4.1数列的概念（第2课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.1数列的概念（第2课时） 4.1.2数列的递推关系与前n项和 一、教学目标 (1)能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊 与一般的数学思想 (2)能说出数列的前项和的含义，能根据数列的前项和的定义推出数列的通项与前项和之间的关系 并能根据这一关系由前项和公式求通项公式,体会分类与整合的数学思想. 二、重点难点 重点：数列的递推公式与前项和. 难点：由数列的前项和公式求解数列的通项公式. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题： 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有2对兔子.再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对兔子.如此推算下去，我们可以得到一个表格： 由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，889，144，…. 如果用表示第个月的兔子的总对数，可以看出 这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列. 环节二：观察分析，感知概念 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。 解：在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1． 因此，这个数列的一个通项公式是 追问1：换个角度观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 追问3：你能用表达式表示这个关系吗? 追问4：以上表达式中的从何值开始取? 追问5：能否表示出这个数列的所有项? 环节三 抽象概括，形成概念 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 思考： 1、相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？ 当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察． 2、一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 问题2：什么是数列的前项和公式？ 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即． 追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式． 显然，而， 于是我们有 环节四：根据新知，简单应用 例4：已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 解：由题意可知， ， ， ， 例5：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 解：因为当时，， 当时，， 并且当时，依然成立． 所以的通项公式是． 反思感悟： 利用与的关系求通项所应用公式，注意其步骤有三：①求时的项，即； ②求时的表达式； ③验证是否满足时的表达式. 变式训练: 已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【答案】(1)；(2)151 【分析】（1）由与的关系，求数列的通项公式； （2）由直接求数列前6项和． 【详解】（1）数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. （2）数列前6项和为. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：数列的周期性问题 例：已知数列中，，，． (1)求，的值；(2)求的前2023项和． 【答案】(1)； ；(2) 【分析】 （1）由递推公式令和代入即可得出答案； （2）由递推公式可证明数列是以4为周期的周期数列，再由周期数列的性质求解即可. 【详解】（1）当时，，所以；当时，，所以． （2）当时，，所以． 由知，所以，故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以． 反思感悟：利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项,通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期,然后再解决相关的问题. 变式训练： 1.在数列中，，，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用代入法，求出数列的若干项，发现具有周期性，根据周期进行求解即可. 【详解】由题意知，，当时，； 当时，；当时，； 当时，；…， 所以数列是周期为3的周期数列，故． 故选：B 2.若数列满足，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定的递推公式求出数列的周期，再计算即可. 【详解】由，得，则， 因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 题型二：数列最值问题的求解. 例：已知数列的通项公式是，试问数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 【答案】数列的第8项和第9项为最大项，其值为． 【分析】 根据题意，计算，即可判断. 【详解】因为， 所以当时，；当时，；当时，． 于是，数列的第8项和第9项为最大项，且， 即最大项为. 方法总结：求数列最值的常用方法 (1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值. (2)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该不等式组确定的值即得数列的最大值（注意）. (3)通过建立不等式组求解:若设第()项最大,则有解该不等式组确定的值即得数列的最小值（注意）. 变式训练： 3.已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【详解】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1.判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是此数列中的项. 2.求数列的最大(小)项的两种方法: (1)先判断数列的增减情况,再求数列的最大(小)项; (2)设是最大(小)项,则对任意的,且都成立,解不等式组即可. 3.与的关系: 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第9页习题4.1第4、5题 练习（第5页） 4. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5． 【解析】 【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项． （2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn求解出数列{bn}的前5项． 【详解】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 解析：三角形数：第一个数1，第二个数，第三个数，第四个数， 第五个数，第六个数； 正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数； 五边形数：第一个数1，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，第六个数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第四章数列 4.1数列的概念（第2课时） 4.1.2数列的递推关系与前n项和 一、教学目标 (1)能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊 与一般的数学思想 (2)能说出数列的前项和的含义，能根据数列的前项和的定义推出数列的通项与前项和之间的关系 并能根据这一关系由前项和公式求通项公式,体会分类与整合的数学思想. 二、重点难点 重点：数列的递推公式与前项和. 难点：由数列的前项和公式求解数列的通项公式. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题： 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列. 环节二：观察分析，感知概念 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。 追问1：换个角度观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 追问3：你能用表达式表示这个关系吗? 追问4：以上表达式中的从何值开始取? 追问5：能否表示出这个数列的所有项? 环节三 抽象概括，形成概念 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 思考： 1、相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？ 2、一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 问题2：什么是数列的前项和公式？ 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即． 追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式． 显然，而， 于是我们有 环节四：根据新知，简单应用 例4：已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 例5：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 变式训练: 已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：数列的周期性问题 例：已知数列中，，，． (1)求，的值；(2)求的前2023项和． 变式训练： 1.在数列中，，，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 2.若数列满足，，，则 . 题型二：数列最值问题的求解. 例：已知数列的通项公式是，试问数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 变式训练： 3.已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 环节五：凝练升华，课堂小结 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1.判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是此数列中的项. 2.求数列的最大(小)项的两种方法: (1)先判断数列的增减情况,再求数列的最大(小)项; (2)设是最大(小)项,则对任意的,且都成立,解不等式组即可. 3.与的关系: 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第9页习题4.1第4、5题 练习（第5页） 4. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$