第4单元 第1节 线段、角、相交线与平行线-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

第四单元三角形 第一节 线段、角、相交线与平行线 阶了 教材知识全梳理 考点刀直线和线段 ① 点确定一条直线 两个基本事实 两点之间，② 最短 两点之间的距离 连接两点间的③ (注意：距离是长度，而不是线段) 如图，在线段AC上有一点B 线段的和、差 人B c 则AB+④ =AC:AB=⑤ -⑥ :BC=⑦ -⑧ 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,则点M叫做线段AB的 概念 中点 线段的中点 性质 若M是线段AB的中点，则AM=BM=⑨ AB 2【链接】利用尺规作一条线段等于已知线段见本册P149. 【方法指导1（①）经过平面上n个点中的任意两点通直钱，最多可福(m-)条：(2)一条线段上有a(口 ≥2)个点（包指线段的两个端点），则线段的总条载为a(a-1):(3)n条直线，两两相文，交点最多有 2n(n-1)个 1 考点2角和角平分线（重点） 1.角的分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 角度 0°<a<90° a=0 ⑩ a=2 a=B 2.度、分、秒之间的换算：1°=60'，1'=60”.如：7.24°=7④ ‘⑤ 3.余角、补角 定义 性质 余角 若∠1+∠2=0 则∠1与∠2互为余角 同角（等角）的余角 补角 若∠1+∠2=⑧ ,则∠1与∠2互为补角 同角（等角）的补角四 62 众相原创赋能中考贵州数学 4.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角 定义 如图，PM1OA,PN⊥OB. 的射线 (1)角平分线分成的两个角四 性质 (2)角平分线上的点到角两边的距离 (1)将一个角分成两个等角的射线是角平分线： (1)0C平分∠AOB=∠A0C=∠BOC= 判定 (2)在角的内部，到角两边距离相等的点在 公 ∠AOB: 2 上 (2)OC平分∠AOB=PM=20 ☑【链接】利用尺规作一个角等于已知角和作角的平分线见本册P149. 考点3相交线与垂线（重点） 1.相交线与角 类型 对应角 图示 ∠1与5 ,∠2与团 邻补角 性质：邻补角之和等于四 ∠1与四 ,∠2与四 对顶角 性质：对顶角0 ∠1与3迎 同位角 ,∠2与8 三线 ∠3与8 ,∠4与翅 八角 内错角 ∠2与5 ,∠3与0 同旁内角 ∠2与团 ,∠3与8 【特别提醒】在未指明两直线有什么样的位置关系时，同位角、内错角、同旁内角之间不存在相等或互补关系， 2.垂线 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有翅 条直线与已知直线垂直 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，40 最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的⑩ @【链接】利用尺规过一点作已知直线的垂线见本册P150. 3.垂直平分线 (1)垂直且平分线段： 如图： 性质 (2)线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离42 (1)过线段的中点且与线段垂直的直线 是这条线段的垂直平分线： (1)1是线段AB的垂直平分线台l④ AB且 判定 (2)到一条线段两端点距离相等的点在 AC5 BC: 这条线段的 上 (2).点P在线段AB的垂直平分线上PA0 PB @I链接】利用尺规作线段的垂直平分线见本册P150, 第四单元三角形 63 考点4平行线的性质与判定 平行公理 经过直线外一点，有且只有④⑦ 条直线与这条直线平行 若a∥c,b∥c,则a48 b. 推论 【知识拓展】在同一平面内，若a⊥c,b⊥c,则a∥b 两直线平行一同位角49 如图，a∥b白∠1=0 平行线的性 两直线平行一内错角① 如图，a∥b白∠4=2 质与判定 两直线平行一同旁内角⑧ 如图，a∥b-∠3+∠2=画 两条平行线 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的固 之间的距离 性质：两条平行线之间的距离处处⑤团 【思维拓展】利用平行线(AM∥CN)求角度时常见的辅助线的作法： 作法1：作平行线 B 2C N 2/ 2 M 作法2：从拐点 处延长相交 N/ C 结论 ∠ABC=∠1⑤ ∠2 ∠ABC=360°-∠1-∠2 ∠ABC=∠258 ∠1 考点5命题与定理 类型 概念 命题 判断一件事情的语句叫做命题.命题由题设和结论两部分组成 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题 在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一个命题的结论是另一 逆命题 个命题的题设，把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的 定理 依据 如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理一个定理 互逆定理 和它的逆定理是互逆定理 【特别提醒】(1)判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例，它符合命题的题设，不满足命题的结论； (2)证明一个命题是真命题时，可以用反证法，先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，再由 矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立 64众相原创赋能中考贵州数学 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 考点1直线和线段（贵阳2019.8） 4.教材（北师七下P127T3改编）校园湖边一角 1.教材（人教七上P128思考改编）(1)如图1， 的形状如图所示，其中AB,BC,CD表示围墙， 工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根 若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个 木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的每一 观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等.则点 层砖都在一条直线上.这样做应用的数学知识 P在 () 是 (2)如图2，从甲地到乙地有四条道路，路程最 短的一条是 ,用到的数学原理 是 D ② A.线段AC,BD的交点 B.∠ABC,∠BCD角平分线的交点 地 地 C.线段AB,BC垂直平分线的交点 图1 图2 D.线段BC,CD垂直平分线的交点 2.教材（人教七上P130T10改编）点A,B,C在 同一条直线上，若AB=3cm,BC=1cm. 考点3相交线与垂线（贵阳5年4考） (1)AC的长为 cm; 5.真题(2020贵阳4题3分)如图，直线a,b相交 (2)若D是线段AB的中点，E为BC的中点，则 于点0，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（) AD的长为 cm,DE的长为 cm A.1500 B.120° C.60 D.30 考点2角和角平分线(2023.11，费阳5年2考) 3.教材（人教七下P8T8改编）如图，已知∠AOB= 852736”,0C平分∠A0B. 第5题图 第6题图 6.真题(2022贵阳21题改编)如图，在正方形 (1)∠AOB= ,它是 (填“钝 ABCD中，E为AD上一点，连接BE,BE的垂直 角”“直角”或“锐角”)： 平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O. (2)∠AOB的余角等于 °，∠AOB的补 若AB=8,AE=6,则BM的长为 角等于 0: (3)∠A0C= 考点4平行线的性质与判定(2023.4，贵阳 (4)若点P是射线OC上一点，点P到OA的距离 5年2考) 为2，则点P到OB的距离为 7.真题(2023贵州4题3分)如图，AB∥CD,AC (5)在∠AOB的内部有一点Q,有以下条件，满 与BD相交于点E.若∠C=40°，则∠A的度数 足 (填出所有符合要求的序号)， 是 () 可说明点Q在射线OC上. ①LA0Q= -∠AOB:②∠AOB=2∠B0Q: ③∠AOQ=∠B0Q:④点Q到OA和OB的距离 相等. A.39 B.40° C.41° D.42 第四单元三角形65 8.教材（人教七下P24T8改编）当光线从空气射 (1)∠1的对顶角是 同位角是 入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就 是光的折射现象（如图），已知水面与容器的底 (2)∠2的内错角是 同旁内角是 面平行，且∠1=80°，∠2=40°，则∠3的度数 为 () (3)有下列结论：①若∠1=∠5，则AD∥BC: ②若∠3=∠6，则AD∥BC:③若AD∥BC,则 ∠4=∠5.其中正确的是 ·(填序号) (4)已知直线a∥b,完成下列填空： A.30 B.40° C.50° D.70 ①若∠1=70°，则∠5=一，∠7= 9.真题(2022安顺)如图，a∥b,将一个等腰直角 ②若∠1=70°，AC平分∠BAD,则∠3= 三角板放置到如图所示位置.若∠1=15°，则 ∠2的大小是 ③若AC⊥AB,∠3=24°，则∠1= 考点3命题与定理 11.教材（人教七下P21T1改编）下列命题中正 A.20° B.250 C.30 D.45 确的是 () 10.教材（人教七下P7例2改编）如图.已知直线 A.过一点有且只有一条直线平行于已知直线 a,b,直线c分别交直线a,b于点A,B. B.不相交的两条直线，叫做平行线 C.若两条直线被第三条直线所截，则同位角 D a 相等 D.若两条直线被第三条直线所截得的内错角 相等，则同位角也相等 新教材素材 新人教七上阅读与思考一角的度量 我国夏商时代就出现了校验直角的工具一一“矩”，《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之 宣，一宣有半谓之橱（ú）…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做橱 …”.即：1宜=2矩，1榍=1宜（其中，1矩=90），问题：图1为中国古代一种强弩图，图2 为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1椰，则∠C的度数为 图1 图2 A.159 B.22.5 C.309 D.459 温馨提示 请完成分层进阶练习册P33~P34习题 66 众相原创赋能中考贵州数学.点S与对称轴的距离为lx,+11,且0<x+1I≤1，点T与 六.AC=BD.(答案不唯一) 对称轴的距离为馬+1，且1<压+<。 3.(1)证明略： (2)解：△ABN≌△MAD,∴DM=AN=4. “点S与对称轴的距离小于点T与对称轴的距离 AB=AM=√AD+D=√2+4=25】 .抛物线的开口向下， “.与对称轴的距离越小的点的纵坐标越大， 六S时eaw=SEea-2SAm=25×2-2X4x2 2 .y,>y 45-8 第四单元三角形 4.(1)60° 第一节线段、角、相交线与平行线 (2)证明：：∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°， ①两②线段③线段的长度④BC⑤AC⑥BC ∠CMB=60°，∠CDB=120°.，∴.∠C+∠ABD=180° ⑦Ac8B⑨5090°90°<a<180 ,:∠ABD+∠DBF=180°..∠C=∠DBF 21809 CE BF. B360°14524q690°17相等18180° 四相等 在△DEC和△DFB中， ∠C=∠DBF 习相等①相等②角平分线②】 ②PN5∠2或 CD BD. △DEC≌△DFB(SAS),+DE=DF ∠4函∠1或∠3团180②∠3四∠4闭相等 (3)解：CE+BG=EG.证明如下： 闭∠5®∠68∠7∠85∠80∠5∠5 ∠CDB=120°，∠EDG=60°. ∠8测一0垂线段①垂线段的长度2相等 ∴.∠CDE+∠BDG=120°-60°=60° 3垂直平分线种⊥5=0=7一8∥9相 由(2)知.△DEC≌△DFB, 等团L2①相等配L3⑧互补180°5距离 ∴.∠CDE=∠BDF,DE=DF, 0相等动+都 .∠GDB+∠BDF=60°，即∠FDG=60°， 1.(1)两点确定一条直线(2)③两点之间，线段最短 ,'∠EDG=∠FDG 2.(1)2或4(2)1.51或2 DE DF. 3.(1)85.46锐角(2)4.5494.54(3)42.73 在△DEG和△DFG中 ∠EDG=∠FDG. (4)2(5)①23④ DG=DG. 4B5A6空 7.B8.B9.C ∴△DEG≌△DFG(SAS),·FG=EG CE BF,:.CE+BG=EG. 10.(1)∠2∠5(2)∠5∠7(3)①②(4)①70 (4)解：，AC=AB,DC=DB,AD=AD.,△ADC≌△ADB, 110②55°3660 ∠EAD=∠GAD=30°，∠ADC=∠ADB=60°， 1L.D新教材素材B ∴，∠C=∠ABD=90°，∴.DB⊥AB.DC⊥AC 第二节三角形及其基本性质 AE =AG. ①不相等②等边三角形③直角三角形④90 在△ADE和△ADG中， ∠EAD=∠CGAD ⑤大于⑥小于⑦a-b<c<a+b⑧180°⑨等于 LAD=AD 0不相邻①和②大于B=①=590 △ADE≌△ADG(SAS)..SAE=Sac 5aum=2AC=×8x6=24. 1 6内部直角边⑧内部四外部0内部 2时8-半 巧相等垂直平分线 7三个 六Sg边影%=2S640E=48. 新教材素材 顶点公外接圆 四中点国 ∠COG=∠DOG△EOG△FOG 小专题培优2六大常见全等模型 1.(1)1<AC<5(2)①85②45③1565 1.证明：.AB∥DE,∴.∠B=∠DEF 2.123.B BE =CF. 4.(1)①垂心②40°130°(2)①19②18 31:2 ∴BE-CE=CF-CE,即BC=EF (3)①115°25°②2 又：AB=DE,.△ABC≌△DEF 第三节全等三角形 【变式】证明略 ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等 2.证明：，：∠BAD=∠EAC ⑥相等⑦①三边⑧夹角⑨夹边0对边 ∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD, 1.(I)AB=DE(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF) 即∠BAC=∠EAD (3)∠A=∠D(4)AC=DF 又AB=AE,AC=AD (5)证明略. △ABC≌△AED 2.(1)①③② 【变式1】证明略。 (2)证明：在△AOC和△B0D中， 【变式2】证明略. r∠A=∠B 3.证明略 ∠AOC=∠B0D.,∴.△AOCa△BOD(AAS). 4.解：DC=BE 0C=0D 理由如下：AD⊥AB,AE⊥AC 贵州数学9