海南省文昌中学2024-2025学年高二上学期11月段考数学试题

2024—2025学年度第一学期 高二年级数学科段考试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，. 若，则（   ） A．10 B．12 C．－10 D．－12 3．若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A．(−∞, −4) B．(4, +∞ ) C．(−4, 4) D．(−∞, −4)(4, +∞ ) 4．已知椭圆，则椭圆的（   ） A．长轴长为4 B．焦点在轴上 C．离心率为 D．焦距为 5．如图，在直三棱柱中，△ABC是等边三角形， ，AB=2，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 6．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，PF1⊥PF2，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度AB=40m，拱高OP=10m，与OP相距a m 的支柱A1P1=5m，则a=（   ） A．5 B．5 C．15 D．10 8．在直线上，与圆相切于两点，则四边形 面积的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与垂直的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） A．直线过定点 B．圆上的动点P与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C．若圆与圆有唯一公切线，则m=25 D．圆上存在两个点到直线的距离为2 11．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上的一点，且 N为线段AQ的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．当时，过三点的平面截正方体 所得截面的面积为4 D．存在使得直线与平面垂直 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知直线，直线，若，则 ． 13．圆C1：与圆C2：相交于A,B两点，则 ． 14．如图，直线与直线 交于点E，点A,D在x轴上，CB是以点E为圆心，半径 为的圆上的一段圆弧，CD是以CD为直径的半圆， BA是以AB为直径的半圆，三段圆弧构成曲线 Ω , 则 CB所在圆的方程为 ，曲线 Ω 上有 个整点(横、纵坐标均为整数). （本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍。 16.（本小题满分15分） 如图，在五棱锥中，，，，，，． （1）证明：PA⊥平面ABCDE． （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值。 17.（本小题满分15分） 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线l与圆相交与两点，当时，求直线l方程； （3）已知实数x, y满足圆的方程，求的最小值。 18.（本小题满分17分） 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2. （1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； （2）求直线AC与PD所成角的余弦值； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面 MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在， 求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不 存在，请说明理由。 19.（本小题满分17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、， 在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）若直线n交椭圆E于A，B两点，AB的中点坐标为，求直线n的方程； （3）直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（ 为坐标原点）的面积为定值。 高二数学 第1页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期 高二年级数学科段考试题参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A C D C B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD AB 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12． 13．4 14． 8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（1） （2）或 【分析】 （1）根据两直线相交，可得交点坐标，再根据平行可设直线方一般式，代入交点即可得解； （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】 （1）由直线相交，联立方程组 解得 ， 即交点坐标为（0,2）， ………………3分 又直线与直线平行， 设所求直线方程为，代入（0,2）得， ……5分 故所求直线方程为 ………………6分 （2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ………………7分 ∵直线过点（2,1），∴， ………………8分 即直线的方程为. ………………9分 当截距均不为0时，设直线的方程为. ………………10分 ∵直线过点（2,1），∴，解得， ………………11分 即直线方程为. ………………12分 综上，所求直线方程为或 ………………13分 16.（1）证明见解析 （2） 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求平面夹角． 【详解】 （1）因为，，，， 所以，， ………………2分 则，， ………………3分 因为，平面，平面， ………………4分 所以平面ABCDE． ………………5分 （2）根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ……6分 则，． ……·7分 易得平面的一个法向量为， ……8分 设平面的法向量为， 则 ，取得． ……11分 设平面与平面的夹角为， 则， …………14分 即平面与平面的夹角的余弦值为． …………15分 17.（1） （2）x=0或 （3） 【分析】 （1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）求得圆心到的距离的最小值可得结论. 【详解】 （1）由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, ………………2分 所以圆的方程为. ………………4分 （2）因为直线与圆A相交与两点，且， 所以可得圆心A到直线的距离为， ………………5分 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直A到直线的距离为，符合题意， ………………6分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ………………7分 由题意可得，解得， ………………8分 所以直线的方程为，即， ………………9分 综上所述：直线的方程为或. ………………10分 （3）表示点到的距离的平方， ………………11分 又圆心到到的距离为， ………………12分 所以点到的距离的最小值为， ………………14分 所以的最小值为. ………………15分 18.【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线线夹角； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求面面夹角及线面夹角。 【详解】 （1）证明：取BC的中点E，连接DE，交AC于点O， 连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,－1,0)，B(2,－1,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)， P(0,－1,2)． …………1分 ∵点N为PC的中点， ∴N(0,0,1)，∴＝(1,0,1)． …………2分 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由＝(0,0,2)，＝(2,0,0)，可得n＝(0,1,0)， ………………3分 ∴·n＝0. ………………4分 又∵DN平面PAB，∴DN∥平面PAB. ………………5分 （2）由(1)知＝(0,2,0)，＝(－1,1，－2)． ………………6分 设直线AC与PD所成的角为θ， 则cos θ＝＝. ………………9分 （3）存在． ………………10分 设M(x，y，z)，且＝λ，0<λ<1， ∴∴M(－λ，λ－1,2－2λ)． ………………12分 设平面ACM的一个法向量为m＝(x，y，z)， 由＝(0,2,0)，＝(－λ，λ，2－2λ)，可得m＝(2－2λ，0，λ)， 由图知平面ACD的一个法向量为n＝(0,0,1)， ∴|cos〈m，n〉|＝＝， 解得λ＝或λ＝2(舍去)．∴M， ∴＝，m＝. ………………14分 设BM与平面MAC所成的角为φ， 则sin φ＝|cos〈，m〉|＝＝， ………………15分 ∴φ＝30°. ………………16分 故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°. ………………17分 19.（1） （2） （3）证明见解析 【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）利用弦长公式表示出三角形的面积，再结合已知条件关系式求解. 【详解】 （1）由题意得， ………………1分 将代入得：， ………………2分 ………………3分 椭圆E的方程为. ………………4分 （2）设， 则，且， …………5分 两式相减得：， 可得， ………………8分 直线n的方程为，即 ………………9分 （3）如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程 得 ， ………………11分 . ，， ………………12分 又 ， ………………14分 因为点到直线的距离，且， ………………15分 所以 ． ………………17分 答案第1页，共2页 高二数学段考题参考答案 第6页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$