3)点F为线段G上的动点（不包括端点），设CF=CB,0<元<1， Fs4,),则(，4,0)=(5,10)，故s=5,1=元，故F(玩元，同， 6/8 设平面FBD的法向量为m=(x,以，z), [mD丽=(xy小N5,0,0-5x=0 则 mDF=(x,y,)5,,月=5x+y+5z=0 解得=0，令y1,则：=层，故-)】 又平面DE的一个法向量为4C=0,-3,-, 故os(4cm AC.m 3-1 4d网 2W3+12 令3-元=g∈(2,3)， 因为6引故g停 e丽6 平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是 7分 19.【解折】)由已鬼(-2082且路-石 设：Px,y)则： x+2+ x-2+y2 .(x+2+y2=2x-2y+2y2 整理得：x2+y2-12x+4=0 .点P的轨迹方程为：x2+y2-12x+4=0 4分 (2)解：由(1)知A(-2,0),B(2,0),设(xy), 由l24-0=5,得Vx+2y+y2V(x-2y+y2=5, 7/8 所以(2+y2+4=25+16x2, y2=V25+162-x2-420, 整理得x-8x2-9≤0，即(x2+1(x2-9)s0, 所以0≤X≤9， 10g=√e+y=VW25+16x2-4, 由0≤r2≤9，得1≤0g≤3， 即10Q1的取值范围是[L,3: 410分 (3)解：若b=0,则以(4，B)为“稳点”的√2一阿波罗尼斯圆的方程为：+2Y+y=2(x-}+y2],整 理得x2+y2-(4a+4)x+2a2-4=0, 该圆关于点(2a+2,0)对称。 由点4-2,0，(a,)关于点2.0对称及414=， 可得从一卡西尼卵形线关于点（受，0对称。 22,解得a=-2,与=-2矛盾， 令2a+2=a-2 所以不存在实数口”，使得以(4，B)为稳点的、√2阿波罗尼斯圆与“一卡西尼卵形线都关于同一个点 对称 17分 8/8