第4单元 三角形 单元整体构建-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

#CAB=67.5$ B$A0= 2.5$$ A=0B'BA0= AB0= .5$$ '.AM-6.EV- .乙B0P=45". $.OD=DVM-0V=6-OM$ . EM/BC. 2 . △EOM△BOD. $PE=0$-0F= 100-50$/2- 9 $ EM OV OM 答:此时下水道内水的深度约为29.5cm 1 ,) R C 7.B 解图1 .OM=2.A0=AM+0M-8. 8.解:如解图,过点D作DF1AE交AE的延长线于点F .Sor= -1EM·A0-××8=10. 则四边形ACDF是矩形. . DF=AC-170. (3)解:如解图2.过点0作0N1AB于点M 在Rt△EFD中, DEF=58*$DF=170 B ·BE是乙ABC的平分线,0D1BC. ON1.AB. tan58。~1.60~106.25. .0D=ON. 在Rt△ABC中,乙BAC=90*-30{*= .So=So+Smo. 60*.AC-170. 1op.BD. 0 . BC=AC·tan60=1703 ·BD=100...CD=100+170 3-394.1. $.12x5=130V+50D.即90D=30. 又·AF=CD.:.AE=CD-EF-288 .0W=0D10 解图2 答:步道AE的长约为288来 3. 单元整体构建 . 40=AD-0D-12-10-26 3=3 易错题专练 (4)解:如解图3.连接PB 1.B【变式】C 2.C 【变式】D ·AB=AC.AD1BC.:点B与点C关 3.经过2.5s或1s时,△PB0与△ABC相似 于AD对称. 知识整合 . PB=PC.PE+PC=PE+PB 解:不全等的相似三角形有2对:△BDA△ADE,△CAE ·PE+PB>BE. ~△ADE. .当P,B.E三点共线时,PE+PC的 选择△BDA△ADE. 值最小,最小值为E的长 证明如下::△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三 4D·BC-AC·BE. 7& S= 角形,/BAC=乙F=90*. 1 解图3 '. C= B= FAG= G=45$ .BB-4D·BC120 AC :DAB= FAG+ EAB, DEA= B+ EAB 13. .. 乙DAB=/DEA. .PE+PC的最小值是120 又:乙BDA=乙ADE 13 .△BDA△ADE.(答案不唯一,也可以选择另一组进行 ($5)①证明::AB=AC=13.BC=132 证明) '.AB+AC=BC. 一题一单元 二.△ABC是等腰直角三角形,乙BAC=90。 (1)解::AB=AC.AD1BC. 又:AD1BC BAD=乙C=45* .BD=CD-BC=5. .AG 1 BE ' AFO= ADG=90 AOB= OAF+乙AFO. CGA= OAF+ ADG *AD-AB-BD=12 '.乙AOB=乙CGA. .△ABD的周长为AB+BD+AD=30 ..△ABO△CAG(AAS). (2)①解::AB=AC,AD1BC. ②证明::△ABO△CAG.:.AO=CG. .D是BC的中点. .CD=CG+DG=AO+DG 又:BE是AC边上的中线. 由(5)①可知BD=CD.:BD=A0+DG .E是AC的中点, (6)①解::AB=AC.AD1BC. :.DE是△ABC的中位线 .AD是BC的垂直平分线.:.0B=0C. .DE-4AB-13. &. 乙OBC=/OCB. △OHC是等边三角形..乙H0C=60*0H=0C. . sinzCDE=sinABC-AD12 .0H=OB..乙HBO= OHB AB13 : HOE= HBO+ OHB=2 HBO. ②解:如解图1.过点E作EM/BC交AD于点M COE=0BC+0CB=20BC. 则EMIAD.△AEM△ACD . HOC=HOE+ COE=2(HBO+OBC)=2 CBH 125 2 贵州数学 15 ②解:BH1AC.理由如下: (3)解:如解图2.过点C作CH1AB交AB的延长线 AB=AC=BC=13.△ABC是等边三角形 . ACB=60 于点H. 由(6)①乙CBH=30* ADC=12 0 ABC=1220$$ CBH=6 0$ . BKC=180*-( ACB+ CBH)=90*: BH1AC 在Rt△CBBH中. H=90*$.. BCH=30$$ ③解:易知△BCK是直角三角形, CBH=30*,D为BC .BB-BC-2.: CH3BH-2/. 2 则AH=AB+BH-5. 第五单元 四边形 在Rt△ACH中,AC=Cf+Af=(23)+5- 第一节 多边形与平行四边形 37 ①(n-2)·180* ②360* ③(n-3) ④n(n-3) (4)解::AB1 BF.. ABF=90. $AF=AB+B$= 4+3=5. (n-2)·180。 360{n⑧偶 奇 平行 .AC=8CF=AC-AF=8-5=3. n $AF=CF=3$:$EF=AF-AE=5-3=2 且相等 相等 互补 180{平分 0D AE 中心 对角线的交点 中位线 2△FCB ①平行 ②相等 ②相等 1.C 2.(1)900* 14 (2)10 (3)5 3:2 (4)①9 ②40。 由(2)可知,四边形BEDF是平行四边形, ③是 不是④6 . Seo=2A=2 24 3.(1)108” 72*(2)144。(3)72。 4.4 mm 5. B 新教材素材 6.B【解析】:四边形ABCD是平行四边形..AD/CB. 解:(1)根据题意,得180*x(n-2)=2x360”,解得n=6 CD=AB=3.BC=AD=4. DFC= FCB. 又 CF$$ (2)正n边形每个内角的度数为(6-2)x180^}-120°; 平分 BCD CDCF=L FCB.:.LDFC=LDCF. 6 $DF=DC=3.同理可证AE=AB=3.$AF=DE$AD= (3)设在平面镶嵌时,围绕在某一个顶点处有x个正六边 4..$AF=DE=1.:.FF-2. 形和y个正三角形的内角可以拼成一个周角. 7.(1)10 (2)60120*(3)①1 3 2 ②3/3 根据题意,得120x+60y=360,即2x+y=6. (4)1 8.C .一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块数分 9.(1)证明略 别为2个,2个或1个,4个. 第二节 矩 形 (2)解:连接BE. ①平行且相等 ②直角(或90})③平分且相等 DA=DB=2DE=AD'$AD=BD=DE= $$$ ④两 . 乙ABE=90*,AE=4. 直角(或90})直角(或90})相等 AB1 .cosA= 1.C AF4.AB=1. 2.(1)50 50 80 (2)①10 5 ②28 48 ③12 :B=AF-AB=/15 .点B到点E的距离为15 10.(1)证明::四边形ABCD为平行四边形 【解析】连接AF,如解图.:AB $.AB=CD.AB/CD: BAE= DCF =6.BC=8.*.AC=10.根据折叠的 在△ABE和△CDF中. 性质可得,AC1EF.AG=CG=5.EG AB=CD. =GF.CF=AF.设CF=x.则BF= LBAE= DCF :△ABE△CDF($AS). $$-$AF=x,在Rt△ABF中,AF^$}=BF^$}+AB{,即}=$$ UAE=CF. (2)证明:如解图1.连接DB.交AC于点0 ·四边形ABCD是平行四边形.:0A=0C,0B=0D Ar",即$ CFr-(25),解得GF-15(负值已舍). · AE=CF..0E=OF. 8.四边形BEDF是平行四边形 1) 7 4.(1)证明::四边形ABCD是矩形, $.OA=OC.OB=OD.AC=BD · BE=DF.:.OE=0F. H .△AOE△COF(SAS)..AE=CF: (2)解:由(1)知OA=0C.0B=0D,AC=BD 解图1 解图2 4OA=0B. 16 众相原创 赋能中考电寒本年 易错题专练 众相提醒1 因忽视三角形的三边关系而致错 【温馨提示】 1.(2020毕节)等腰三角形两边的长分别为3和7.则此等腰三角形的周 当题目中未指明所给边长 长为 ) 是等腰三角形的腰还是底 A.13 B.17 C.13或17 D.13或10 时,需分情况讨论,此时易 忽视三角形成立的条件“三 f【变式】等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰 角形的任意两边之和大于 三角形的底边长为 ( 第三边”而致错 A.3cm或5cm B.3cm或7cm 过C.3cm D.5cm 众相提醒2 在等腰三角形中,因忽视分类讨论而致错 【温馨提示】 2.(2024贵阳乌当区一模)若等腰三角形的一个内角是50{},则另外两个 当题目中未指明所给内角为 ) 内角的度数分别是 等腰三角形的项角还是底角 B.50{80{ A.65。.65* 时,需分类讨论 C.65*.65o或50.80 D.50,50 【变式】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50{,那么 这个等腰三角形的顶角等于 tA.20或70{ B.40 C.140。 D.40“或140。 ___ 众相提醒3 相似三角形无明确对应关系时,因忽视分类讨论而致错 【温馨提示】 3.如图,在△ABC中,AB=10cm.BC=20cm.点P从点A开始,沿AB边 当题目中相似三角形无明 向B点以2cm/s的速度移动,点0从点B开始沿BC边向点C以 确对应关系时,需要分类讨 4cm/s的速度移动.如果点P,0分别从A,B同时出发,经过几秒, 论.注意:“△PBQ△ABC" △PBO与△ABC相似? 与“△PBO与△ABC相似” 两种说法的区别. 第四单元 三角形 过103 知识整合 (一)特殊三角形的性质 等腰三角形 等边三角形 类别 直角三角形 +b=c^2}(a.b为两直角 边 两腰相等 三条边都相等 边的长,c为斜边的长) 角 两底角相等 三个角都相等,均为60。 两锐角之和等于90。 是轴对称图形,有1条对称轴,对 是轴对称图形,有3条对称轴,对 对称性 称轴是底边上的高所在的直线 称轴是三边上的高所在的直线 ①斜边上的中线等于斜 三线合一:顶角的平分线、底边上 边的一半; 其他 的中线、底边上的高重合 ②30*角所对的直角边等 于斜边的一半 知识整合 (二)全等三角形和相似三角形的性质与判定 1.性质 对应线段 周长 对应关系 角 边 面积 全等三角形 相等 相似三角形 相等 成比例,等于相似比 成比例,等于相似比的平方 2.判定 全等三角SSS:三边分SAS:两边和它们ASA:两角和它们AAS:两角和其中一HL:斜边和一条直 形的判定 别相等的两个 的夹角分别相等的 的夹边分别相等的 个角的对边分别相等 角边分别相等的两 方法 三角形全等 两个三角形全等 两个三角形全等 的两个三角形全等 个直角三角形全等 相似三角 两角分别相等的两个三角形相似 三边成比例的两边成比例且夹角 斜边和一条直角 形的判定两个三角形相等的两个三角形 平行于三角形一边的直线和其他两边 边成比例的两个 方法 相似 相似 (或两边的延长线)相交,所构成的三 直角三角形相似 角形与原三角形相似 如图,△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形,/BAC=/F=90{}.BC分别与AF,AG相交于 点D,E,找出图中所有不全等的相似三角形,并选择其中一组进行证明 104 众相原创 赋能中考 贵州数学 题一单元 三角形的综合探究 在△ABC中,AB=AC=13.AD1BC于点D.E是 (3)如图2.若BE是乙ABC的平分线,求A0 AC上一点,连接BE交AD于点0.若BC=10 的长. (1)求△ABD的周长 图2 (2)如图1.若BE是AC边上的中线,连接DE ①求DE的长和sinCDE的值; 图1 (4)如图3,若BE是AC边上的高,P为AD上一 动点,求PE+PC的最小值 ②求△A0E的面积 图3 第四单元:三角形 105 (5)如图4,若BC=13v2,其他条件保持不变.过(6)如图5,若BC=13,其他条件保持不变.连接 点A作AG1BE,垂足为F,交BC于点G 0C.以OC为边向上作等边三角形0CH,连接BH ①求证:△ABO△CAG: 交AC于点K ①求CBH的度数: 图4 图5 ②求B与AC的位置关系,并说明理由; ②求证:BD=A0O+DG ③连接KD.求KC和KD的长 106 众相原创 赋能中考 贵州数学