第6单元 小专题培优8 构造辅助圆解决问题-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

小专题培优8 构造辅助圆解决问题（贵阳5年3考） 模型1定点定长（贵阳2022.9） 1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠CBD=20°，∠BDC= 【模型特点】 30°，则∠BAD= 情形一：动，点到定点的距离固 定，如A是定点，B是动点， 【思路分析】 AB=r,则点B在以A为圆心，r B.C.D三，点都在以点A为圆 根据间周角 为半径的圆上； AB=AC=AD 心，AB长为半径的同上 定理求角度 情形二：三条共端，点的线段相 等，如AB=AC=AD,则点B,C, D都在以A为圆心，AB长为半 径的圆上 【解題策略】 1,利用圈周角定理求角度： y 2.当圆上的动点M、圆外一定点 第1题图 第2题图 N、圆心O三点共线时，MN取得 2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，N,M分别为BC,DE的 最值：当点M位于点O,N之间 时，MN取得最小值，如图1； 中点，AB=6,AD=4,将△ADE绕点A旋转，在旋转的过程中，MN 的最大值为 【思路分析】 图1 图2 △ADE是等 当点O位于点M,N之间时，MN 边三角形 ,点M在以点A 当A,M,V三点共线， 取得最大值，如图2 M是DE的中点 AM的长 为圆心，AM 且点A位于M,N之 为定值 长为半径的圆 间时，MN的长取 AD=4 上运动 得最大值 模型2定弦对定角（费阳2021.16,2018.23） 3.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形的内部，连接PA, 【模型特点】 PB,PC,若∠PBC=∠PAB,则PC的最小值是 线段固定，且该线段所对的角度 固定，如AB固定，C为动点，且 ∠ACB=,则，点C在以AB为 弦，∠ACB为圆周角的圆（不与 点A,B重合)上运动 【解题策略】 1,确定定弦、定角度数： 【思路分析】 当0°<a<90°时，点C在优孤 (不含A,B两点)上运动，如图1： 矩形ABCD ∠4BC=90 当C,P和阳 ∠APB=90 心三点共线 点P在以 ∠PBC=∠PMB 且点P位于G AB为真径 和圆心之间 AB=8 的半阳上 图1 图2 时，PC取得 当a=90°时，点C在整个圆（不 投小值 含A,B两点)上运动，如图2； 134 众相原创赋能中考贵州数学 4.(2018贵阳23题10分)如图，AB为⊙0的直径，且AB=4,点C在半圆当90°<a<180°时，点C在劣孤 上，OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点（不与点C重合），过点P (不含A,B两点)上运动，如 作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM. 图3： (1)求∠OMP的度数： (2)当点P在半圆上从点B运动到点A时， 360°-2 求内心M所经过的路径长。 【思路分析】(2) 图3 ∠)19P的度故 (第1问枣得) ∠()1(G的度数纯角) 点M在以0C 2.根据定角的特殊度数找到 求对位的 为弦，且0C 圆心； 1B-4已知) 0C=2 所对的圆用 司心角、 角等于∠)1( 半径长柳 3.画出（辅助）圆，根据题目条件 点P在半圆上从，点月∠0C可能在0C的 运动到点（已知） 左侧，也可能在右侧 的两段劣孤上 可求解 解决问题 第六单元圆135 模型3四点共圆（贵阳2021.16） 5.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°， 【模型特点】 ∠ACD=30°，AD=2,E是AC的中点，连接DE,则 情形一：对角互补的四边形的四 线段DE的最小值为 个顶点共圆： 【思路分析】 情形二：两个共斜边的直角三角 形的四个顶点共圆，圆心为斜边 A,B,C,D都 /BAD=/BCD=90 在以BD为汽 的中点 径的到上 ∠AOD △A0D是等 【解题策略】 2∠A7)=60 边三角形 双BD的中点0 1.共斜边的两个直角三角形，不 连接04,0C E是AC的中周 管在同侧还是异侧，都能得到四 政0A的中，点F, 点共圆，如图1，图2： 连接EF,Dn ①UC为定值： ),,上三点共线附，D ②DF的长为定值 最小，最小值为D-书1 6.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 图1 图2 (3,0),(0,4),点C是x轴正半轴上一点，连接BC 2.根据圆周角定理得到角度之 过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直 间的关系，进而求解 线交于点D,连接BD,则sin∠BDC的值是 【思路分析】 AB⊥AD ∠BAD= A.B.C.D 弦AB所对的闲阴 BC⊥C) ∠BC1)=009 四点夹圆 角∠BDA=∠BCO 根据，点坐 标磐征在 利用等角的 分别在RI△B4D和RI△BOC 余角和等得 RL△BMO BAO=∠BG RI△BAO和RI△BDC中 中求解 7.(2021贵阳16题4分)在综合实践课上，老师要求同学用正方形 纸片剪出等边三角形且等边三角形的顶点都在正方形边上.小红 利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的 等边三角形和一个面积最小的等边三角形，则这两个等边三角形 的边长分别是 【思路分析】 画草图：正方形ABCD, ∠1)C= 等边△EFG,如图 E K.G,D ∠FKC=90 四点共图 作EKFC于点K,连 接DKAK ∠EDK= ∠ECK=60 点玉为 当G⊥AB时，△G面积最小； 分别求出对 同理得 定点 当G过点B时，△G面积最大应的F(G的长 ∠EAR=609 136 众相原创赋能中考贵州数学.AB CD,AD BC=1. 设AB=CD=m,则CF=m,DE=CD-CE=CD-BC=m-1. 南架 AD∥BC,.△ADE△FCE. (4)解：AB∥CD,∴点E,O,F在同一条直线上， 22即㎡-a-1=0, ∴当AB和CD在圆心O的异侧时，弦AB和弦CD之间 解得m告兰l5会极5 的距离EF=0E+OF=2+1, 2 2 当AB和CD在圆心O的同侧时，弦AB和弦CD之间的 an∠ABD=4D.1-5-1 AB1+5 2 距离EF=0F-OB=2-⊥ 2 2 ④证明：如解图2，在GF上截取PF=DG,连接CP 综上所述，弦AB和弦CD之间的距离为2，+1或互-」 2 2 由(2)②可得，∠CFP=∠CDG. D 在△CFP和△CDG中， CF CD. ∠CFP=∠CDG PF =GD. ∴.△CFP≌△CDG(SAS). 解图2 .CP=CG,∠FCP=∠DCG, 解图1 解图2 ∴.∠GCP=∠DCG+∠DP=∠FCP+∠DCP=∠DCF=90° (5)解：AB∥CD, ∴.△GCP是等腰直角三角形，∴.GP=√2CG. ∴以A,B,C,D为顶点的四边形是梯形， .·GP=GF-PF=GF-DG. Se=子(B+GD)·ER ∴.GF-DG=2CG 当AB和CD在圆心O的异侧时， 第六单元圆 第一节圆的相关概念与性质 ee=号xa+同×645i2 2 4 ①圆心②半径③直径④优弧⑤劣弧6⑥同 当AB和CD在圆心O的同侧时， ⑦等⑧重合⑨圆心0圆上①相交②OA,OB, OD BBD ADB,BAC,CAD,ABD.ADC AB,BC. ec=7×(5+同x2,l_6-B-2+2 2 4 综上所述，以A,B,C,D为顶点的四边形的面积为 CD,AD,AC0∠A0B,∠AODD∠BDC⑧圆心 圆心②①相等相等2相等巧相等②相等 6+3+2+2或6-3-2+2 4 4 雪相等团一半相等团直角型直径∠ADC 小专题培优8构造辅助圆解决问题 ③片®90°8平分平分西垂直图平分 1.1002.53 团BM⑧互补8180°0外角4D∠BAD 3.2√13-4【解析】：四边形ABCD是矩形，∴∠ABC= 1n216s°299 90°，∴.∠ABP+∠PBC=90°.∠PBC=∠PAB, 3 ∠ABP+∠PAB=90°，.∠APB=90°，点P在以 3.(1)①A②证明略. AB为直径的半圆上运动，如解图，设圆心为O,连接OC (2)C 交⊙0于点P,此时PC最短.， D 4.B5.64646432 6.解：(1)①②为条件，3为结论，连接AD,如解图 0p=0B=2AB=4.0C= AC=AB, 1 √OB+BC=2√13，，PC的 ·.△ABC是等腰三角形. :AB是直径，∴.AD⊥BC, 最小值为0C-0P=2√13-4. ∴.DC=BD:(答案不唯一) 4.解：(1)PE1OC∴.∠PE0=90°.·△OPE的内心为M, (2)连接BE,如解图.BC=6, ZMOP-LMC-LEOPLMPO-LMPE-ZOPE. ∴.BD=3,∴.AD=4 ∠OMP=180°-∠AMP0-∠AM0P=180°- 、1 S=BCxAD=- 2ACx BE. 2(∠E0P+L0PE)=135: 甲时x6x4=宁×5×E,解得BE= (2)如解图，连接MC.OP=OC,OM=OM,∠MOP= ∠MOC. 7.(1)B(2)①4328②32(3)53 8.1500 ∴，△0PM≌△OC1M..∠CM0=∠PM0=135°. 六点M在以0C为弦，且0C所对的圆周角为135的两 9.(1)C(2)C (3)圆心0到弦AB的距离为】，圆心0到弦CD的距 段劣弧上(OMC和ONC). ①当点M在0C的右侧时，过C,M,0三点作⊙0'，连 20 众相原创赋能中考 接O'C,O'O,在优弧C0上取点D,连接DC,DO OF=OB,.BF=OF=OB,∴△BOF是等边三角形. D 六∠F0B=LABF=600LFCB=∠F0B=30e ~BC平分LABF,∠ABC=7∠ABF=30, ,∠FCB=∠ABC,.CF∥AB. ∠CM0=135. 5.50° ∠CD0=180°-135°=45°..∠C00=90 6.120【解析】如解图，连接OA,0B.:△ABC是⊙0的 内接正三角形，.∠A0B=120°，0A=0B,∠0AB 0C=0A=2,00= c=号x2= 2 =∠0BA=30°.：∠CAB=60°，∴.∠0AD=30°， ∴lm=90m,2-2 ∠OAD=∠OBE.AD=BE. 点△OAD≌△OBE(SAS),.∠D0A 180 2 =∠EOB,∴.∠DOE=∠D0A+ ②当点M在0C的左侧时，同①的方法得，m=2如 ∠AOE=∠AOE+∠BOE=∠AOB= 2 120° 内心M所经过的路径长为2×2m=2元 2 25e929 5.5-1 8.(1)∠1（答案不唯一）△BCD 6号【解析：BA⊥AD,BC1CD,÷∠BAD=∠BCD (2)证明：：CE是⊙0的直径， .∠CBE=90° 90°，.A,B,C,D四点共圆，.∠BDA=∠BCA, ,△ABC是等边三角形，.CE⊥AB ∠BDA+∠DBA=∠BCA+∠CBO=90°，.∠DBA= ∠ADE=∠CBE=90°. ∠CBO..∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CB.A,即∠DBC 又∠3=∠2，.△AED∽△CEB: =∠ABO,又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90P. (3)解：四边形OAEB是菱形.理由如下： ∴∠BDC=∠BAO,点A,B的坐标分别为(3,0)，(0 ,CE是⊙0的直径，△ABC是等边三角形，.OA=OB 4)..B0=4,0A=3,AB=√4+32=5..sin∠BDC= 血L0-0-号 2cB,∠C4E=90.L1=∠ACB=30, ∴，AE= 7.26-22:2 第二节与圆有关的位置关系 同理可证BE=CE0A=0B=AE=BE, ①<②=③<④相切⑤=⑥>⑦垂直 ,四边形OAEB为菱形 ⑧垂直⑨半径①垂直①半径②半径B垂直 ④半径5一个一个相等 ⑧垂直平分线 9.(1)直径(2)0D⊥AC 四相等 (3)证明：∠BAC=90°，∴.BC为⊙0的直径 又BA∥OD,.∠OEC=∠BAC=90°， 1.(1)圆上圆外圆内相交(2)相切相离 ,∠CDE+∠IDCE=90 2.A ,·∠CDE=∠BCA, 3.证明：(1)略： (2)如解图，过点O作OD⊥AB于点D. ÷∠BCA+LDCE=∠BCD=90°，∴.BC⊥CD. BC为⊙0的直径，.CD是⊙0的切线. .0A=0B=13.AB=24. 六A0=2B=2, (4)解：AB=2,BC=23,∠B4C=90°， ∴AC=BC-AB=2,2.OC=5. .0D=√0-AD=5. 由(3)可知∠DC0=∠CAB=90°. ⊙0的直径为10， B 又：∠CDO=∠BCA,.△DOC∽△CBA, .⊙0的半径r为5 .0D=r,即OD为⊙0的半径∴AB是⊙0的切线 2紧号-号m=6 4.证明：(1)连接0C,如解图. (5)解：DF与⊙0相切.证明如下： CD是⊙0的切线，C为切点， 如解图，过点O作OM⊥DF于点M. .∠DC0=90°，即∠0CB+ ∠DCP=90°. 0C=1,BF=2 A( DE⊥OB.∴∠DEB=90° ,.∠OBC+∠BPE=90 .CF=20C+BF=8 0B=OC,÷∠0CB=∠0BC 由(3)知∠DCF=90 ∴.∠DCP=∠BPE. 在Rt△CDF中， ∠BPE=∠DPC,∴.∠DCP=∠DPC: DF=CD+CF=10 (2)连接OF,如解图.，ED垂直平分O,∴.OF=BF 贵州数学 21