2024-2025学年北师大版（2012）八年级数学上册常见六种典型题期末复习

八年级上册常见六种典型题 一、网格构图问题 1.阅读下列材料： 小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点即三个顶点都在小正方形的顶点处，从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： 图是一个的正方形网格每个小正方形的边长为． 1 利用构图法在图中画出三边长分别为、、的格 点；计算中的面积为______；直接写出答案 如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接． 判断与面积之间的关系，并说明理由． 若，，，直接写出六边形的面积为______ 2.我们知道的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边，从构造几何图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决．你能尝试着用“构图法”解决以下问题吗？ 有一个三角形的三边长分别为 ，  ， ，求此三角形的面积；   已知，均为正数，且，求 的最小值． 二、手拉手等角模型 3.和都是等腰直角三角形，． 如图，点，在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？直接写出答案 如图，点在内部，点在外部，连结，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 如图，点，都在外部，连结，，，，与相交于点．若，，设，，求与之间的函数关系式． 4.问题发现与探究： 如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，于点，连结，则： 线段，之间的大小关系是___________，______． 求证：； 问题拓展与应用： 如图、图，在等腰直角三角形中，，过点作直线，在直线上取点，，连结，，，则点到直线的距离是多少？ 5.如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接，． 如图，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； 如图，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积； 如图，设与的交点为，若，，，求的长． 6.在中，，，于点． 如图，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长； 如图，点，分别在，上，且，求证：； 如图，点在的延长线上，点在上，且，求证：． 三、一线三等角模型 7.观察猜想 如图点、、在同一条直线上，，且，，则、、之间的数量关系为______； 问题解决 如图，在中，，，，以为直角边向外作等腰，连接，求的长； 拓展延伸 如图，在四边形中，，，，，请直接写出的长． 8.把两块同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块 三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点、 、在同一直线上，若，则______． 四.新定义题 7.定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．如图，在中，，是、两点的勾股点，是、两点的勾股点，是、两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为，、两点均在格点上，线段上的个格点中，是、两点的勾股点的有__________个． 如图，在中，，垂足为，若，，求证：是、两点的强勾股点． 【拓展提升】如图，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 五、路程最短问题 8.如图，是一个高为，底面周长为的透明圆柱形玻璃杯， 玻璃杯底的厚度为即内底壁离外底部之间的距离如图，在 玻璃杯的内底壁点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在玻璃杯的外壁 ，且离玻璃杯上沿的点处，此时蚂蚁若要吃到饭粒需爬行的最短 路径是             玻璃杯立面的厚度忽略不计 六、计算技巧题 9.小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．请你学习小明的方法，解方程，则_______． 10.设，，，，，，则________用含的代数式表示，其中为正整数； 11.小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以． 所以，即． 所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：______． 计算：； 若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$