精品解析：福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

福州市八县（市）协作校2024-2025学年第一学期学期期中联考 高二数学试卷 【完卷时间：120分钟 试卷满分：150分】 命题：平潭城关中学 王学坚 高芳燕 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线上两点坐标表示斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，即得解 【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为， 故，由于，故. 故选：C. 2. 已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中四点共面定理求解即可. 【详解】根据空间中四点共面可知，，解得. 故选：C. 3. 平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由圆心到直线的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为. 故选：D. 4. 若圆被直线平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由圆，可得， 圆心， 因为直线平分圆，所以，解得. 故选：B. 5. 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 6. 已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意取点，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】取，又，所以，则点到的距离为 . 故选：A 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，1为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数的取值范围. 【详解】由，可得， 故曲线轨迹为以为圆心，1为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当直线过点时，满足两个相异的交点，且此时取得最大值，最大值为， 当直线与相切时， 由到直线距离等于半径可得，，解得， 结合图形可知要想曲线与直线有两个相异的交点， 实数的取值范围是. 故选：B. 8. 在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，因为平面的法向量既垂直于平面内的向量，也垂直于平行于平面的向量，求得法向量，由点到面的距离公式即可求得结果. 【详解】如图，以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， ∵，，∴，， 即， 令则， 即为平面的一个法向量， ∴点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到面的距离可以由点与平面上一个点的向量在这个平面的法向量上的投影长得到，所以本题需要求出平面的其中一个法向量，平面的法向量可以通过平面内的向量和平行于平面的向量来求得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B. 直线与直线之间的距离是 C. 直线恒过定点 D. 点在直线上运动，，，则时的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，讨论截距为0时，即可判断；对于B，根据两平行直线的距离公式即可判断；对于C，直线定点问题整理直线方程得到含参的方程，令参数前系数为0；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解. 【详解】对于A，当在轴上的截距和轴上截距截距均为0时，易得直线方程为，故A错误； 对于B，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故B错误； 对C：由． 由，所以直线恒过定点，故C正确； 对于D，设点关于的对称点为， 则，解得：，即， 如图，，当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为，故D正确.    故选：CD. 10. 已知点在上，点，，则（ ） A. 点到直线的距离最大值是 B. 满足的点有2个 C. 当最小时， D. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项求出圆心到直线的距离，最大距离为；B选项设点坐标，由向量的数量积为0建立等量关系，然后由方程组转换为直线与圆的位置关系得到交点个数，即可得到满足要求得点的个数；C选项通过分析得到的最大值点和最小值点是过点作两条圆切线的切点，求出切线长即可；D选项由切线得到两个垂直关系后得到四点共圆，设上动点坐标得到中点坐标，写出圆方程，得到公共弦的直线方程，由动点在直线上得到等量关系，找到直线定点. 【详解】A选项：直线，即， 圆心到直线的距离， ∴点到直线的距离最大值是，A选错误； B选项：设，则， 当时，得，化简得， 则直线与圆的交点即为所求点， 圆心到直线的距离，故有两个交点， ∴满足的点有2个，故B选项正确； C选项：由观察可知， 当与圆相切时，最大或最小， 显然不存在时，与圆不相切， ∴设，圆心到直线的距离，解得. 显然当时最小，联立方程组，解得，即， 此时，故C选项正确； D选项：设是直线上一点，过作两条直线分别于圆相切与点，即， ∴四点共圆，∴中点为圆心， ∴圆， ∵是圆和圆的公共弦，∴两个圆方程作差得， ∵，∴， ∴，整理得， 故直线过定点，故D选项正确. 故选：BCD 11. 在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，先由向量加法的平行四边形法结合题意得点P为的中点以及四棱锥为正四棱锥，进而得四棱锥外接球球心O在直线上，于是可得，解该方程即可得解；对于B，由题意结合共线定理得在线段上，接着由中位线求出，由平面得点D到平面的距离为，再由锥体体积公式即可求解；对于C，取中点I，将求周长的最小值等价转换成求的最小值，再结合三角形两边之和大于第三边即可求解；对于D，依据题意求出可得到P点的轨迹，接着求出即可进一步求出解. 【详解】对于A，当时，由题， 所以此时点P为的中点，故点P到底面的距离为1，且四棱锥为正四棱锥， 设底面中心为Q，则且该四棱锥外接球球心O在直线上， 设四棱锥外接球半径为R，则有即， 所以，故A正确； 对于B，当时，因为，，， 所以三点共线，即在线段上，连接， 则由题意可知为的中位线，， 所以， 连接交于点G，则，又由正方体性质可得，平面即平面， 因为，且平面， 所以平面，所以点D到平面的距离为， 所以此时，故B正确； 对于C，由题可得， 所以周长为，所以该周长最小时取得最小值， 因为点满足，，， 所以四点共面，即P在平面内， 如图，取中点I，则由正方体结构性质可知，所以， 所以取得最小值时即为取得最小值时， 所以由三角形两边之和大于第三边可得当三点共线时取得最小值为， 所以周长最小值为，故C正确； 对于D，由A知底面中心为Q，且，又由正方体结构性质可知平面，平面， 所以，所以若，则， 如图，所以点P的轨迹是平面内以Q为圆心半径为2的圆与四边形相交的交线，该交线为圆弧， 因为，所以， 所以，所以， 所以点P的轨迹长为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：求所以周长最小值的关键点1是由题意明确点P在平面内，关键点2是取中点I得到，将求周长的最小值等价转换成了求的最小值，简化了问题的求解难度，进而得到其最小值为而得解. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 直线与直线平行，则___________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定方法，列方程计算求出的值并检验即得. 【详解】依题意，可得且， 解得或，因，故. 故答案为：-3. 13. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可以分析得直线到圆心的距离为2，代入公式即可求得. 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1， 则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示： 解得. 故答案为： 14. 某校的几个高二年同学在深入研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时发现原来空间直线与平面也有方程．教材中阐述并要求证明下面的两个结论： 在空间直角坐标系中，已知点，向量，． （1）过点且一个法向量为的平面的方程为； （2）过点且方向向量为的直线的方程为． 请利用这两个结论求解下列问题： 已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线是两个平面与的交线，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，即可得到答案. 【详解】因为平面的方程为，则平面的法向量为， 平面与的法向量分别为，， 直线是两个平面与的交线， 设直线的方向向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上． （1）求边上的高所在直线方程； （2）设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1） 由条件根据中点坐标公式求出C点坐标，由求得，然后利用点斜式求直线方程； （2）方法一：当斜率不存在时，不满足题意；当斜率存在时，设出的方程，依题意根据点到直线的距离公式列出等式，求解即可；方法二：依题意，所求直线与直线平行或过线段的中点，利用点斜式和两点式求解即可. 【小问1详解】 设，，， ∵边的中点在轴上，边的中点在轴上， ∴，∴， ∵，∴， ∴所在直线方程为，即. 【小问2详解】 方法一：当斜率不存在时，，不满足题意； 当斜率存在时，设即， 依题意得：， 解得或， 综上所述，直线的方程为：或， 即：或. 方法二：依题意，所求直线与直线平行或过线段的中点， 综上所述，直线的方程为：或， 即：或. 16. 如图，在棱长为2的正四面体中，是线段的中点，是中点，在线段上，且 （1）求线段的长； （2）直线与直线所成角的余弦值； （3）证明：平面； 【答案】（1） （2） （3）证明：， ； ， ， 又，平面，且， 平面． 【解析】 【分析】（1）设，，．用基底表示向量，再通过根据求得的长; （2）将向量分别用基底表示，再通过求解即可； （3）将证明“”转化为证“”即可. 【小问1详解】 设，，．则其模长均为2，且两两夹角均是， 从而，， 由在线段上，且，可得， 则 ， ； 【小问2详解】 由是中点可得， ∴ ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 【小问3详解】 略 17. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程； （3）已知点，，且为圆上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）法一：利用圆的弦的中垂线经过圆心的性质求解；法二：利用圆的标准方程待定系数法求解；法三：利用圆的一般式方程求解； （2）利用垂径定理先求由弦长求出弦心距，再将直线分斜率不存在和斜率为两种情形，结合图形判断或计算即得直线方程； （3）利用圆的参数方程设点，利用两点间距离公式计算所求式，将其化成正弦型函数，利用其性质即可求得所求式的最小值. 【小问1详解】 法一：，的中点为， 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为． 圆的半径为， 所以圆的标准方程为． 法二：设圆的方程为． 由题可得，解得， 所以圆的标准方程． 法三：设圆的方程为 由题可得，解得， 所以圆的标准方程为， 化为标准方程即． 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得， 故． ①若直线的斜率不存在， 则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则有，解得， 则直线的方程为． 故直线的方程为或． 【小问3详解】 因点在圆上，可设，（为参数） 又点，，故 ，其中， 则当时，取最小值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形. 为的中点,， 又，， 平面，平面，， 而平面，平面，且，平面， 又平面，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据为正三角形可得，再根据几何性质可得，再根据线面垂直的性质和判定定理判定即可； （2）法一：由（1）可得，，从而可建立空间直角坐标系，设，再根据线面与面面夹角的向量公式求解即可； 法二：为上任意一点，连接，，可得当时，最大，再建立空间直角坐标系求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由平面，平面可得， 又由（1）可得，，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设， 则，由，，三点共线可设， 设，则，则， 故，从而， 又平面的一个法向量，设与平面所成角为， 则． 令， 故当时，， 故，即，， 则，，因为，故， 所以点坐标为，则，. 设平面的一个法向量为 则有 取，可得； 同理可得平面的一个法向量， ， 故平面与平面的夹角余弦值为. 法二：为上任意一点，连接，， 由（1）知平面，所以为与平面所成的角， 在中，，且， 所以当最短时，最大， 即当时，最大. 因为，所以， 又，所以，所以， 由（1）知，，两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，分别为，的中点， 所以，，，， ，，， 所以，，， 设平面的一法向量为， 则，故， 取，则， 又由平面可得， 因为，平面，平面，，所以平面， 故为平面的一法向量， 所以. 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知圆和圆． （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆方程求得圆心和半径，根据两圆相交的判断方法建立不等式，解之即得； （2）将直线方程与圆方程联立整理成一元二次方程，计算，写出韦达定理，由题设等式化简计算求出值，并检验即得； （3）设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为，分别写出直线和的方程，依题，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等，列出方程并化简整理成或，根据题设要求可得关于的两个方程组，解之即得点的坐标. 【小问1详解】 由配方得，则其圆心，半径， 由，则其圆心，半径 圆与圆相交， ， 即，解得， 的取值范围是. 【小问2详解】 设，， 联立，消去得 由，可得， 则有， ， 解得， 因为，所以． 【小问3详解】 如图，设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线、的方程分别为：，， 即：， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等． 故有：， 化简得：， 即或， 整理得：，或， 依题存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，所以关于的方程有无穷多解， 从而有或， 解得或， 所以点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州市八县（市）协作校2024-2025学年第一学期学期期中联考 高二数学试卷 【完卷时间：120分钟 试卷满分：150分】 命题：平潭城关中学 王学坚 高芳燕 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆被直线平分，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B. 直线与直线之间的距离是 C. 直线恒过定点 D. 点在直线上运动，，，则时的最大值是 10. 已知点在上，点，，则（ ） A. 点到直线的距离最大值是 B. 满足的点有2个 C. 当最小时， D. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 11. 在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 直线与直线平行，则___________． 13. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为___________． 14. 某校的几个高二年同学在深入研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时发现原来空间直线与平面也有方程．教材中阐述并要求证明下面的两个结论： 在空间直角坐标系中，已知点，向量，． （1）过点且一个法向量为的平面的方程为； （2）过点且方向向量为的直线的方程为． 请利用这两个结论求解下列问题： 已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上． （1）求边上的高所在直线方程； （2）设过点的直线为，且点与点到直线距离相等，求直线的方程． 16. 如图，在棱长为2的正四面体中，是线段的中点，是中点，在线段上，且 （1）求线段的长； （2）直线与直线所成角的余弦值； （3）证明：平面； 17. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程； （3）已知点，，且为圆上一动点，求的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知圆和圆． （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $