精品解析：江苏省盐城市盐都区第一共同体2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段发展性评价 八年级数学试卷 注意事项∶ 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有且只有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填涂在答题卡指定的位置） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识．根据算术平方根、立方根等知识进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 3. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. ，， B. 4，6，8 C. 6，8，10 D. 3，6，9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，，不是整数， ∴不是勾股数，故本选项不符合题意； B、∵， ∴不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴是勾股数，故本选项符合题意； D、∵， ∴不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，在正方形网格中，到两边距离相等的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等． 【详解】解：由图可知，平分， ∴点F到两边距离相等， 故选：B． 5. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质、等边对等角等知识．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 6. 的三条边是,下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、设则 ∵， ∴，解得， ∴， ∴此三角形不是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； C、，则，此三角形是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 7. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、三角形的三边关系等知识点，掌握常见全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能画出，故A不符合题意； B、∠B是边的对角，不能画出唯一的，故B不符合题意； C、由判定能画出唯一的，故C符合题意． D、三个角对应相等的三角形不一定全等，故D不符合题意． 故选：C． 8. 已知，等腰中，，E是高上任一点，F是腰上任一点，腰，那么线段的最小值是（　　） A. B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．作点F关于的对称点，连接．作于H．根据垂线段最短可知，B，E，共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点，连接．作于H． ∵，， ∴， ∴点在上， ∵， 根据垂线段最短可知，当B，E，共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长． 在中，； ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定位置） 9. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 10. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出x的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识． 根据三角形内角和定理求出，得到，由全等三角形的对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，的对边是，的对边是， ∴ 即 故答案为： 11. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，49、625分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是________________．     【答案】576 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先对图形标注，根据题意可知，再根据勾股定理，得，然后代入数值可得答案． 【详解】如图所示，根据题意可知， 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：576． 12. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，    根据勾股定理可以得到：，，， ∴且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交于D、E两点．若，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．先求出，再根据垂直平分线的性质得到，利用等量代换得到的周长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长； 故答案为： 14. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千路板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案． 【详解】解：在中， ， 设秋千的绳索长为， 则， 故， 解得：， 即绳索AD的长度是． 故答案为：． 15. 如图，中，，于点D，，动点P从点A出发以每秒的速度沿线段向点B运动，设点P运动的时间为t秒．当________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算． 【详解】解：∵于点， ∴， 当时，， 当时，如图， 作于，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得，， 综上所述，或时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 16. 如图，中，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质， 先确定点F在的角平分线上，当时，最小，且点D在上，再根据勾股定理求出，进而得出，然后根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】连接， ∵是等边三角形，F是的中点， ∴，平分， 即点F在的角平分线上． 当时，最小，且点D在上， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得． ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以等边的周长为． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共10小题，共72分，解答时应在答题卡指定位置写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的x的值∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根进行解方程． （1）先求得，然后依据平方根的定义求解即可； （2）依据立方根的性质得到，求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ． 18. 已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根 【答案】4． 【解析】 【分析】此题考查平方根，算术平方根，立方根． 直接利用平方根以及算术平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵的平方根为， ∴， 解得：， ∵的算术平方根为4， ∴， 则， 解得：， 则， ∵， 即的立方根是4． 19. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）直接写出的面积__________； （3）在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值． 【答案】（1） 关于直线成轴对称的如图所示， （2） （3） 如图所示， 最小值为 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可求解； （2）长度为个单位的小正方形组成的网格中，过点作的延长线于，可知，，由此即可求解； （3）由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，即为所求点的位置，连接，在中，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作的延长线于， 可知，， ∴． 故答案为3. 【小问3详解】 解：由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，连接，在中，， ∴图中点为所求点的位置，使得最小，这个最小值是． 【点睛】本题主要考查图形变换，轴对称——最短途径，掌握轴对称的性质，两点之间线段最短是解题的关键． 20. 如图，已知，点E是的中点，直线交于点D． （1）求证∶； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用平行线的性质证明，由中点定义得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 21. 证明∶有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 已知∶如图，在中，______． 求证∶． 证明∶ 【答案】 已知：如图，在中，， 求证：． 证明：作，交于点D， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先写好已知条件，再作，交于点D，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】略 22. 如图，在中，，是的平分线，，交于点E． （1）求证∶； （2）若，求和的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质， 对于（1），先根据等边对等角得，再根据平行线的性质得，可得，进而得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义得，即可得出，则答案可证； 对于（2），由（1）得，再根据角平分线定义可知，即可得，然后根据三角形内角和定理得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 23. 金秋十月，某校体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上A、B两点相距，C、D为两个班级，于点A，于点B，为方便同学们接取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站E，使得C、D两个班级到E站的距离相等． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规画出饮水站E的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； （2）已知，求饮水站E到点B的距离． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求． （2）． 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和作图、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）设，则，在和中，由勾股定理得，，则，即，求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， 设，则， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， 即， 解得， 答：饮水站到点的距离为． 24. 如图，在等边三角形中，，相交于点F． （1）求证∶； （2）过点A作，垂足为G．若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，度角所对的直角边等于斜边一半等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据等边三角形性质，证明，得到，再利用三角形外角性质即可证明； （2）根据度角所对直角边等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，又因为，得到，即可求出长，即可求出三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ． ∴的面积． 25. 如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为． （1）点M，N从移动开始到停止，所用时间为_____s； （2）当与全等时， ① 若点M，N的移动速度相同，求t的值； ② 若点M，N的移动速度不同，求a的值； （3）如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）10 （2）①；② （3）存在；的值为或 【解析】 【分析】（1）根据时间计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当，时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【小问1详解】 解：点的运动时间(秒， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①点、的移动速度相同，点的速度是． ， ∴， ∵， ， 当时，与全等， 则有， 解得． ②点、的移动速度不同， ， 当，时，两个三角形全等， ∴， 运动时间， ，满足题意． 【小问3详解】 解：存在； 若点、的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时， 若点、的移动速度相同，则，， 又∵，， 或， 解得(舍弃)或， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 26. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图① ，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图② ，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③ ，在中，，垂足为D，若，，．求证：C是A、B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④ ，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． （4）如图⑤，在中，，，，P、Q分别为边、上的两个动点，若要使是轴对称图形且Q是B、P两点的勾股点，则_____． 【答案】（1）4； （2）证明： ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形，， 点是，两点的强勾股点； （3）4或或或16；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）分四种情况：点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是，两个顶点的强勾股点时，点是，两个顶点的强勾股点时，点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； （4）分两种情况进行讨论：当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点与，能构成四个直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：∵， D是的中点， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， 为的中点，， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为4或或或16． （4）∵，，， ∴， ∵是轴对称图形，Q是B、P两点的勾股点， ∴是等腰三角形，为直角三角形； 当，时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 当，时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段发展性评价 八年级数学试卷 注意事项∶ 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有且只有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填涂在答题卡指定的位置） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. ，， B. 4，6，8 C. 6，8，10 D. 3，6，9 4. 如图，在正方形网格中，到两边距离相等的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 的三条边是,下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 已知，等腰中，，E是高上任一点，F是腰上任一点，腰，那么线段的最小值是（　　） A. B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定位置） 9. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 10. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出x的值为_______________． 11. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，49、625分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是________________．     12. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ________． 13. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交于D、E两点．若，则的周长是______． 14. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千路板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为_____． 15. 如图，中，，于点D，，动点P从点A出发以每秒的速度沿线段向点B运动，设点P运动的时间为t秒．当________时，是以为腰的等腰三角形． 16. 如图，中，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共72分，解答时应在答题卡指定位置写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 求下列各式中的x的值∶ （1） （2） 18. 已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根 19. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）直接写出的面积__________； （3）在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值． 20. 如图，已知，点E是的中点，直线交于点D． （1）求证∶； （2）若，求的长． 21. 证明∶有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 已知∶如图，在中，______． 求证∶． 证明∶ 22. 如图，在中，，是的平分线，，交于点E． （1）求证∶； （2）若，求和的度数． 23. 金秋十月，某校体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上A、B两点相距，C、D为两个班级，于点A，于点B，为方便同学们接取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站E，使得C、D两个班级到E站的距离相等． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规画出饮水站E的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； （2）已知，求饮水站E到点B的距离． 24. 如图，在等边三角形中，，相交于点F． （1）求证∶； （2）过点A作，垂足为G．若，，求的面积． 25. 如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为． （1）点M，N从移动开始到停止，所用时间为_____s； （2）当与全等时， ① 若点M，N的移动速度相同，求t的值； ② 若点M，N的移动速度不同，求a的值； （3）如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 26. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图① ，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图② ，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有 个． （2）如图③ ，在中，，垂足为D，若，，．求证：C是A、B两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④ ，在中，，，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． （4）如图⑤，在中，，，，P、Q分别为边、上的两个动点，若要使是轴对称图形且Q是B、P两点的勾股点，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $