第4单元 第4节 等腰三角形和直角三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

第四节等腰三角形和直角三角形 一阶了教材知识全梳理 考点刀等腰三角形和等边三角形的性质与判定（必考） 等腰三角形 等边三角形 (1)两腰① ,如图，AB=AC: (1)三条边⑤ ,如图，AB= (2)两个底角② (简记为 AC=BC: “等边对等角”)，如图，∠B=∠C; B DC (2)三个内角⑥ ,并且每 B 性质 (3)顶角平分线、底边上的中线、底边 个内角都等于⑦ ,如图， 上的高③ (简记为“三线合一”)： ∠A=∠B=∠C=⑧ (4)是轴对称图形，有④ 条对称轴，对 (3)是⑨ 对称图形，有0 条对 称轴是底边上的高所在直线 称轴，对称轴是三边上的高所在直线 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形 (定义)： (定义)： 判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形： (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（简 (3)有一个角是① 的等腰三角形是等 记为“等角对等边”) 边三角形 面积 S=h(共中a为底边长，A为底边上 2ah=2 (其中a为三角 公式 的高) 形的边长，h为任意一边上的高) 【技巧点拨】等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在证明和计算中，往往作为辅助线，需灵活添加 【特别提醒】等腰三角形中的分类讨论： (1)遇角需讨论（顶角和底角）： 已知等腰三角形的一个角为《，求顶角或底角的度数时： 若为钝角，则a为顶角，底角的度数为 若α为直角，则4为顶角，该三角形为等腰直角三角形，底角的度敏为① 若《为锐角，则应分两种情况讨论： 情况一：当《为顶角时，底角的度数为 情况二：当《为底角时，顶角的度数为⑥ (2)遇边需讨论（腰和底）： 已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长时，分两种情况： r若2a>b,则周长为 情况一：当a为腰长时 1若2a≤b,则不能构成三角形； ,若2b>a,则周长为⑧ 情况二：当b为腰长时 L若2b≤a,则不能构成三角形 76 众相原创赋能中考贵州数学 考点2直角三角形的性质与判定（必考） (1)两锐角之和等于四 ,如图，∠A+∠B=②0 (2)斜边上的中线等于斜边的⑩ ,如图，若CD是斜边上的中线，则CD= ② AB: (3)30°角所对的直角边等于斜边的3 ,如图，若∠A=30°，则BC=②列 AB:C 性质 (含30°角的直角三角形的三边之比为5 (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 【知识拓展】在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等于30 (选填题可直接用结论，解答题应用时需通过三角函数证明) (1)有一个角等于⑦ 的三角形是直角三角形（定义）： (2)有两个角圆 的三角形是直角三角形； 判定 (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c,且满足2四 ,那么这个三 角形是直角三角形 【知识拓展】某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形 面积 S=山=7h(共中@，6为两直角边长，C为斜边长，4为斜边上的高). 公式 【技巧点拨】通常用等面积法求直角三角形的边长或高 【特别提醒】(1)已知直角三角形的两边长，求第三边长，若没有明确直角边和斜边时，要分类讨论；(2)已 知三角形为直角三角形，当未明确直角顶，点时，需分类讨论 考点3等腰直角三角形的性质与判定（重点） (1)两条直角边 ,如图，AC=BC: 性质 (2)两个底角① ,且都等于型 ,如图，∠A=∠B=45° 【技巧点拨】等腰直角三角形的三边之比为⑧ (1)有一个角等于画 的等腰三角形是等腰直角三角形： (2)有两个角等于 的三角形是等腰直角三角形： 判定 (3)有一个角等于0 的直角三角形是等腰直角三角形： (4)有团 相等的直角三角形是等腰直角三角形 面积公式 ah(其中a为腰长，c为底边长，h为底边上的高) 第四单元三角形77 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 考点1 等腰三角形和等边三角形的性质4.真题(2018贵阳20题10分)如图，在平行四 与判定(2024.14,23,25涉及，2023.7.11、 边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE 23,贵阳5年11考) 的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于 1.真题(2023贵州7题3分)5月26日，“2023中国 AG对称. (1)求证：△AEF是等边三角形： 国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化 (2)若AB=2,求△AFD的面积. 立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三 角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°， 腰长为12m,则底边上的高是 A.4 m B.6 m C.10m D.12m 第1题图 第2题图 2.真题(2022贵阳9题3分)如图，已知∠ABC= 60°，点D为BA边上一点，BD=10,点O为线 段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半 径作弧，交BC于点E,连接DE,则BE的长是 () A.5 B.52C.53 D.55 3.教材（人教八上P77T2改编）在△ABC中， AB=AC=5,AD⊥BC于点D. (1)若BC=8. ①CD= .AD= ②△ABC的面积为 ,点B到直线AC 的距离为 ③过点D作DE⊥AC于点E,则DE= 点D到AB的距离为 (2)若△ABC有一个内角为30°，则∠BAC的 度数为 (3)若∠B=60°，则△ABC是 三角形， BD= AD= △ABC的面积 为 78众相原创赋能中考贵州数学 考点2直角三角形的性质与判定(2024.16 CD=1,则AB的长为 20.2023.720(2).贵阳5年22考) 5.教材（北师八上P3T1改编）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在 A.2 B.22 C.3 D.3√2 △ABC外作三个正方形，S,S2,S分别表示这 三个正方形的面积，若S,=5,S2=15,则S的 考点3等腰直角三角形的性质与判定 (2023.25,贵阳5年5考) 值是 () 9.教材（人教八下P29T14改编）如图，△ACB和 △ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE= CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上. (I)判断∠ACD与∠BCE间的数量关系，并说 A.5 B.8 明理由； C.10 D.16 (2)求线段AD,AE,AC之间满足的数量关系 6.教材（人教八下399改编）在单位长度为1 D 的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形 的是 7.真题(2022遵义)如图1是第七届国际数学教 育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两 个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2 所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB= 30°，则点B到0C的距离为 图1 A. B25 C.1 D.2 5 8.教材都（人教八下P61T9改编）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, ∠ACD=3∠BCD,点E是斜边AB的中点，且 第四单元三角形79 三阶了分层设问攻重难 基幽·能力·培优 ©重难点等腰三角形的相关证明与计算 培优层)》 10.如图1，在△ABC中，AB=AC, (4)如图2，以AD为一边在AD的左侧作 D为BC边上一动点，E为AC △ADM,使AD=AM,∠DAM=∠BAC,连接 上一点，连接DE. BM.过点M作BC的平行线，交AB于点N. 基础层》】 ①求证：△BMWN是等腰三角形： (I)若∠ABC=65°，∠BAD= 图1 35°，AD=AE,则∠ADE的度数为 能力层》 (2)若∠BAC=50°，△DEC为等腰三角形，求 D ∠EDC的度数： 图2 ②若△ABC是等边三角形，△ABC的边长为 10,D为BC边的中点，P为AM上一动点，连 接NP,求NP的最小值. (3)若AD为BC边上的中线，AB=13,BC= 10,求点D到AC边的距离. 温馨提示 请完成分层进阶练习册P39~P42习题 80 众相原创赋能中考贵州数学∠BAD=∠CAE-90°，∴∠CAD=∠BAE. .∠A=∠1. AD=AB. 又：AD=CD 在△ACD和△AEB中 ∠CAD=∠BAE ,△DAB≌△DCE(SAS) AC =AE, ,∠2=∠E,BD=DE, ∴△ACD≌△AEB(SAS),∴DC=BE. ∠3=∠E=∠2，∴.BD平分∠ABC 5(1)证明：：△ADB和△ACE都是等腰直角三角形. 第四节等腰三角形和直角三角形 ∴.∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB,AC=AE ①相等②相等③相互重合④1⑤相等⑥相等 .∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC= ∠BAE. ⑦60 860⑨轴3①60°卫 AD=AB. 在△ADC和△ABE中 ∠DAC=∠BAE, B180-a）g456180-a）180-2a LAC=AE. 2090° .△ADC≌△ABE(SAS): 72a+bq82b+a090° 团-半② (2)解：数量关系：BE=CD:位置关系：BE⊥CD.证明如 下：设AB与CD相交于点N,如解图 8-半4 -5:5:23a2+b2=c2@90° :△ADC≌△ABE. D 四互余8a2+b=c2相等团相等⑧45 .BE=GD,∠ADC=∠ABE 31:1:2③90°545°45°团两边或两角 ∠DAB=90°，∠AND+ ∠ADC=90. 1.B2.A 又∠AND=∠BNM 3.(1)①43②12 24 ③22 5 (2)30°或120 ∴.∠BNM+∠ABE=90°， 5 .∠BMN=180°-（∠BNM+ ∠ABE)=90°， 3)等边多5255 2 4 .BE⊥CD 4.(1)证明略 6.证明略 (2)解：如解图.记AG,EF交点为H. 【变式】证明略。 ,△AEF是等边三角形，且AE 7.结论：BE+DF=EF 与AF关于AG对称， 理由略. ∠EAG=30°，AG⊥EF 8.解：如解图，延长AC至点P,使CP=BE,连接PD :AB与AG关于AE对称， ,:△ABC是等边三角形。 ·∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90 .∠ABC=∠ACB=60° .AB=2,..BE=1,DF=AF=AE=3. .BD=CD.∠BDC=120° ∴.∠DBC=∠DCB=30°. 41 ∠EBD=∠DCF=90°， 5.C6.C7.B .∠DCP=∠DBE=90° 8.B【解析】∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90 在△BDE和△CDP中， ∠ACD=3∠BCD,∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5 BD CD, CD⊥AB,∠CDA=90°，∠A=90°-∠ACD= ∠DBE=∠DCP, BE =CP. 2.5.E是斜边AB的中点BC=4CB= ∴.△BDE≌△CDP(SAS),DE=DP,∠BDE=∠CDP AE,.∠ECM=∠A=22.5°，∴.∠DEC=∠A+∠ECM= .·∠BDC=120°.∠EDF=60°，.，∠BDE+∠CDF=60°， 45°，∴，∠DCE=90°-∠DEC=45°，∴△DCE是等腰直 .∠CDP+∠CDF=60°，∴.∠EDF=∠PDF=60. 角三角形，∴.CE=2CD=2,∴.AB=22 DE DP. 9.解：(1)∠ACD=∠BCE,理由略 在△DEF和△DPF中， ∠EDF=∠PDF (2)如解图，连接BE. LDF =DF. △ACB与△DCE都是等 .△DEF≌△DPF(SAS), 腰直角三角形， .EF FP,..EF FC +CP=FC+BE ,∠D=∠AEC=45o ∴.△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+BE+FC+AF= EC=DC,AC BC,AC+ AB+AC=10. BC =AB..'.2AC =AB 9.证明：延长BC到点E,使 又∠ACD=∠BCE, CE=AB,连接DE,标记 ∴，△ADC≌△BEC(SAS), ∠1，∠2.∠3.∠4.如解图 .AD=BE,∠D=∠BEC=45° ,∠ABC+∠ADC=180°， ,∠BEA=∠BEC+∠AEC=90P ..∠4+∠A=180° 在R△ABE中，由勾股定理得AE+BE2=AB, 又.∠1+∠4=180° AE+AD=2AC. 10 众相原创赋能中考 10.(1)82.5 3.证明：如解图，连接OD (2)解：∠BAC=50°，AB=AC, ∠BDC=∠BEC=90°， 4C=7x(180-50)=650 O为BC的中点， ..OD =OE =OB =OC. :△DEC为等腰三角形， ∴∠CBA=∠BDO,∠BGA= “分三种情况讨论： ∠CEO. ①当ED=EC时，∠EDC=∠C=65°： ,∠BAC=120°，.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60， ②当DC=DE时，∠DEC=∠C=65P, ,:∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA.∠COD=∠CBA+ ÷∠EDC=180°-2×650=50°： ∠BDO=2∠CBA. ③当EC=DC时，∠CDE=∠CED= ×(180°-65) 1 .∠B0E+∠C0D=120°.∴.∠D0E=60°. =57.50 ,△DOE是等边三角形，∴.DE=OE. 综上所述，当△DEC为等腰三角形时，∠EDC的度数 4.A 为65°或50°或57.5°. 5.9【解析】如解图，取AC的中点N,连接MN,则MN∥ (3)解：AB=AC,AD为BC边上的中线， AB:∠NWC=∠B,N=A又MF∥AD, ADLRG.BD-CD-BG-5. ∠FMC=∠ADC,即∠FMN+∠NMC=∠B+∠BAD .在RI△ADC中，AD=AC-CD=13-5= ∴∠FMN=∠BAD.AD是∠BAC的平分线，AD∥MF ..∠FMN=∠BAD=∠DAC I2.过点D作DF⊥AE于点F, :Sam=2D.CD=7AC·0F =∠FN,N=N=号 ×12x5=子×1B·DP,解得DF=得 1 服，C=N+AC=号BB叫 点D到4C边的距离为哈 +4c=+号9 2+2 (4)①证明：，AB=AC,.∠C=∠ABC 6.16cm ∠BAC=∠DAM,∴.∠BMC-∠BMD=∠DAM-∠BD 7.1<AD<4【解析】如解图，延长AD到点E,使AD=DE, 即∠CAD=∠BAM. 连接BE.AD是△ABC的中 ∴.△ABM≌△ACD(SAS), 线，.BD=CD.在△ADC和 .∠ABM=∠C,.∠ABM=∠ABC AD=ED. MN∥BC.∠MNB=∠ABC, △EDB中， ∠ADC=∠EDB, .∠MNB=∠ABM,.△BMN是等腰三角形. DC =DB. ②解：由①可知，△ABM≌△ACD, .△ADC≌△EDB(SAS), △ABC为等边三角形，∴.∠MBA=∠C=60 AC=BE=3.在△ABE中 由①可知，△BMN是等腰三角形， AB-BE AE AB BE, ,△BMN是等边三角形，.MN=BN 2<2AD<8,.1<AD<4. :D为BC边的中点，∴AD平分∠BAC, 8.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF .∴，∠BAD=∠CAD=30°，∴，∠MAB=∠CAD=30°. AE是△ABD的中线， ∠ABM=60°，.∠AMB=90 ,∴BE=ED ∴∠AMN=30°，∴.MN=AN=BN, △ABE≌△FDE(SAS), N是AB的中点N=2B=5. ·AB=DF,∠BAE= ∠EFD. 当NP⊥AM时，NP有最小值， ,'∠BDA=∠BAD.∠ADB 在△PN中，P=W=弓P的最小值为 是△ADC的外角， ∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. 小专题培优3与中点有关的性质及辅助线作法 ·∠BAE+∠EAD=∠BAD.∠BAE=∠EFD. 1.B ,∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD 22 【解析】如解图，连接AM.:AB=AC,点M为BC ∠ADF=∠ADC AB=DC,∴DF=DC 的中点，AM1GM,BM=CW=BC=3.在R△ABW AD=AD. 中，AB=5,BM=3,.AM= 在△ADF和△ADC中.{∠ADF=∠ADC. FD=CD. √AB-B7=4.Sac=2 △ADF≌△ADC(SAS),∴∠C=∠AFD MN·AC=AW·CMMN= LEFD=∠BAE.∴.∠C=∠BAE B 小专题培优4与角平分线有关的常见模型 AM·CM12 1.120 2.15°【解析】如解图.：∠ABC的平分线与∠ACE的平 贵州数学 11