专题01 勾股定理常考类型分类训练 （两个板块15种类型150道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版）

专题01 勾股定理常考类型分类训练 （两个板块15种类型150道） 目录 【题型1 折叠问题】 1 【题型2 最值问题】 9 【题型3 勾股定理综合题】 19 【题型4 阴影部分面积】 30 【题型5 勾股定理与网格】 40 【题型6 梯子滑落】 46 【题型7 测量电杆高度】 53 【题型8 小鸟飞行】 60 【题型9 大树折断问题】 68 【题型10 杯中筷子问题】 74 【题型11 楼梯铺地毯】 81 【题型12最短路径问题】 87 【题型13 海上航行】 96 【题型14 汽车超速问题】 106 【题型15 选址问题】 113 【题型1 折叠问题】 1．如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解： 中，， 为斜边，， 由折叠知， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故选B． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 故选：A． 3．如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 4．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 5．如图，在纸片中，，，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，则，平分，再根据三角形周长公式可得的周长，根据直角三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在纸片中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，平分， ∴的周长， 故①②④正确； 由对折可得：， ∴， ∴，故③错误； ∴正确的只有①②④， 故选：C． 6．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 7．如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 8．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 9．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 10．如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，折叠的性质求出，，，然后等面积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：B． 【题型2 最值问题】 11．如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．8.8 C．9.8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查最短路线问题，勾股定理，确定出P点的位置是解题的关键． 首先根据题意得到当时，最小，过点B作，交于P，设，则，利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在中，利用勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵有一点P在上移动， ∴ ∴当长度最小时，的值最小 ∴过点B作，交于P， ∴此时长度最小，的值最小 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴ 解得， 在中，， ∴． 故选：C． 12．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，，勾股定理，作点M关于对称的点，使得，连接，可得点在上，，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点M关于对称的点，使得，连接， ∵平分， ∴点在上，， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值是， 故选：D． 13．如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，构造，使得，，当且仅当点A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，再利用面积计算求值即可． 【详解】如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴当的值最小时，最小值为． 故选：C． 14．如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．当落在上，点B与E重合时，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质得到结论． 【详解】解：当落在上，点B与E重合时，长度的值最小， ∵，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故选：B． 15．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 如图所示，在上截取，连接，     ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ， 即的最小值为． 故选：A． 16．如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，三角形面积，先根据勾股定理求出的长，再根据垂线段最短得出当时，最短，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：，，， 由勾股定理得，， 当时，最短，如图， ， ， 解得， 故选：． 17．如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式．过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 18．如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当落在上，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质知，，于是得到结论． 【详解】解：当落在上，长度的值最小， ∵，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 19．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【答案】A 【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度 【详解】解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 D=AD=5， 在Rt△CD中，D2=C2+CD2， 即52=（5-B）2+32， 解得B=1，. 当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3， 则点A'B最小值和最大值分别为1和3 故选：A 【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小． ∵DC＝2，BD＝6， ∴BC＝8， 连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°， ∴∠CBC′＝90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°， ∴BC＝BC′＝8， 根据勾股定理可得DC′＝． 故选：B． 【题型3 勾股定理综合题】 21．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论为①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 22．如图，在长方形中，，，点E，F分别在，上，沿将此长方形折叠，使点B与点D重合．下列结论中正确的有（    ） ①；②的面积为30；③的面积为18． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理等知识， ①由折叠得到，然后由勾股定理即可判断①；首先由折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式即可判断②；由折叠得，然后在中，利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式即可判断③． 【详解】∵长方形中 ∴ ∴ ∵沿将此长方形折叠，使点B与点D重合 ∴ ∴，故①正确； ∵在长方形中， ∴，， 由折叠可得，， ∴，即 解得， ∴的面积，故②正确； 由折叠得， ∴在中， ∴ 解得 ∴的面积，故③错误； 综上所述，结论中正确的有2个． 故选：C． 23．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用表示直角三角形的两直角边，则下列说法：①，②，③，④．中正确的个数有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据大正方形的面积及勾股定理可得，即可判断①；根据小正方形的面积为1可得，即可判断②；根据大正方形的面积4个直角三角形的面积小正方形的面积，进行计算即可判断③；根据，进行计算即可判断④，从而得到答案． 【详解】解：大正方形面积为25， ，故①正确，符合题意； 小正方形的面积为1， ，故②正确，符合题意； 大正方形的面积4个直角三角形的面积小正方形的面积， ， 解得：，故③正确，符合题意； ， 或（不符合题意，舍去），故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形及三角形的知识、勾股定理、运用完全平方公式进行计算，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 24．如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，则，平分，再根据三角形周长公式可得的周长，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：∵在纸片中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，平分， ∴的周长， 故①②④正确； 根据现有条件无法证明， ∴正确的只有①②④， 故选：C． 25．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：① ；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积逐项分析判断即可求解． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 26．如图，在矩形中，，为上一点且，为的中点下列结论：；平分；；其中结论正确的个数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于，由于是直角斜边上的中线，欲证，只需证明即可； 对于，在直角中，由于，，得出，然后分别算出与的度数即可； 对于，由于，，从而进行判断； 对于，如果设，则可用含的代数式表示、、的长度，然后在直角中运用勾股定理算出的值，再算出的值，比较即可． 【详解】解：在直角中，，为的中点， . ，， ，正确； 在直角中，，， ． ， ，． 在中，，， ， ， 平分，正确； ，， ，错误； 在矩形中，设，则，， ． 在直角中，，，错误． 所以正确的有2个. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形、矩形的性质以及多边形的面积，勾股定理．综合性较强，有一定难度． 27．如图点E在的边DB上，点A在内部，，，．结出下列结论：①；②；③；④．其中不正确的结论有（    ）个    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】证明，根据全等三角形的性质即可判断①②③，根据全等三角形的性质结合勾股定理即可判断④． 【详解】， ， ， ， ，①正确； ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，②正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ，④正确， 不正确的有0个． 故选：D． 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形判定定理是解题的关键． 28．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积可得出①②⑤正确． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； ，， 四边形的面积是； 故③错误； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故④错误，故⑤正确 故①②⑤共3个正确，③④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 29．如图，在中，，平分，于E，则下列结论： ①平分；②； ③平分；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先运用角平分线性质得到，证明，得到，再运用勾股定理判断即可； 【详解】解： ，AD平分，于E， 又， , 平分， ， ，又， , , 正确的有①②④， 故选择：B 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和勾股定理，证明是解题的关键． 30．40．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【题型4 阴影部分面积】 31.如图，在中，，以和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为19，则图中阴影部分的面积（   ） A．27 B．28 C．33 D．34 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的相关知识，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到, 推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和，结合即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， 即 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积和=三个正方形面积十三角形面积倍空白部分面积 故选：A． 32．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 33．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ） A．64 B．18 C．36 D．100 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得，，由此可得阴影部分的面积． 本题主要考查了勾股定理：直角三角形当中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 如图，由勾股定理可得， 又， ， 即， 故选：C． 34．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（       ）． A．169 B．25 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 在中，先根据勾股定理求出的长，然后用大正方形的面积减去4个小三角形的面积即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， 则阴影部分的面积是， 故选：C． 35．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（    ）    A．119 B．129 C．139 D．149 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案． 【详解】∵在中，，，， 由勾股定理得：， ∴正方形的面积是， ∵的面积是， ∴阴影部分的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力． 36．如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（    ） A．18 B．24 C．25 D．36 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】解：过F作于D，连接，    ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 由可得：， ∴， ∵，即，且，， ∴，又， 又， ∴四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 37．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为（　　）    A．11 B．16 C．17 D．23 【答案】D 【分析】根据勾股定理的几何意义：，，从而可得答案． 【详解】解：如图，    由勾股定理可得：，， ∵正方形A、B、C的面积依次为6、10、7， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 38．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（    ）．    A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ， ∵正方形的面积为， ∴即， ∴， ∴阴影部分的面积之和为16． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解． 39．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据勾股定理的几何意义：，，解得即可． 【详解】解：由题意：，， ∵正方形A、B、C的面积依次为4、8、6， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 40．如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，证得，同理可得，，，同理可以证明是全等的直角三角形，它们的面积相等，证明四边形是平行四边形，则，则，令正方形的边长是a，，得到正方形的面积是，的面积是，由得到，则阴影的面积＝，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， 同理可以证明是全等的直角三角形，它们的面积相等， ∵，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 令正方形的边长是a，，则， ∴正方形的面积是，的面积是， ∵， ∴， ∵阴影的面积＝， ∴阴影部分的面积与正方形的面积的比是． 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【题型5 勾股定理与网格】 41．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再根据割补法求出的面积，由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ∵， ∴的面积， ∴， 故选：A． 42．如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设中边上的高是，利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，利用的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设中边上的高是， 小方格都是边长为2的正方形， ， ， ， ， 故选：C． 43．如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 先根据勾股定理用表示出，用表示出，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵与是直角三角形，， ， ． 故选：D． 44．如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理分别求出每条线段的长度即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，， 故选：． 45．如图，在中，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求解出每条边的长度比较即可． 【详解】解：设正方形网格的边长为1，利用勾股定理得： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理求边长． 46．如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（  ） A．2.5 B．2.6 C．1.7 D．1.6 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而利用等面积法即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：BC＝， ∵S△ABC＝4×4−×1×3−×3×4−×1×4＝6.5， ∴BC边上的高＝＝2.6， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据勾股定理得出BC的长解答． 47．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面积法求出BD即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵BD⊥AC， ∴△ABC的面积=， ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及等面积法的应用是解题的关键． 48．如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 【答案】C 【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得，，，，， ∴， ∴最短的线段是AE． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 49．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明是直角三角形，求出其面积，再拆成以为底边的两个三角形，根据面积来求． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ， ， 解得：， 故选：C． 50．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形面积公式求中AC边上的高即可． 【详解】解：作于D，如图所示， ∵小正方形的边长都为1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【题型6 梯子滑落】 51．一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，设它的底部滑行了，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 设它的底部滑行了，则有， ∴， 解得：； 故选D． 52．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，那么小巷的宽度为（    ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 53．如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，设，然后可得，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则有，， ∴，即， 解得：（负根舍去）， ∴梯子的底端外移； 故选A． 54．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 55．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求． 【详解】解：如图， 已知， 设， 则， 则在中，， 在中，， 联立方程组解得：， 故选：B． 56．如图，一个长为的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙，若梯子的顶端下滑至点处，则梯子的底端滑动的距离为（    ） A．4m B．6m C．8m D．15m 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离． 【详解】解；下滑前梯子顶端距离墙角的距离为， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为， ． 故选：C． 57．如图，一架米长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足与墙底端距离米．如果梯子的顶端沿墙下滑米至点处，那么梯足将向外滑动（    ）至点处． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，注意两次中梯子的长度不变，运用两次勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中， 米，米， 根据勾股定理：米， 在中， m，米， 米， 米， 故选：D． 58．如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这是梯子下端B与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上．现在测得长为米，求梯子顶端A下落了（　　） A．米 B．米 C．米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，理解题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 在中，， 在中，， ． 故选A． 59．如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】解：在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：B． 60．如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设梯子的长度为，则墙高为，由勾股定理可得，求解即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设梯子的长度为，则墙高为， 由勾股定理可得：， 解得：， 梯子的长度为， 故选：A． 【题型7 测量电杆高度】 61．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直得，由题意得、，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：由题意得，、，， 故地面电缆固定点到电杆底部的距离为：． 答：地面电缆固定点到电线杆底部的距离为． 故选：A. 62．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴（米）， 故选：B． 63．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为尺，则， 根据题意得：， 故选：D． 64．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 65．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，设旗杆的高度为，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，标注各点，过点作于点， ，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ， 解得：， 故选：A 66．如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 67．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图） ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． 根据以上信息，则旗杆的高度为（    ）    A．10米 B．13米 C．15米 D．17米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，然后表示出，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为13米， 故选B． 68．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（    )．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，设旗杆的长度为，则绳子的长度为：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为． 故选：B．    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 69．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端米处，发现此时绳子底端距离打结处约米，则可算出旗杆的高度是米．( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设旗杆的高度为米，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设旗杆的高度为米，依题意得： ， 解得：； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键． 70．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（    ） A．12 B．13 C．15 D．24 【答案】A 【分析】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答． 【详解】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m， 在中，， ， 解得：， 故选：A． 【题型8 小鸟飞行】 71．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） 8 A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高14米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选：B． 72．如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离米， 故选：B． 73．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（    ） A．10米 B．9米 C．8米 D．7米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高8米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选A． 74．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 75．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是， 故选：A． 76．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 77．如图有两棵树，一棵高14，一堁高2，两树之间相距5，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米？ A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树，过点C作于E，由平行线间间距相等得到，，进而求出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设树， 过点C作于E， 由题意得，， ∴， ∴（平行线间间距相等）， 同理得， ∴， ∴， ∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米． 故选C 78．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，画出图形，连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，可得CE=BD=8m，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E， 根据题意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，AB⊥BD，CD⊥BD， 则四边形BDCE是矩形， ∴CE=BD=8m， 在中，由勾股定理得： ， 即小鸟至少飞行10m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 79．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC， 由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m， 故小鸟至少飞行10m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 80．在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行(   )    A．12米 B．13米 C．9米 D．17米 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，    ∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m， 在Rt△AEC中，． 故小鸟至少飞行13m． 故选：B. 【题型9 大树折断问题】 81．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意画出符合题意的图形，然后根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， 由勾股定理得：， ∴这棵树折断之前的高度为， 故选：． 82．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理结合题意，列出方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 结合勾股定理可得出：， 解得：． ∴折断处离地面的高度为4.55尺． 故选：A． 83．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（    ） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米 ∴， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点B离地面的高度的值为3米， 故选：D． 84．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∴， 故选：B 85．如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（    ）米 A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由题意可知，，，进而根据勾股定理列式求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即树断裂处A离地面的距离的长为5米， 故选：B 86．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用． 根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ， ∴这棵树在折断之前的高度． 故选：A． 87．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴树折断之前高， 故选：B． 88．我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：一根竹子原本高12尺，从处折断，竹梢触地处离竹根的距离尺，试问折断处与地面的距离（    ）尺． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：由题意知，尺，尺， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得． 故选：B． 89．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（    ） A．4米 B．5米 C．7米 D．8米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可．解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 【详解】解：根据题意得：米，米，， 由勾股定理得， 米， 所以树高为米． 故选：D． 90．如图，一棵树（树干与地面垂直）高米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（       ）    A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米 【答案】D 【分析】设这棵树断裂处点B离地面的高度的值为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设这棵树断裂处点B离地面的高度的值为x，则、， ∵是直角三角形， ∴，即，解得：，即． 故选：D． 【题型10 杯中筷子问题】 91．如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键；根据杯子内吸管的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：当吸管与杯底垂直时x最大， ； 当吸管与杯底及杯高构成直角三角形时x最小， ∴ 故答案为：． 92．刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，是一把长为的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当牙刷与杯底垂直时最大，最大． 当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示： 此时，， 故． 故的取值范围是． 故答案为：． 93．如图，一支的铅笔放在圆柱体笔筒中（铅笔的粗细不计，笔筒内部底面直径为，内壁高，那么这支铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，当铅笔贴着内壁并垂直于底面放置时，最大，为；当铅笔倾斜放置并与内壁相交时，如图1，，，，此时最小，由勾股定理可求，则，进而可得的范围． 【详解】解：由题意知，当铅笔贴着内壁并垂直于底面放置时，最大，为； 当铅笔倾斜放置并与内壁相交时，如图1，，，，此时最小， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 94．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，求出牙刷在水杯内的长度是解题关键．利用勾股定理，得出牙刷在水杯内的长度为，再根据牙刷长度牙刷在水杯内的长度牙刷露在杯子外面的长度，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，牙刷在水杯内的长度为， 牙刷的长为， ， 即牙刷露在杯子外面的长度是， 故答案为：5． 95．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，构造出直角三角形即可求解． 【详解】解：筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形．如下： ∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即， ∴筷子露在杯子外面的最短长度是． 故答案为:5. 96．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示： 此时， ， 故． 故的最小值是． 故答案为：． 97．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【答案】2 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出． 【详解】解：如图所示，杯子内的筷子长，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴圆柱形水杯内的筷子的最大线段的长度为， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为， 故答案为：2． 98．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围． 【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即， h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度， 由勾股定理得，杯子的斜边长度，即， h的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键． 99．如图，将一根20cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm． 【答案】7 【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【详解】解：如图，由题意知：盒子底面对角线长为 ， 盒子的对角线长： ， ∵细木棒长， ∴细木棒露在盒外面的最短长度是：， 所以细木棒露在外面的最短长度是． 故答案为：7． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，在实际问题中构建直角三角形利用勾股定理解决问题的思想是解题的关键． 100．如图所示，一根长为的吸管放在一个圆柱形的水杯中，测得水杯内部的底面直径为，高为，则吸管露出在水杯外面的最短长度为 ． 【答案】4 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可构造直角三角形用勾股定理解答． 【详解】解：设在杯里部分长为， 则有：， 解得：，（负根舍去） 所以露在外面最短的长度为， 故吸管露出杯口外的最短长度是， 故答案为：4． 【题型11 楼梯铺地毯】 101．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 102．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得 米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 103．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据勾股定理求出另一直角边为，即可作答． 【详解】解：根据勾股定理，另一直角边（米）， ∴（米）， 则需要7米的地毯 故答案为：7 104．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】2100 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 105．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．    【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽和积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 铺完这个楼道至少需要（元）． 故填：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 106．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】612 【分析】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案． 【详解】如图，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m， ∴BC==12m， ∴（元）． 故填：612. 【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积． 107．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米100元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱； 【答案】3400 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积． 【详解】由勾股定理， AC==12（m）． 则地毯总长为12+5=17（m）， 则地毯的总面积为17×2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×100=3400（元）． 故答案为3400． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 108．某楼梯的侧面图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 米．    【答案】(2＋2) 【分析】求地毯的长度实际是求AC与BC的长度和，利用勾股定理及相应的三角函数求得相应的线段长即可． 【详解】解：根据题意，Rt△ABC中，∠BAC=30°． ∴BC=AB÷2=4÷2=2，AC==2， ∴AC+BC=2+2， 即地毯的长度应为（2+2）米． 故答案为2+2. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是求地毯的长度其实就是根据已知条件解相关的直角三角形． 109．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯 米. 【答案】（2+2） 【详解】∵AC=4，∠A=30°， ∴BC=2， ∴AB=2， 所以需地毯（2+2）米. 故答案为（2+2）. 点睛：给楼梯铺地毯，不仅水平方向要铺，竖直方向也要铺. 110．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米． 【答案】14 【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题． 【详解】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和， 由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米， 由勾股定理得BC==8（米）， 则AC+BC=14（米）， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键． 【题型12最短路径问题】 111．如图，长方体的长为3，宽为2，高为5，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到A点斜对角的B点处吃食物，那么它爬行最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和3， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的右面与前面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和5， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的上面和左面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是8和2， 所以走的最短线段是； ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 112．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为、、，在中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：①如图1，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， 此时； ②如图2，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴； 如图3， 在中，，， 由勾股定理得：； ， 从处爬到处的最短路程是， 故答案为：． 113．如图，圆柱底面圆的周长为，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．把立体图形展开成平面图形，依题意，从到缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 无弹性的丝带从至，绕了1.5圈， 展开后，， 由勾股定理得： 故答案为：． 114．如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面展开—最短路径问题，涉及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据几何体画展开图，构建直角，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将组合体展开，如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 115．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离是（杯壁厚度不计） ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 在直角中， 由勾股定理得， 则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为： 116．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 117．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图（见解析），把圆柱体展开，连接，然后可知，，进而可由两点之间线段最短可得即为所求，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，展开得： 连接， 圆柱的高为，底面圆的周长为， ，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为， 故答案为：． 118．如图，一个直三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，在三棱柱的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈彩带，则这圈彩带的长度至少为 cm． 【答案】15 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图， ，，， ∴， 故答案为：15． 119．如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 把圆柱的侧面展开，作点关于的对称点，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作点关于的对称点， 如图所示， 则蜘蛛所走的最短路线长度为． 故答案为：20． 120．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； 如图，把上面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； 如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径， 则； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 【题型13 海上航行】 121．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 122．如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    【答案】乙船航行的方向是南偏东 【分析】本题考查了方位角问题，勾股定理的逆定理；分别求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解； 理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ， ， 甲船航行的距离∶ （）， 乙船航行的距离∶ （）， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 故乙船航行的方向是南偏东． 123．如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握． （1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离； （2）证明，根据即可求解． 【详解】（1）如图，由题意可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 答：A，C两岛之间的距离是； （2）又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C岛在A岛北偏西的方向上． 124．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 125．如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】(1)；； (2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 126．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为3小时 (2)岛在港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． （1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【详解】（1）由题意， 中，，得． ． ． ． （小时）． 答：从岛返回港所需的时间为3小时． （2） ， ． ． ． 岛在港的北偏西． 127．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方向角，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：(海里)，(海里)，海里， ， ， “惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ， ∴． “中山”号沿北偏西（或西北）方向航行． 128．甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    【答案】甲、乙两船之间的距离为海里． 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，， ∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东， ∴， ∴， ∴， ∴甲、乙两船之间的距离为海里． 129．如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    【答案】此时轮船离A地60海里 【分析】本题考查勾股定理的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握勾股定理的含义是解决问题的关键．先求解，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示：    由题意可知：， （海里），（海里）， （海里）． 答：此时轮船离A地60海里． 130．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    【答案】3h 【详解】解：由题意，得，，，． 在中，，即， ∴，∴． 在中，，即． ． 故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． 【题型14 汽车超速问题】 131．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 132．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 133．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车超速了．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车超速了． 134．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 135．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 136．某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】超速了，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案． 【详解】解：由题意知，米，米，且在中，是斜边， ∴，即 ∴米千米， 且2秒时，所以速度为千米/时， ∵， ∴该小汽车超速了． 137．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为 ， ∴此车超过的限制速度． 138．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 139．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 【答案】(1)； (2)超速了． 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）求出大巴车的速度即可判断求解； 本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴， ∴的长为； （2）解：， ∵， ∴大巴车超速了． 140．如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有超速，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据B，C间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速40比较大小即可． 【详解】（1）在中， ，，且为斜边， ， 答：，间的距离为； （2）这辆小汽车没有超速． 理由： ，平均速度为：，， ， 这辆小汽车没有超速． 【题型15 选址问题】 141．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 142．如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距离点，10千米处 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又∵， ， ， 答：站应建在距离点，10千米处． 143．如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 144．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 145．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 146．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知 ， ，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】(1) (2)图见解析，25 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设 ，则 ，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：（1）设 ，则 ， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点 处； （2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则 ． 故答案为：25． 147．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 148．如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距点 千米处． 【分析】设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又，， ， ， 答：站应建在距点 千米处． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据利用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 149．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A点15km处 【分析】设，则，根据勾股定理求得和，再根据列式计算即可； 【详解】设，则， 由勾股定理得：在中， ， 在中， ， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，E应建在距A点15km处． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 150．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 【答案】CE＝13.3km． 【分析】设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果． 【详解】解：设CE＝x km，则DE＝(20﹣x)km． 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2， 由题意可知：AE＝BE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3， 所以CE＝13.3km． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理常考类型分类训练 （两个板块15种类型150道） 目录 【题型1 折叠问题】 1 【题型2 最值问题】 4 【题型3 勾股定理综合题】 7 【题型4 阴影部分面积】 9 【题型5 勾股定理与网格】 12 【题型6 梯子滑落】 15 【题型7 测量电杆高度】 18 【题型8 小鸟飞行】 22 【题型9 大树折断问题】 25 【题型10 杯中筷子问题】 27 【题型11 楼梯铺地毯】 30 【题型12最短路径问题】 32 【题型13 海上航行】 34 【题型14 汽车超速问题】 38 【题型15 选址问题】 41 【题型1 折叠问题】 1．如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 4．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在纸片中，，，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 8．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【题型2 最值问题】 11．如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．8.8 C．9.8 D．10 12．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 14．如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 15．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 16．如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．6 17．如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 18．如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【题型3 勾股定理综合题】 21．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，在长方形中，，，点E，F分别在，上，沿将此长方形折叠，使点B与点D重合．下列结论中正确的有（    ） ①；②的面积为30；③的面积为18． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用表示直角三角形的两直角边，则下列说法：①，②，③，④．中正确的个数有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：① ；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 26．如图，在矩形中，，为上一点且，为的中点下列结论：；平分；；其中结论正确的个数是（     ）    A． B． C． D． 27．如图点E在的边DB上，点A在内部，，，．结出下列结论：①；②；③；④．其中不正确的结论有（    ）个    A．3 B．2 C．1 D．0 28．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 29．如图，在中，，平分，于E，则下列结论： ①平分；②； ③平分；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 30．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【题型4 阴影部分面积】 31．如图，在中，，以和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为19，则图中阴影部分的面积（   ） A．27 B．28 C．33 D．34 32．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 33．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ） A．64 B．18 C．36 D．100 34．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（       ）． A．169 B．25 C．49 D．64 35．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（    ）    A．119 B．129 C．139 D．149 36．如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（    ） A．18 B．24 C．25 D．36 37．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为（　　）    A．11 B．16 C．17 D．23 38．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（    ）．    A．8 B．12 C．16 D．20 39．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 40．如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【题型5 勾股定理与网格】 41．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 42．如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 43．如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 44．如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（    ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 46．如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（  ） A．2.5 B．2.6 C．1.7 D．1.6 47．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 48．如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 49．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ） A．2 B．3 C． D． 50．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【题型6 梯子滑落】 51．一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 52．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，那么小巷的宽度为（    ） A．2米 B．米 C．米 D．米 53．如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 54．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 55．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 56．如图，一个长为的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙，若梯子的顶端下滑至点处，则梯子的底端滑动的距离为（    ） A．4m B．6m C．8m D．15m 57．如图，一架米长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足与墙底端距离米．如果梯子的顶端沿墙下滑米至点处，那么梯足将向外滑动（    ）至点处． A．米 B．米 C．米 D．米 58．如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这是梯子下端B与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上．现在测得长为米，求梯子顶端A下落了（　　） A．米 B．米 C．米 D．1米 59．如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A．7米 B．9米 C．10米 D．13米 60．如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【题型7 测量电杆高度】 61．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 62．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 63．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 64．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 65．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 66．如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 67．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图） ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． 根据以上信息，则旗杆的高度为（    ）    A．10米 B．13米 C．15米 D．17米 68．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了，拉直绳子，使绳子底端恰好碰到地面，此时绳子底端离旗杆底端，则旗杆的高度是（    )．    A． B． C． D． 69．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端米处，发现此时绳子底端距离打结处约米，则可算出旗杆的高度是米．( ) A． B． C． D． 70．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（    ） A．12 B．13 C．15 D．24 【题型8 小鸟飞行】 71．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） 8 A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 72．如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 73．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（    ） A．10米 B．9米 C．8米 D．7米 74．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 75．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 76．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 77．如图有两棵树，一棵高14，一堁高2，两树之间相距5，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米？ A．11 B．12 C．13 D．14 78．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（    ） A． B． C． D． 79．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 80．在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行(   )    A．12米 B．13米 C．9米 D．17米 【题型9 大树折断问题】 81．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 82．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 83．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（    ） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 84．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 85．如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（    ）米 A．3 B．5 C．7 D．9 86．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 87．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（　　） A． B． C． D． 88．我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：一根竹子原本高12尺，从处折断，竹梢触地处离竹根的距离尺，试问折断处与地面的距离（    ）尺． A． B． C．4 D． 89．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（    ） A．4米 B．5米 C．7米 D．8米 90．如图，一棵树（树干与地面垂直）高米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（       ）    A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米 【题型10 杯中筷子问题】 91．如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是 ． 92．刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，是一把长为的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 93．如图，一支的铅笔放在圆柱体笔筒中（铅笔的粗细不计，笔筒内部底面直径为，内壁高，那么这支铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 94．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是 ． 95．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 96．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ． 97．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 98．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是 ． 99．如图，将一根20cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm． 100．如图所示，一根长为的吸管放在一个圆柱形的水杯中，测得水杯内部的底面直径为，高为，则吸管露出在水杯外面的最短长度为 ． 【题型11 楼梯铺地毯】 101．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 102．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 103．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    104．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 105．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．    106．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 107．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米100元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱； 108．某楼梯的侧面图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 米．    109．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯 米. 110．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米． 【题型12最短路径问题】 111．如图，长方体的长为3，宽为2，高为5，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到A点斜对角的B点处吃食物，那么它爬行最短路程是 ． 112．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为、、，在中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 ． 113．如图，圆柱底面圆的周长为，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 ． 114．如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是 ． 115．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离是（杯壁厚度不计） ． 116．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 117．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为 ． 118．如图，一个直三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，在三棱柱的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈彩带，则这圈彩带的长度至少为 cm． 119．如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 120．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是 ． 【题型13 海上航行】 121．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 122．如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    123．如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 124．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 125．如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 126．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 127．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 128．甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    129．如图，一艘轮船以20海里/小时的速度从A地向南偏西方向航行4小时到达B地后，又从B地以20海里/小时的速度航行5小时到达C地，这时轮船正好在A地北偏西方向，求此时轮船离A地多远？    130．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    【题型14 汽车超速问题】 131．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 132．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 133．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 134．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 135．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 136．某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 137．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 138．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 139．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 140．如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【题型15 选址问题】 141．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 142．如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 143．如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 144．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 145．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 146．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知 ， ，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 147．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 148．如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 149．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 150．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$