福建省厦门市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年福建省厦门三中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1．（4分）下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）小明在解方程x2﹣x＝0时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 3．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7 4．（4分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（　　） A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为﹣3 C．图象的顶点坐标为（1，﹣3） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 5．（4分）已知MN是半径为4的圆中的一条弦，则MN的长不可能是（　　） A．8 B．5 C．4 D．10 6．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 7．（4分）近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．7612.3（1+x）2＝7977.1 B．7612.3（1+x）＝7977.1 C．7612.3x2＝7977.1 D．7612.3（1+x2）＝7977.1 8．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．3 D． 9．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论： ①2a+b＞0； ②bc＜0； ③a＜﹣c； ④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0； 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 　 　． 12．（4分）若x＝1是方程x2+2x+n＝0的一个根，则n的值是 　 　． 13．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　 　． 14．（4分）如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α（0＜α＜180）度后得到△COD，若∠AOD＝118°，则旋转角α＝ 　 　°． 15．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 2 3 4 …… y …… 5 2 2 5 10 …… 如果点（﹣2，m）在此抛物线上，那么m＝ 　 　． 16．（4分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　 　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　 　块． 三、解答题（本大题有9大题，共86分） 17．（8分）解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）x2﹣3x+1＝0． 18．（8分）先化简，再求值；，其中． 19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）． （1）作出△AOB关于原点的对称△A1OB1，则点B1的坐标为 　 　； （2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 　 　． 20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形． 21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣16 ﹣6 m 0 ﹣6 … （1）求m的值和这个二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 23．（11分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值． 24．（12分）综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 25．（13分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3． （1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 2024-2025学年福建省厦门三中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1．（4分）下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念求解判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形．故A不符合题意； B、不是中心对称图形．故B不符合题意； C、是中心对称图形．故C符合题意； D、不是中心对称图形．故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（4分）小明在解方程x2﹣x＝0时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可． 【解答】解：方程x2﹣x＝0， 分解因式得：x（x﹣1）＝0， 可得x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 则被漏掉的一个根为0． 故选：A． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x+3）2＝11 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7 【分析】先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可． 【解答】解：∵x2﹣6x+2＝0， ∴x2﹣6x＝﹣2， 则x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 4．（4分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（　　） A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为﹣3 C．图象的顶点坐标为（1，﹣3） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣3， ∴a＝1＞0，函数的图象开口向上， 故选项A正确，不符合题意； 函数的最小值为﹣3， 故选项B正确，不符合题意； 图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 故选项C不正确，符合题意； 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 5．（4分）已知MN是半径为4的圆中的一条弦，则MN的长不可能是（　　） A．8 B．5 C．4 D．10 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【解答】解：由题意知，该圆的直径为8，因为圆中最长的弦为直径， ∴MN≤8． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键． 6．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OA′，∠AOA′即为旋转角． 【解答】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OA′ ∠AOA′即为旋转角， ∴旋转角为90° 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大． 7．（4分）近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．7612.3（1+x）2＝7977.1 B．7612.3（1+x）＝7977.1 C．7612.3x2＝7977.1 D．7612.3（1+x2）＝7977.1 【分析】设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，据此列方程． 【解答】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x， 根据题意得，7612.3（1+x）2＝7977.1， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 8．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．3 D． 【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值． 【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1， ∵OD⊥AB，AB＝4， ∴AC＝AB＝2， 在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2， ∴r2＝22+（r﹣1）2， r＝， 故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题． 9．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 【分析】由勾股定理求出AB＝＝6，由旋转的性质得到：A′B′＝AB＝6，OA′＝OA，OB′＝OB，∠A′OB′＝∠AOB＝90°，因此OA′＝OB′，求出∠BOA′＝90°﹣45°＝45°，得到∠BOB′＝∠BOA′，由等腰三角形的性质得到D是A′B′的中点，由直角三角形斜边中线的性质得到OD＝A′B′＝3． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝6， ∴AB＝＝6， 由旋转的性质得到：A′B′＝AB＝6，OA′＝OA，OB′＝OB，∠A′OB′＝∠AOB＝90°， ∴OA′＝OB′， ∵△AOB绕点O顺时针旋转45°， ∴∠BOB′＝45°， ∴∠BOA′＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BOB′＝∠BOA′， ∵OA′＝OB′， ∴D是A′B′的中点， ∴OD＝A′B′＝×6＝3． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，关键是旋转的性质得到A′B′＝AB，由直角三角形斜边中线的性质推出OD＝A′B′． 10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论： ①2a+b＞0； ②bc＜0； ③a＜﹣c； ④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0； 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可得b＝﹣2a，2a+b＝0，判断①错误；由图象可得a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，知bc＞0，判断②错误；而x＝3时y＜0，知x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，可得a﹣（﹣2a）+c＜0，a＜﹣c，判断③正确；由﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，可得﹣3＜x1•x2＜0，判断④正确． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①错误； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0， ∴bc＞0，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0， ∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0， ∴a＜﹣c，故③正确； 若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴﹣3＜x1•x2＜0，故④正确， ∴正确的有：③④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，涉及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 　（﹣1，2）　． 【分析】根据对称点的坐标规律作答即可． 【解答】解：点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12．（4分）若x＝1是方程x2+2x+n＝0的一个根，则n的值是 　﹣3　． 【分析】把x＝1代入x2+2x+n＝0得关于n的方程，然后解此方程即可． 【解答】解：把x＝1代入x2+2x+n＝0，得 1+2+n＝0， 解得n＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　x＝1　． 【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴． 【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2， ∴此函数的对称轴就是直线x＝1． 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数三种表达式． 14．（4分）如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α（0＜α＜180）度后得到△COD，若∠AOD＝118°，则旋转角α＝ 　28　°． 【分析】找到旋转角∠AOC，然后根据旋转的性质得到∠COD的值，计算∠AOD﹣∠COD的值即可得出答案， 【解答】解：∵△COD是△AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α（0＜α＜180）度后所得， ∴∠AOC＝α°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠COD＝∠AOB＝90°， 又∵∠AOD＝118°， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝118°﹣90°＝28°， ∴α＝28， 故答案为：28． 【点评】本题考查了旋转的性质，理解旋转前和旋转后的图形全等及找到旋转角是解本题关键． 15．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 2 3 4 …… y …… 5 2 2 5 10 …… 如果点（﹣2，m）在此抛物线上，那么m＝ 　10　． 【分析】由表格中点（0，2），（2，2）可求对称轴直线x＝1，即可求解． 【解答】解：由表格中点（0，2），（2，2）， 可知函数的对称轴为直线x＝1， ∴点（﹣2，m）与点（4，10）关于直线x＝1对称， ∴m＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是本题的关键． 16．（4分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　12　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　144　块． 【分析】先拼成基础单元，再分析，即可解答． 【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）． 故答案为：12；144． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识．先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 三、解答题（本大题有9大题，共86分） 17．（8分）解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）原式利用因式分解法求出解即可； （2）原式利用公式法求出解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣7＝0， x2﹣2x+1﹣8＝0， （x﹣1）2＝8， x1＝1，x2＝1﹣2； （2）x2﹣3x+1＝0， ∵Δ＝9﹣4＝5＞0， ∴x＝， x1＝，x2＝． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 18．（8分）先化简，再求值；，其中． 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【解答】解： ＝ ＝， 当时， 原式＝． 【点评】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）． （1）作出△AOB关于原点的对称△A1OB1，则点B1的坐标为 　（﹣1，﹣3）　； （2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 　（﹣2，3）　． 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可； （3）先利用勾股定理计算出OA，然后根据弧长公式计算． 【解答】解：（1）如图1，△A1OB1为所求； 点B1的坐标为（﹣1，﹣3）； 故答案为：（﹣1，﹣3）； （2）如图2，△A2OB2为所作； 点A2的坐标为（﹣2，3）； 故答案为：（﹣2，3）． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解答本题的关键要熟练掌握旋转的性质． 20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AC于O，连接BO，于是得到结论； （2）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图所示，线段BO为AC边上的中线； （2）证明：∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO， ∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO， ∴BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，矩形的判定，中心对称图形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣16 ﹣6 m 0 ﹣6 … （1）求m的值和这个二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）； （3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线的对称性，可确定m的值（或求出表达式后令x＝1求出m的值）；根据表格中3对对应值列方程组即可求出这个二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中，利用表格数据画出这个二次函数的图象即可； （3）根据图象信息可直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵当x＝0和4时，对应的函数值都是﹣6， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴x＝1和3时，对应的函数值相同， ∴m＝0； 将x＝﹣1，y＝﹣16；x＝0，y＝﹣6；x＝3，y＝0代入y＝ax2+bx+c， 得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为：y＝﹣2x2+8x﹣6； （2）画出这个二次函数的图象如图， （3）抛物线的顶点是（2，2）， 由图象可知：若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根， 则k＜2． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较． 【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500， 则w＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000； （2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当x＝35时，w最大＝2250， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大； （3）A方案利润高．理由如下： A方案中：20＜x≤30， 故当x＝30时，w有最大值， 此时wA＝2000； B方案中： 故x的取值范围为：45≤x≤49， ∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35， ∴当x＝45时，w有最大值， 此时wB＝1250， ∵wA＞wB， ∴A方案利润更高． 【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得． 23．（11分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值． 【分析】（1）依据题意，将m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解； （2）依据题意，将b2﹣2mb＝4变形为（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0，从而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0， ∴x1，2＝＝． ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵b2﹣2mb＝4， ∴b2﹣2mb﹣4＝0． ∴（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0． 又b≠﹣2a， ∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根． ∴a•（﹣）＝﹣1． ∴ab＝2． （3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②， ∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q， （p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q． 又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q）， ∵p，q为两个不相等的实数， ∴p﹣q≠0， ∴（p+q）+n＝﹣1． ∴p+q＝﹣n﹣1． 又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q． ∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1． ∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1． ∴pq＝n． ∴pq﹣n＝0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 24．（12分）综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，则，得到CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，即可求解； （3）由矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣（m+1.5）2+≤，即可求解． 【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， ∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6， ∴． ∴点B的坐标为（3，0）， ∵OP＝9， ∴点P的坐标为（0，9）， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9， ∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上， ∴9a+9＝0， 解得：a＝﹣1． ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）； （2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上， ∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9）， ∵DE∥AB，交y轴于点F， ∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9， ∴DE＝2m． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴． ∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6， 根据题息，得DE+CF＝6， ∴﹣m2+6+2m＝6， 解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去）， ∴m＝2． ∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2 答：DE的长为4米，CF的长为2米； （3）如图矩形灯带为GHML， 由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝﹣x+3， 设点G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，m+3）， 则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣2（m+1.5）2+≤， 故矩形周长的最大值为米． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． 25．（13分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3． （1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上； （2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）； （3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1． 【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3， 将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5， ∴点（2，4）不在抛物线上； （2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，）， 化简得（，）， 顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大， 而＝﹣（m﹣3）2+5， ∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+9，顶点坐标为：（2，5）； （3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得： ，解得， ∴直线EF的解析式为y＝2x+1， 由得：或， ∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3）， 而（2，5）在线段EF上， ∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合， ∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5）， ∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$