4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

单位圆与正弦函数 余弦函数的基本性质 单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数的基本性质 锐角的正弦函数与余弦函数 任意角的正弦函数与弦函数 温故知新 学习目标 1. 通过单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质. （重点） 2. 掌握正弦函数、余弦函数的基本性质(定义域、最大(小)值，值域、周期性、单调性).（难点） 3. 掌握正弦函数值域余弦函数值的符号.（重点） 课文精讲 观察图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v) ，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.因此.根据正弦函数v =sinα和余弦函数u=cosα的定义.不难看出它们具有以下基本性质. 导入 课文精讲 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 定义域 最大(小)值、值域 当自变量α∈R时，0≤|sinα| ≤ 1，0 ≤|cosα| ≤1. 当α=2kπ+ ，k∈Z时，正弦函数v=sinα取得最大值1； 当α=2kπ- ，k∈Z时，正弦函数取得最小值-1. 当α=2kπ，k∈Z时，余弦函数u=cosα取得最大值1； 当α=(2k+1) π， k∈Z时，余弦函数取得最小值-1. 课文精讲 因为函数v =sinα，u=cosα均能取到-1和1之间的任意值，所以它们的值域均为[-1，1]. 最大(小)值、值域 课文精讲 根据正弦函数、余弦函数的定义(如图).有 终边相同的角的正弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R； 终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z，cos(α+2kπ)=cosα，α∈R. 周期性 课文精讲 上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v= sinα和余弦函数u=cosα均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π. 周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质. 周期性 课文精讲 单调性 图① 根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图①，当角α由 增加到 时，sinα的值由-1增加到1； 课文精讲 单调性 图② 如图②，当角α由sinα的值由1减小到-1.因此正弦函数在区间[ ， ]上单调递增，在区间[ ， ]上单调递减. 课文精讲 单调性 由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，正弦 函数在区间[2kπ- ， 2kπ+ ]上单调递增，在区间[2kπ+ ， 2kπ+ ]上单调递减. 由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，余弦函数在区间[2kπ-π， 2kπ]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[2kπ， 2kπ+π]上单调递减，其值从1减到-1. 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 根据正弦函数和余弦函数的定义，如图，在平面直角坐标系中，当点P(u，v)在上半平面时，正弦函数(v= sinα)值为正，即点P在第一、第二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值为正； 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 当点P在x轴上时，正弦函数值为零；当点P在平面直角坐标系的下半平面时，正弦函数值为负，即点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负. 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 同理，当点P在平面直角坐标系的右半平面时，余弦函数值为正，即点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正；当点P在y轴上时，余弦函数值为零；当点P在左半平面时，余弦函数值为负，即点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负. 课文精讲 正弦函数值和余弦函数值的符号 x y O (-) (-) (+) (+) sinα x y O (+) (-) (-) (+) cosα 正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号如图所示： 典型例题 例1：借助单位圆，讨论函数v=sinα在给定区间上的单调性. 典型例题 例2：求函数v=cosα在区间 上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值. 已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a，b)，若 ， 则cosα的值为( ) 综合练习 B 综合练习 不等式sinx＜0， 的解集为__________________. 本课小结 单位加圆与正弦函数的基本性质 定义域 最大(小)值，值域 周期性 单调性 正弦函数值和余弦函数值的符号 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性. 2.掌握正弦函数、余弦函数的符号. 通过单位圆中正弦函数、余弦函数的定义探索正弦函数、余弦函数的性质的过程,提高直观想象、数学抽象等核心素养. 探究点一 定义域、值域、周期性 知识点1:定义域、值域、周期性 (1)正弦函数、余弦函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域均是R. (3)正弦函数、余弦函数的周期性 正弦函数、余弦函数均为周期函数,其周期为2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π. [例1] (1)求下列函数的定义域: [例1] (1)求下列函数的定义域: [例1] (1)求下列函数的定义域: 方法总结 在单位圆中,把角α的终边的范围标出,根据正弦函数、余弦函数的定义即可得出其定义域、最值和值域. 探究点二 单调性 知识点2:正弦函数、余弦函数的单调性 [思考] 能否说角α为第一象限角时,正弦函数单调递增? (2)求下列函数的单调区间. ① y=2sin x,x∈[-π,π]; 变式训练2-1:求下列函数的单调性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x的值. 变式训练2-1:求下列函数的单调性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x的值. 方法总结 利用单位圆、正弦函数和余弦函数的定义,即可得出在某个指定的区间上正弦函数、余弦函数的单调区间. 探究点三 正弦函数值和余弦函数值的符号 知识点3:正弦函数值和余弦函数值的符号 (1)当角α的终边在第一象限、y轴正半轴、第二象限时sin α>0;角α的终边在第三象限、y轴负半轴、第四象限时sin α<0. (2)当角α的终边在第四象限、x轴正半轴、第一象限时cos α>0;角α的终边在第二象限、x轴负半轴、第三象限时cos α<0. [例3] (1)设θ是第二象限角,则点P(sin(cos θ),cos(sin θ))在(　) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则(　　) (A)sin α>0 (B)sin α<0 (C)cos α>0 (D)cos α<0 变式训练3-1:“α为第二象限角”是“cos α<0”的(　　) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 方法总结 利用单位圆中正弦函数、余弦函数的定义以及坐标系中各个象限中横坐标、纵坐标的正负情况,即可由角α的终边确定正弦函数值和余弦函数值的符号. $$