4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 温故知新 弧度制 弧度概念 弧度与角度的换算 学习目标 1. 能根据单位圆中正、余弦函数的定义结合单位圆说出它们的基本性质. （重点） 2. 能利用正、余弦函数的基本性质解决相关问题.（难点） 课文精讲 在初中，我们借助直角三角形学习了锐角α的正弦函数、余弦函数.下面我们在平面直角坐标系中，利用单位圆(以后常设单位圆的圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和余弦函数. 锐角的正弦函数与余弦函数 课文精讲 如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的， v也是由锐角α唯一确定的. 过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP=1，OM=u，MP=v，有 锐角的正弦函数与余弦函数 课文精讲 由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作v= sinα；点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα. 锐角的正弦函数与余弦函数 课文精讲 如图，给定任意角α ，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v) ，点P的纵坐标v 、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，仍记作v =sinα；把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，仍记作u=cosα. 任意角的正弦函数与余弦函数 课文精讲 如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα 、余弦u=cosα分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了. 任意角的正弦函数与余弦函数 典型例题 例1：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x， y).求角α的正弦函数值和余弦函数数值. 解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形. 如图.设角α的终边与单位圆交于点P， 则点P的坐标为(cosα ，sinα)，且OP=1. 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 课文精讲 其中 典型例题 例2：在单位圆中， (1)画出角α； (2)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 思考交流 在单位圆中，画出下列各特珠角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入表中: 课文精讲 α 0 v=sinα u=cosα 课文精讲 α π 2π v=sinα u=cosα 课文精讲 观察此表格中的数据，你能发现函数v=sinα和u=cosα的变化有什么特点吗？ 在区间[0， ]和[ ，2π]上， v=sinα的值逐渐增加，u=cosα的值逐渐减小，在区间[ ，π]和[π， ] 上，v=sinα的值逐渐减小，u=cosα的值逐渐增加. 综合练习 若角α的终边经过点P(5a，-12a)(a＜0)，则sinα=_____. 综合练习 6 本课小结 单位圆与任意角的正弦 函数余弦函数的基本性质 锐角的正弦函数与余弦函数 任意角的正弦函数与弦函数 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 核心知识目标 核心素养目标 1.掌握单位圆中正弦函数、余弦函数的定义. 2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 1.通过从锐角三角函数到任意角三角函数的推广,提高数学抽象的核心素养. 2.通过三角函数的定义求解三角函数值,提高数学运算的核心素养. 知识探究·素养培育 探究点一 锐角的正弦函数和余弦函数 知识点1:锐角的正弦函数和余弦函数 在平面直角坐标系中,把锐角α的顶点放在坐标原点,角的始边放在x轴的正半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v)(如图),则v=sin α,u=cos α. [思考] 单位圆上任意一点P(u,v)的坐标满足u2+v2=1,从这个事实出发,你能得到什么结论? 方法总结 (1)在一般的直角三角形中,锐角α的正弦值为该角的对边与三角形的斜边之比,余弦值为该角的邻边与三角形的斜边之比; (2)在单位圆中,根据角的终边与单位圆交点的坐标可直接写出锐角的正弦值和余弦值. 探究点二 任意角的正弦函数和余弦函数 知识点2:任意角的正弦函数和余弦函数 (1)单位圆中正弦函数、余弦函数的定义 在平面直角坐标系中,把任意角α的顶点放在坐标原点、始边放在x轴的正半轴上,角α的终边与单位圆交于点P(u,v),则把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作v=sin α;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作u=cos α(如图). (2)角α的正弦函数、余弦函数的定义 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 其中 [例2] (1)已知角α的终边与单位圆的交点为( ， ） 则 等于(　　) (A)-7 (B) (C) (D)7 方法总结 $$