4.2.1等差数列的概念（第2课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

4.2.1等差数列的概念（第2课时） 基础巩固 1．在等差数列中，，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 2．已知数列为等差数列，若，，则公差等于（    ） A．3 B． C．2 D． 3．已知为等差数列，且，为方程的两根，则（   ） A． B． C． D．1 4．已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 7．数列满足，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 8．已知在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列命题中为真命题的是（    ）． A．若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则，，（k为常数）一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 10．已知等差数列满足，，则 ． 11．在等差数列中，，则 . 12．在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 13．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 能力提升 14．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（    ） A．-17 B．-15 C．17 D．15 15．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（    ） A． B． C． D．3 16．已知数列，，那么. A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 17．“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列，则为（    ） A． B． C． D． 18．在数列、、、、的每相邻两项中插入个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第项（    ） A．不是原数列的项 B．是原数列的第项 C．是原数列的第项 D．是原数列的第项 19．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 20．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 21．在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（    ） A．是平方等差数列 B．若是平方等差数列，则是等差数列 C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列 D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列 22．设d为等差数列的公差，若，，，则（    ） A． B． C． D． 23．在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（    ） A．是开方差数列 B．若是开方差数列，则是等差数列 C．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数） D．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 24．图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线，点在上，点在轴上，且分别是以为直角顶点的等腰直角三角形.记点的横坐标分别为，，则（   ） A． B． C．为等差数列 D． 26．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 27．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 拓展延伸 28．已知（），且满足，. (1)求函数的解析式； (2)函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围. 29．设集合.对于数列，如果，，则称为“平方差数列”. (1)已知在数列中，，.求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列”； (2)已知，判断是否为“平方差数列”?说明理由； (3)已知数列为“平方差数列”，求证：，. 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 4.2.1等差数列的概念（第2课时） 基础巩固 1．在等差数列中，，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出. 【详解】在等差数列中，，则，公差， 所以. 故选：D 2．已知数列为等差数列，若，，则公差等于（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式直接求解即可. 【详解】由等差数列的通项公式可得， 所以. 故选:C. 3．已知为等差数列，且，为方程的两根，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由已知结合方程的根与系数关系可求，然后根据等差数列的性质可求． 【详解】因为数列是等差数列，且，是方程的两根， 所以， 则． 故选：D． 4．已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【解析】由题意可得出，即可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则， 故选：C. 5．已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、诱导公式二、三、四 【分析】由题知，进而根据结合诱导公式求解即可. 【详解】解：因为数列为等差数列，且 所以，解得， 所以. 故选：C 6．已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【详解】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 7．数列满足，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差中项可知数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】由，可知：数列是等差数列， 首项为，公差为：. ∴， ∴. 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的通项公式，属于中档题. 8．已知在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】根据等差数列的通项公式和已知条件可知，然后根据， 便可求得答案. 【详解】解：由题意， 设等差数列的公差为d， 则 即，所以 故选：BC. 9．（多选）下列命题中为真命题的是（    ）． A．若a，b，c成等差数列，则，，一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则，，（k为常数）一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列 【分析】举特例说明即可判断选项A，B，D；利用等差数列的定义推理即可判断选项C作答. 【详解】对于A，取，，，显然a，b，c成等差数列，而，，，此时，，不成等差数列，A是假命题； 对于B，令，显然a，b，c成等差数列，则，此时，，是公差为0的等差数列，B是真命题； 对于C，因a，b，c成等差数列，则(d为常数)， 于是得，，而k为常数， 因此，(kd为常数)， 所以，，(k为常数)成等差数列，C是真命题； 对于D，令，显然a，b，c成等差数列，则，此时，，是公差为0的等差数列，D是真命题. 故选：BCD 10．已知等差数列满足，，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出，进而可得出结果. 【详解】因为等差数列满足，， 所以，则，因此. 故答案为：. 11．在等差数列中，，则 . 【答案】18 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质直接求得. 【详解】在等差数列中，. 因为， 所以. 故答案为：18. 12．在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由，结合，求出公差，再利用，把代入求出； （2）由，把，公差，，代入求出； （3）由，把，，代入得到关于的方程组，求解即可得到的通项公式. 【详解】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 13．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 【答案】4，3，2 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设这三个数依次为，根据题意列式求解即可. 【详解】设这三个数依次为， 由题意可得，解得， 所以这三个数4，3，2. 能力提升 14．已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（    ） A．-17 B．-15 C．17 D．15 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果. 【详解】因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为， 又，，且，则， 即，所以， 故选：D. 15．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算 【解析】根据等差数列的定义以及性质即可求出． 【详解】因为在等差数列中，，所以，， 即. 故选：B． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及性质的应用，属于容易题． 16．已知数列，，那么. A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】等差数列的单调性、判断等差数列 【分析】由已知可以判断出数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式，利用通项公式可以求出何时等差数列各项非正数，非负数，从而选出正确选项. 【详解】，所以数列是公差为3的等差数列， 因此，当时，各项为非负数，即；当时，各项为非正数，即，因此选项C正确,故本题选C. 【点睛】本题考查等差数列的定义，考查了等差数列各项绝对值的性质. 17．“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用 【分析】由条件确定数列的通项公式，由此确定. 【详解】被3除余数为2的正整数从小到大排列可得，， 被5除余数为2的正整数从小到大排列可得，， 两个数列的公共项按从小到大排列可得，， 所以为首项为2，公差为15的等差数列， 所以． 故选：D. 18．在数列、、、、的每相邻两项中插入个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第项（    ） A．不是原数列的项 B．是原数列的第项 C．是原数列的第项 D．是原数列的第项 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设，分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，令，解之即可得出结论. 【详解】设数列为，则，，，， 设，则，，，， 由题意可知，数列是首项为，公差为的等差数列，故， 令，解得， 因此，新数列的第项为原数列的第项， 故选：C. 19．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，结合充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】因为数列是公差为d的等差数列，若，等价于， 等价于，等价于， 所以是的充要条件. 故选：D. 20．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、根据数列的单调性求参数 【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C. 【详解】解：由题意得,,， 所以，解得，所以，故A错误； 由，故B正确； 由，故，C选项正确； 由等差数列性质，，故D正确. 故选：BCD 21．在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（    ） A．是平方等差数列 B．若是平方等差数列，则是等差数列 C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列 D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】数列新定义、判断等差数列 【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，当为奇数时，则为偶数，所以， 当为偶数时，则为奇数，所以， 即不符合平方等差数列的定义，故错误； 对于B，若是平方等差数列，则为常数），即是首项为，公差为的等差数列，故正确； 对于C，若是平方等差数列，则为常数）， 则， 即， 当为等差数列时，，则为平方等差数列， 当不为等差数列时，则不为平方等差数列，故错误； 对于D，因为是平方等差数列，所以， 把以上的等式相加，得， ，则，即数列是平方等差数列，故正确； 故选:BD 22．设d为等差数列的公差，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由求得公差d的范围，由通项公式写出各项（用d表示），根据判断各选项正误. 【详解】由得：，则，A正确； ，B正确； ，C正确； ，即，D错误. 故选：ABC 23．在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（    ） A．是开方差数列 B．若是开方差数列，则是等差数列 C．若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数） D．若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、数列新定义 【分析】根据开方差数列、等差数列的定义判断、是否为常数即可判断A、B正误；C由，应用累加法求得，即可知正误；D令，m为常数，易得，结合开方差数列定义求证是否为常数列. 【详解】A：，故不是开方差数列，错误； B：不一定为常数，错误； C：，所以为常数，即为开方差数列，正确； D：由题意，且，m为常数，则，所以时为常数，则为常数列，当时，，则也为常数列，正确. 故选：CD 24．图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、图与形中的归纳推理 【分析】记的长度构成的数列为，依题意可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出，再由面积公式计算可得. 【详解】记的长度构成的数列为， 由题意知，，且都是直角三角形， 所以，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 由，所以. 所以第个三角形的面积为. 故选：B． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线，点在上，点在轴上，且分别是以为直角顶点的等腰直角三角形.记点的横坐标分别为，，则（   ） A． B． C．为等差数列 D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求递推关系式、判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】根据题设条件得到和点代入，求得，再依次求得，同法求得，得到；同法得再根据逻辑推理得，确定为等差数列；最后由，得到： ，再用错位相消法求和即得. 【详解】 由图知，点的纵坐标为，把点代入中，可得：，因，解得：，则. 由,点的纵坐标为，把点代入中，可得：，因，解得：， 于是，,故A项错误； 又，,点的纵坐标为，把点代入中，可得：， 因，解得：，故B项正确； 由上分析可知，当时，由点代入中，可得：，即得：， 即组成公差为4的等差数列，故C项正确； 由上分析可知，，因，因，则，则， ，于是，故D项正确. 故选：BCD. 26．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则答案可求； （2）由恒成立，得对一切恒成立，求出的最小值即可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得解得 ∴，． （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立． 当时，取得最小值1， ∴，即的取值范围是． 27．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 拓展延伸 28．已知（），且满足，. (1)求函数的解析式； (2)函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）直接将函数代入，计算即可； （2）先求出的方程，然后利用等差中项建立等式，化简，求出定义域，然后利用函数在定义域上有解即可. 【详解】（1）由题可知， ， 解得，所以； （2）由题可知，得， 所以， 若存在实数使、、为等差数列，可得， 即若存在实数，， 显然， 因为，所以， 化简得 ， 故该方程在有解即可， 当时，得，不符合题意； 当时，得， 可得， 解得， 所以只需或即可， 得无解；，解得 又因为，所以得. 29．设集合.对于数列，如果，，则称为“平方差数列”. (1)已知在数列中，，.求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列”； (2)已知，判断是否为“平方差数列”?说明理由； (3)已知数列为“平方差数列”，求证：，. 【答案】(1),证明见解析 (2)不是“平方差数列”，证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、数列新定义 【分析】（1）先根据所给递推式求出数列的通项公式，再将通项公式转化为的形式来证明是“平方差数列”.这里涉及到数列通项公式的求解方法，如通过对递推式变形构造新数列等； （2）判断是否能表示成的形式，若不能则不是“平方差数列”； （3）根据将其表示为的形式，然后通过运算证明，也能表示成的形式. 【详解】（1）由，变形可得. 当时，. 因为，，，，. 所以，则. 因为，且，，所以， 所以数列是“平方差数列”. （2）假设. 因为与同奇偶性. 若与都是奇数，那么也是奇数，而是偶数，矛盾. 若与都是偶数，设，，则，即. 当时，（），所以，不是“平方差数列”. （3）证明 因为，设，，设. 则. 因为，所以，，所以. 【点睛】关键点点睛：本题主要是理解新定义“平方差数列”的概念，再根据定义，转化成能否将，，写成平方差形式即可证明.属于较难题. 试卷第20页，共21页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$