山西省大同市2025届高三上学期11月全市统考数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 2024一2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置： 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.设集合A={xl-1<x≤4}，B={xx2>4},则A∩(C.B)= A.{xl-1≤x<2} B.{x-1<x≤2} C.{x|-2≤x≤2} D.{x|-2<x<2} 2若，=，则x= z+i A. c号 + 3.设a=0.302,b=1.102,c=1.103,则 A.a<h<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 4.记无穷等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.设甲：a1<0且d>0:乙：S。有最小值，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.已知mg=m且m≠-1，则in{a-= tan B sin(a+B) A.I B.m C.m-1 1-m m+1 m+1 m+1 m+1 数学(A卷)试题第1页（共4页） 6.已知向量a,b,c满是a+b+c=0,al=2,1b1=尽，且a与b的夹角为君，则cos(,c)= A.-213 B213 c.239 D.-239 13 13 13 13 7.已知函数f代x)=x2-x-acos2πx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为 A子 B号 c.-7 D.-号 8.已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上.，若AB=CD=4,则四面体ABCD体积的 最大值为 AIG B.165 C.l63 D.162 3 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知！为空间内的一条直线，α，B为空间内两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若l∥a,lCB,则a∥B B.若11a,1CB,则a⊥B C.若a∥B,lCa,则∥B D.若⊥B,lCa,则I⊥B 10.已知m>0,n>0,m2+n2-mn=4,则 A.log2m+log2n≤1 B.m+n≤4 C.m3+n3≤16 D.√m+√n≤22 11.已知函数fx)的定义域为R,若2[f(x+y)+fx-y)]=f代x)f(y)f代1)=2，则 A.f2)=-2 B.f代x)是偶函数 2025 C.f(x)以4为周期 D. )=-4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2已知)=兰二是奇函数，则m的值为 13.已知函数)=osor-sin(w>0),若f)=）,且(x)在区间上恰有 两个极值点，则智) 14.对于数列1a,{,称△a.|为数列{an}的一阶差分数列，其中△a.=aa1-a.,称Aa.}为数列 {an}的k阶差分数列，其中△a。=△-au+1-△-an(k≥2，keN）.已知数列{bn}满足1=1， 且{△b.+1-b.-2为6n}的二阶差分数列，则数列{bn的前n项和Sn= 数学(A卷)试题第2页（共4页）》 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数()=式-3x+ah(x+2)的图象在点(0(0)处的切线与直线x+y=0 平行 (1)求a; (Ⅱ)求f代x)在区间[-1,4]上的最人值.（参考数据：ln6≈1.79) 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知+c=inA-sinB a sin C-sin B (I)求G: （I)知图，M为△ABC内-点，且∠AMB-号，AM=a,证明：BW=b-a 17.(15分) 如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD,AB∥CD∥EF, DE LDC,AB=AD=BC=EF=2,CD=4,CF=23. (I)证明：DE⊥BC; (Ⅱ)求直线AF与平面BDF所成角的正弦值 数学(A卷)试题第3负（共4页） 18.(17分) 已知{an}是首项为1的等差数列，其前n项和为Sn,S,=70,{b.}为等比数列，b2=a6,b2+ b3=80. (I)求{an和lb.}的通项公式； (Ⅱ)求数列|(-1)a}的前n项和T; （国)记，=+安若A2云- ≥，-4对任意neN恒成立，求实数A的取值范围 19.(17分) 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法.帕 德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是 [m,n]阶的帕德逼近，记作R一般地，函数f代x)在x=0处的[m,n]阶帕德逼近定 义为：R(x)=0+1x+a+…+0x 1+6x+62+…+6,产，且满足f0）=R(0),f(0)=R(0). f(0)=R0.(0),…+0(0)=R(0). 注f(x)=[f(x)]',f(x)=[f(x)]',…(x)=fa-(x)]' 已知函数x)=e在x=0处的[1,1】阶帕德逼近为R,(x)=+产 1+b1x （I)求R,(x)的解析式： (Ⅱ)当x<2时，比较f八x)与R:(x)的大小； （)证明：当>0时产<多 数学(A卷)试题第4页（共4页）2024-2025学年第一学期高三年级学情调研测试试卷 数学(A卷)答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1.答案 B 命题透析 本题考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法 解析 由题意可得fB=$xlx^}<4 =xl-2<x<2.A(fB)=xl-1<< . 2.答案 C 命题透析 本题考查复数的四则运算 解析 z+i 1+i=(1+i)(1-i)= 3.答案 A 命题透析 本题考查指数函数的单调性 解析 因为函数y=1.1单调递增,所以1<1.1*<1.1,故b<c,又函数y=0.3 单调递减,所以a= 0.3{2<0.3-1.所以a<b<c. 4.答案 A 命题透析 本题考查等差数列的性质以及充分条件与必要条件的判断 解析 当a.<0.d>0时,数列a。存在前n项小于0,从第(m+1)项开始不小于0,此时S.有最小值,所以甲 是乙的充分条件,当a>0.d>0时,s.的最小值为S,所以甲不是乙的必要条件 5.答案C 命题透析 本题考查三角恒等变换的应用 sinacosB tanx-1 sin(a-B) )- sin acos B-cos asinBcos asinB -1 解析 一_i01 tan_Bm-1 sin(a+B) an1 sin acosB+cos asinB n+1 cos asin/B lanB 6.答案 D 命题透析 本题考查向量的数量积 解析$由已知得c=-a-b,a·b=3,b·c=b·(-a-b)=-a·b-b^}=-3-3=-6,c^}=(a+b)^}=^$} 39 3: 7.答案 C 命题透析 本题考查函数的零点、函数图象的画法、三角函数的图象与性质 解析 由/f(x)=0得x2}-x+2=acos2nx.令g(x)=x}-x+2,h(x)=acos2nx.当a>0时,g(x)与h(x)的大 可能只有一个;当a=0时,方程x-x+2=acos2πxx无解;当 )时,g(x)与(x)的大致图象如图(2)所示. 要使两个函数图象只有一个交点,则有g()=(),即=acos(2·2),则a=-4 ##-## 图(1) 图(2) 8.答案 # 命题透析 本题考查四面体的外接球和体积问题 解析 如图,设E为AB的中点,F为CD的中点,0为四面体ABCD外接球的球心,因为Vw面体ucn=Vc-+ 且仅当AB与CD垂直,且均与EF垂直时取等号. (1 二、多项选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 得0分. 9.答案 BC 命题透析 本题考查空间中直线与平面的位置关系 解析 对于A.若l/a.lCB,则可能a/B或a与B相交,故A错误 对于B,根据面面垂直的判定定理可知B正确; 对于C,根据面面平行的定义可知C正确 对于D.若a1B.ICa,则可能1/B.ICB,或1与B相交且成任意的角,故D错误 10.答案 BCD 命题透析 本题考查基本不等式 -2 解析 对于A,m}+n2}=mn+4=2mn..mn<4.:.logm+logn=log(mn)<2,故A错误; 对于B,m{+n2(m+n)2} 2 4 对于C,m}+n}=(m+n)(m}-mn+n^})=4(m+n)<16,故C正确;$ 对于D.m+n=m+n+2mn<2(m+n),又m+n<4..m+n<2v2,故D正确 注:以上不等式中的等号均在m=n=2时取到 11.答案 ABD 命题透析 本题考查抽象函数 解析对于A,令x=1,=0,得4/(1)=f1)f(0)f(0)=4,令y=1,得2[/fx+1) +f(x-1)]=f(x)f1)= 2f(x),则/f(x+1)+f(x-1)=f(x),.f(2)=f(1)-f(0)=-2,故A正确 对于B,令x=0,得2[f(y)+f(-y)]=f(0)f(y)=4f(y),得f(y)=f(-y),.f(x)是偶函数,故B正确; 对于C,·f(x+2)+f(x)=f(x+1),f(x+2)=f(x+1)-f(x)=-f(x-1),:.f(x)=-f(x-3) = f(x-6)..f(x)以6为周期,故C错误; 对于D(1) =2$2) =-2,f3) =-f0)=-4.f4) =-f1)f(5) =-f2),f(6)=-f3),.f1 + f$2)+/f(3)+/(4)+f(5)+f(6)=0.又2025=6x337+3... 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.答案4 命题透析 本题考查函数的奇偶性 解析(x)2 13.答案. {-1 命题透析 本题考查三角函数的图象与性质 解析 (x)-cos oxsinox=2cos(x).因为/(x)在区间(2-)上恰有两个极值点,且/()- 14.答案(n-1)·2“+1 命题透析 本题考查数列的新定义,由递推公式求通项公式,数列求和 解析 因为△b...-b.-2”l为b.|的二阶差分数列,即△b.,-b.-2=△b,由△2b.=△b.-Ab,可知 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析 本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性和极值 解析 ............................ ................................. 所以a-4. ..................................................................................................... (5分) (x+1)(x-2) x-.2.................... x+2 当x=(-1.2)时,f'(x)<0.f(x)单调递减. 当xe(2,4)时,/'(x)>0.f(x)单调递增 所以/(x)在区间[-1.4]上的最大值为/(-1)和/(4)中的较大者 ....................................... (10分) 因为/(-1)-7(4)-4ln6-4. 所以f(-1)-f(4)-15 2 -4n6>0,即f(-1)>f(4). ........................................................................... (13分) 16.命题透析 本题考查正余弦定理,三角形中的最值 解析(I)..+csinA-sinB sinC-sinB' 由正弦定理得+ca-b #_#,整理得_a}+6。. ............................................................... (3分) 由余弦定理得cosC-+-^1 2b 2. .................................................... (7分) (II)设BM=. 在△Ay......定理可得........x............................................. (9分) 'a②}+x2}+ax=a2}+b}-ab,整理得x2}+ax+b(a-b)=0 即(x+b)[x+(a-b)]=0.(*) .................................................................................... (12分) ....(13分) 故方程(*)有唯一解x=b-a. 即BM=b-a. .................................... (15分) 17.命题透析 本题考查立体几何中面面垂直的性质定理,直线与平面所成的角 解析(I):平面CDEF1平面ABCD,平面CDEFO平面ABCD=CD,DE1DC. .DE1平面ABCD. 又BCC平面ABCD.:.DE1BC. (II)如图,过F作FO/ED交DC于点0,作OP1AB于点P 由(I)得DE1平面ABCD.:FO//DE.:FO1平面ABCD. ·0P.0C.0F两两垂直. (7分) 故以0为原点,0P.0C.0F所在直线分别为x.v.:轴建立空间直角坐标系,由条件可得A(3,-1.0). B(3.......2......).................................................分) .A=(-3.1.2V2)DB=(3.3.0)D=(0.22v2). ..................................................... (9分) 设平面BDF的法向量为n=(x,y,:) rn.D-/3x+3y=0. 则 可取.....-..)............................ (12分) 1n-2y+2/2z=0. 设直线AF与平面BDF所成的角为θ. 则sinθ=lcos(A,n)1-2 339 (15分) 18.命题透析 本题考查等差数列、等比数列的通项公式,并项求和,数列的单调性问题 解析 (I)设a.的公差为d 2 解得d=3,.a.=3n-2. .................. 设b的公比为9 .b=a.=16,b+b=b(1+g)=80..q=4. (II)a.-a2=(a.-a.)(a..:+a)=3(a.+a.). 当n为偶数时,T.=(-a}+a)+(-a}+a)+(-a}+a).+(-a,+) ............................................. (7分) 2 2 当n为奇数时,T.=T.-,-a= ........................ (9分) 2 2 9n2-3n “,n为偶数, .T.三 .................................................................................. (10分) -9n2+3n+4 ,n为奇数. .............................. (12分) a.-4 3n-6 =2x4 3n-63n-93n-6-4(3n-9)30-9n 则d.-d.-,三 2x42x4- 2x4" 2x4) (16分) ................................ (17分) 19.命题透析 本题考查学生对新定义的理解,考查函数的导数、单调性、极值等知识 -2a.b+2ab2} 解析(I)由题意知f'(x)=e*f”(x)=e,R'.(x)= -......... (1+x)3} (2分) f(0)=R(0)f'(0)=R(0)f”(0)=R”(0). [。=1. 1=a. 即1=a-anb, 1=-2a.b+2apb 所以R(x)-_ ............ (2-)2 记g(x)=(2-x)?e'-4,x<2,则g'(x)=x(x-2)e. 当xe(-x,0)时,g(x)>0,g(x)单调递增;当xe[0.2)时,g'(x)<0.g(x)单调递减 所以当x<2时,g(x)<g(0)=0. 所以F'(x)0.仅当x=0时,F(x)=0.故F(x)在(-x,2)上单调递减 ..................... 又因为f(0)-。-2+0 2-0_0. 所以当x<0时,F(x)>0.当x=0时,F(x)=0.当0<x<2时,F(x)<0 即当x<0时,f(x)>R(x),当x=0时,f(x)=R(x),当0<x<2时,f(x)<R(x). ............10分). 另解:设F(x)=(2-x)e-2-x.x<2.则F(x)=e-xe-1.后续步骤及评分标准参考原方法 设(x)-nx,则'(x)-1-ln 令h'(x)>0.得0<x<e.令h'(x)<0.得x>e. 所以h(x)在(0.e)上单调递增,在(e.+x)上单调递减, 所以h(x)<h(e)-1,即ln1 -. ................................................................. (13分) 3 .............................................................. (14分) e 4。 -1.易知(x)在(0.2)上单调递增. -2 2= 2_ 2_ 5 2. 。 所以结论成立: (17分) -7