精品解析：重庆市永川中学校2024-2025学年高二上学期开学阶段性检测数学试题

永川中学高2023级高二上期数学阶段性检测 一､单选题（共40分，每题5分） 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 2. 在中，，，，则角的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，即，解得， 又，所以，即，所以. 故选：D 3. 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决. 【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，， 容易求得，. 取的中点，连接，易得，则， 所以多面体的体积 . 故选：B 4. 如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接. 因为，所以与所成的角为（或其补角）. 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 5. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 6. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量法求出到的距离的范围后可求面积的范围. 【详解】 由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故， 故选：B. 7. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可. 【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物， 基本事件总数为：种 事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：种 糖、烟、糖、糖： 种 糖、糖、烟、糖：种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为 故选：D 【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用. 8. 已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值. 【详解】如图:令，，则，故. 因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上. 设，连接，因为，所以点在直线上. 因为，所以，即，所以. 结合图形可知，当时，即取得最大值，且. 故选：D 【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题. 二､多选题（每题6分） 9. 对于四面体，以下命题中正确的命题是 A. 若，则，，与底面所成的角相等 B. 若，，则点在底面内的射影是的内心 C. 四面体的四个面中最多有四个直角三角形 D. 若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对于A，根据线面角的定义即可判断； 对于B，根据三垂线定理的逆定理可知，是的垂心； 对于C，在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数； 对于D，作出正四面体的图形，球的球心位置，说明是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积． 【详解】解： A项：因为，设点在平面内的射影是，因为，，，所以， 则，，与底面所成的角相等；故A正确； B项：设点在平面内的射影是，则是在平面内的射影，因为，根据三垂线定理的逆定理可知： 同理可证，所以是的垂心，故B不正确； C项：如图： 直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故C正确 D项：如图， 为正四面体的内切球的球心，正四面体的棱长为1； 所以为内切球的半径，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以球的表面积为：，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】结合平面几何知识考查空间中线面角的求法、三角形内心垂心的判断、立体图形中直角三角形个数以及内切球的表面积求法；是中档题. 10. 已知的外接圆半径，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的周长的最小值为 D. 的面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理，求出范围，从而求出的范围，结合余弦定理，三角形面积公式,即可求解. 【详解】在中，设角所对的边分别记作， ∴,∴,又的外接圆半径，由正弦定理得：,∴,又∵B、C不会同为钝角，故,又∵,∴,故B选项对. 由上得:，由余弦定理得：， ∴，∴∴的最小值为，故A选项对，C选项错. 由上得：，又,的面积的最大值为,故D选项对， 故选：ABD. 【点睛】本题综合考查了正、余弦定理及三角形面积公式，属于中档题. 11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断. 【详解】对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确； 对于B，设正的边边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，所以B错误； 对于C，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，若，，且为单位向量， 则当时，， 此时，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题（每题5分） 12. 设全集，，，若 ，则复数 在复平面内对应的点形成图形的面积为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 【详解】设. 由，可知，即，即. 因为，所以， 由可得，解得. 即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部， 集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧（不含直线）， 集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示. 所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 弓形的面积为扇形的面积减去的面积， 易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为. 13. 从一堆产品正品与次品都多于2件中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法： “恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件 “至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件 “至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件 “至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件 其中正确的有______填序号． 【答案】 【解析】 【分析】运用不能同时发生的两个事件为互斥事件，如果两个事件为互斥事件，且其中必有一个发生，即为对立事件，对选项一一判断，即可得到正确结论． 【详解】“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同时发生，是互斥事件，故正确； “至少有1件正品”和“全是次品”，不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，故正确； “至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品， 不是互斥事件但不是对立事件，故不正确； “至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，正确． 故答案为． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是互斥事件和对立事件的判断，考查判断和分析能力，属于基础题． 14. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为__________（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角､二面角中最小的角的余弦值为__________ 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】将折叠后的四面体置于长方体中，求得长方体的长宽高，进而求得四面体的体积，利用体积，表面积，内切球的半径的关系求得内切球的半径，利用等体积法求得四面体的各面上的高，从而得到各棱与相应面所成的角的余弦值，在长方体中不难求得四面体的对棱所成角的余弦值，然后比较得到答案. 【详解】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中.设长方体的长宽高分别为. ，解得， 所以四面体的体积为， 四面体的表面积为，内切球半径， 则， 设，取的中点，连接，则 ，，， 故长为6的两组对棱所成的角的余弦值都是，长为4的两组对棱所成的角为直角； 由于四面体各个面的面积都是，所以各个面上的高都是相等的，设为， 则， 当棱的长选取最长为6时，该棱与相应各面所成的角最小， 其正弦值为，余弦值为， 各异面直线所成的角，线面所成的角中最小的角的余弦值是， 故答案为：，. 四､解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 如图，在正三棱柱中，．点D，E，F分别为，，的中点，连接BD，FE，CE，CF，BE． （1）试问：线段BE上是否存在一点G，使得？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由． （2）求直线BD与平面CEF所成角的正弦值． 【答案】（1）线段BE上存在一点G，且当时，； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，利用线面垂直的判定定理证得平面AHG，进而利用线面垂直的性质可得，从而根据条件求解可得即可；方法二，根据题意建立空间直角坐标系，再利用向量垂直的坐标表示求出参数即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，求出平面CEF的法向量，然后利用公式即可得解. 【小问1详解】 方法一： 如图，取BC的中点H，过点H作于点G，连接AH，则． 在正三棱柱中，平面平面， 又平面平面，，平面ABC， 所以平面，即平面BCE． 因为平面BCE，所以． 因为，AH，平面AHG，， 所以平面AHG，因为平面AHG，所以． 在中，设，则． 易得， 所以，所以． 所以线段BE上存在一点G，且当时，． 方法二： 取AC的中点O，连接OB，OF．由题意可得OB，OC，OC两两垂直． 如图，以点O为坐标原点，直线OB，OC，OC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设，则，，，， 所以，． 设． 由，知，即，所以， 所以，解得． 所以线段BE上存在一点G，且当时，． 【小问2详解】 取AC的中点O，连接OB，OF.由题意可得OB，OC，OF两两垂直， 如图，以点O为坐标原点，直线OB，OC，OF分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设，则，，，，，， 所以，，． 设平面CEF的法向量为． 由，得， 令，得，，则． 设直线BD与平面CEF所成的角为θ， 则． 所以直线BD与平面CEF所成角的正弦值为． 17. 某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人在该停车场停车.两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时． （1）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； （2）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； （3）甲、乙停车不超过半小时的概率分别为，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，求甲、乙两人临时停车的费用不相同的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据甲停车的时间可能，结合停车费用求解即可； （2）根据已知条件及列举法写出基本事件，结合古典概型的计算公式即可求解； （3）根据互斥事件及相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同均为，且三段时间费用分别为0，3，6元. 故甲停车的费用不超过3元的概率为. 【小问2详解】 设甲停车付费元，乙停车付费元，其中. 所以甲､乙两人停车付费的所有可能情况为：，共9种，且概率相等. 其中事件“甲､乙两人停车付费之和为9元”包含，共2种情况， 故甲､乙两人停车付费之和为9元的概率为. 【小问3详解】 设甲停车的时长不超过半小时､乙停车的时长不超过半小时分别为事件，， 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时､乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，， 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时､乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，， 则，， 所以甲､乙两人临时停车付费相同的概率为. 所以甲､乙两人临时停车付费不相同的概率为. 18. 在空间几何体中，平面，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）若平面，试比较三棱锥与的体积的大小，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，取中点，连，由得， 平面平面，又∵平面平面平面, 平面，又平面，， 又平面，平面, 平面． （2），理由如下： 连接，∵,∴． 平面平面，面面，平面 平面． 又平面，． 又，∴四边形是矩形， ，． ， 而，则． 【解析】 【分析】（1）取中点，连，得，利用面面垂直的性质定理得到，平面，结合已知条件得到，然后由线面平行的判定定理证得结论； （2）可证四边形是矩形，进而利用体积公式计算证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． （1）求证：底面； （2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2023级高二上期数学阶段性检测 一､单选题（共40分，每题5分） 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 在中，，，，则角的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二､多选题（每题6分） 9. 对于四面体，以下命题中正确的命题是 A. 若，则，，与底面所成的角相等 B. 若，，则点在底面内的射影是的内心 C. 四面体的四个面中最多有四个直角三角形 D. 若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为 10. 已知的外接圆半径，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的周长的最小值为 D. 的面积的最大值为 11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 三､填空题（每题5分） 12. 设全集，，，若 ，则复数 在复平面内对应的点形成图形的面积为 ______. 13. 从一堆产品正品与次品都多于2件中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列说法： “恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件 “至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件 “至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是对立事件 “至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件 其中正确的有______填序号． 14. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为__________（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角､二面角中最小的角的余弦值为__________ 四､解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 如图，在正三棱柱中，．点D，E，F分别为，，的中点，连接BD，FE，CE，CF，BE． （1）试问：线段BE上是否存在一点G，使得？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由． （2）求直线BD与平面CEF所成角的正弦值． 17. 某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人在该停车场停车.两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时． （1）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过3元的概率； （2）若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为9元的概率； （3）甲、乙停车不超过半小时的概率分别为，，停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，求甲、乙两人临时停车的费用不相同的概率． 18. 在空间几何体中，平面，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）若平面，试比较三棱锥与的体积的大小，并说明理由． 19. 在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． （1）求证：底面； （2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $