第3单元 第5节 二次函数的应用与综合-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

第五节 二次函数的应用与综合 (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院 考点1二次函数的实际应用(2024.24. 赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为 2023.24.贵阳5年3考) 确保该种糖果日销售获得的最大利润为392 考向1最值问题 元，求m的值 【解题思路】1.审题，找出题目中的数量关系； 2.根据数量关系确定二次函数解析式和自变量的 取值范围： 3.利用二次函效的性质（增减性或最值），结合自变 量的取值范围进行求解 【常用等量关系】1.常用公式 (1)每件利润=每件售价-每件成本： (2)总利润=每件利润×销售量： 2.真题(2020责阳24题12分)2020年体育中考 (3)利润率=利润÷成本×100% 增设了考生进入考点需进行体温检测的要求 2.每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，则涨价x 防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检 元时，少卖的敏量为工·b件 测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入 考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化 1.真题(2024贵州24题12分)某超市购入一批 情况，数据如下表：（表中9~15表示9<x≤15） 进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查 时间 2 5 6 7 9-15 发现：销售单价不低于进价时，日销售量y x(分钟) (盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表 人数 0170320450560650720770800810810 是y与x的几组对应值， (人) 销售单价x/元…1214 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人 16 18 20 数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识 销售量y/盒…5652 484440 求出y与x之间的函数关系式； (1)求y与x的函数表达式： (2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温 (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售 检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人， 利润最大，最大利润是多少？ 考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少 人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ 54众相原创赋能中考贵州数学 (3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全 (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线， 部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增 其表达式为y=-x2+2b+b-1(b>0),当 加几个检测点？ 4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9，求b的 取值范围. 备用图 考向2他物线型问题 【解题思路】1.建坐标系：观察、分析图象，根据题意 建立合适的平面直角坐标系，将题目中的条件转化 为点的坐标： 2.找点设式：找出抛物线的顶，点和另一点坐标或与x 轴的两个交点和另一点坐标，设出二次函数解析式： 3.代值求式：将已知点的坐标代入所设解析式，运 用待定系数法求出二次函数解析式； 4,计算检验：利用二次函数的性质进行相关计算， 并检验结果是否符合实际要求 3.真题(2023贵州24题12分)如图1，是一座抛 物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图 启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物 线的一部分（如图2所示），抛物线的顶点在C 处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC=9,点A 在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA=3, 点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，为更加稳固，小星想在OC上找一点 P,加装拉杆PA,PB,同时使拉杆的长度之和最 短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标： 第三单元函数55 考向3其他问题 【解决问题】 4.真题(2018贵阳22题10分)六盘水市梅花山 (2)求二次函数的表达式； 国际滑雪场自建成以来，吸引大批滑雪爱好 者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y(单 位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的关系可以 近似的用二次函数来表示 滑行时间x/s 0 1 2 3 滑行距离y/m 0412 24 … (1)根据表中数据求出二次函数的表达式.现 测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约为 840m,他需要多少时间才能到达终点？ (3)连接BC,若点P在y轴上，BP和BC的夹 (2)将得到的二次函数图象补充完整后，先向 角为15°，求线段CP的长： 左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长 度，求平移后的函数表达式 (4)当a≤x≤a+1时，二次函数y=x2+bx+c 的最小值为2a,求a的值： 考点2 二次函数的性质综合题(2023.24 贵阳2019.24) 5.真题(2019贵阳24题改编)如图，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y 轴交于点C,且关于直线x=1对称，点A的坐标 为(-1,0) 【铺垫设问】 (1)点B的坐标为 56众相原创赋能中考贵州数学 【拓展探究】 (6)在抛物线上是否存在点Q,使以B,Q,C为 (5)若E为第四象限内抛物线上一点，△EBC 顶点的三角形是直角三角形(Q不是直角顶 的面积是否存在最大值？若存在，求出△EBC 点)？若存在，请求出所有符合条件的点Q的 的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请 坐标：若不存在，请说明理由。 说明理由； 新致材素利新北师七上综合与实践一制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 【阅读与思考】下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务 ×年×月×日星期六 。“用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划用一张如图1所示的边长为30℃m的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体收 纳盒，我也积极参与了收纳盒的设计与制作.根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使收纳盒 的容积最大，现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体收纳盒的容积最大？我通过绘制图象 来解决以上问题 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示 的无盖长方体收纳盒.设四个角上分别剪去的正方形的边长为xcm,收纳盒的底面积为Scm, 容积为Vcm,通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定 当x为何值时，所制作的无盖长方体收纳盒的容积最大 V/cm 2000F 1600 1200 800r 4007 (0 5 10 15x/cm 图1 图2 图3 任务： (1)当x= cm时，无盖长方体收纳盒的容积最大，最大值为 cm'; (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围： (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 温馨提示 请完成分层进阶练习册P29~P32习题 第三单元函数57新教材素材 又.点M,N在二次函数图象的对称轴的异侧玉，-x,-2, 14 解：(1)y与x之间的函数表达式为y= .点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧。 ,当x,≤x≤时，函数在x=2处取得最小值-1 (2)56 当x,≤x≤x2时，函数的最大值与最小值的差为1， (3)0.2 ,当x,≤x≤2时，函数的最大值为0 第四节 小 二次函数的图象与性质 ①若y1≥2，则2-x,≥龙-2，即2-x,≥x1+2-2,解 ①常数项②横 ③上④下=-品 得x,≤10<x1≤1. :函数的最大值为y=a(x-2)2-1=0, 0(-六“。)⑦减小8维大⑨带大 0减小 1 6a=(G-2刃心4<a≤1 ⑩-六卫-1B-1-25a(x-h+6 ②若为<为2，则2-x,<x-2,即2-<x1+2-2,解 得x1>1,∴1<x1<2. 0a(x-x,)(x-名）⑦+8+四-②- 函数的最大值为y=a(x2-2)2-1=a-1=0, ①+2-☒(h-m,k)y=a(x-h)2+k+m 5(h.-k)国y=a(x+h)2+k0(-h,-k) 4<a<1. 奶不相等的四两个交点☒两个相等的实数根 1.向上 综上所述，a的取值范围为}<a≤1 2.(1)(0,3)x=-1(2)<-1>-1(3)y≥1 小专题培优1二次函数的对称性、增藏性和 1≤y≤91≤y≤3(4)<<(5)为<为< 最值问题 3.D4.D5.A 1.C2.C3.C4.x=2或x=-65.C 6.(1)y=-x2+2x+3(2)y=(x-2)2+8 【变式】(1)y=x2-4x+3(2)y=-x2+2x+3 6.B【解析】a<0,.抛物线y=ar2-2x+x-2开口 (3)y=x2-2x-2 向下，对称轴为直线x<0当x>0时y随： 7.y=x2-4x-5 的增大而减小.：抛物线y=ax2-2x+ax-2(a<0)经 8.B【拓展设问】1（答案不唯一）1（答案不唯一） 过点A(2,y,),B(m,),且A,B均在y轴右侧，少，<， 9.y=x2-x-6 ∴，0<m<2. 10.(1)x1=-3,x2=0(2)x1=-3,x2=1 7.A【解析】小：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次 (3)-3<x<1(4)2 函数的顶点坐标为(-1,4)，且二次函数的图象开口向 11.D【解析】如解图，当y=0时，-x2+x+6=0,解得 x1=-2,=3,则A(-2,0),B(3.0),将该函数图象 下：当x=分时y=子>1心a<-1,当y=1时。 在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方的部分的解 析式为y=(x+2)(x-3)(-2<x<3),即y=x2 -a2-2a+3=1,解得a=-3-1或a=3-1(舍 x-6(-2<x<3),当直线y=-x+m经过点A(-2 去)，放a的值为-3-1. 0)时，2+m=0,解得m=-2:当直线y=-x+m与抛 8.2≤1≤4【解析】小：y=x2-2x=(x-1)2-1,抛物线 物线y=x2-x-6(-2<x< 的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1，一1)，∴.横坐 3)有唯一公共点时，方程x 标为-1的点关于直线x=1的对称点的横坐标为3， -x一6=-x+m有两个相 :-1≤x≤1-1，当x=-1时，函数取得最大值，1 等的实数根，解得m--6, 1≤3.又当x=1时，函数取得最小值，.1-1≥1， ∴，当直线y=-x+m与新图 ∴1≤1-1≤3，解得2≤t≤4 象有4个交点时，m的取值范 第五节二次函数的应用与综合 围为-6<m<-2. 1.解：(1)y与x的函数表达式为y=-2x+80: 12.解：(1)y=a(x-2)2-1(2)x=2(2,-1) (2)设日销售利润为w元. (3)①该二次函数的表达式为y=2-2x+1 w=(x-10)(-2x+80)=-2x2+100x-800=-2(x -50x+625)-800+1250=-2(x-25)2+450. 2> -2<0..当x=25时，w最大，最大值为450 ③点M的坐标为(1，-2) 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大 最大利润是450元： (4)x1=-1,x2-1=2,.x=1 (3)由题意，得w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x2+ 将x,=-1,=1分别代入y=a(x-2)2-1. (100+2m)x-800-80m 得为=9a-1,2=a-1, :最大利润为392元， 1-为=8a=3a=8 4×(-2)×(-800-80m）-(100+2m2=392. 4×(-2) :该二次函数的表达式为y=名-子+宁 整理得m2-60m+116=0,.(m-2)(m-58)=0. 解得m1=2,m2=58. (5),>0.∴，二次函数的图象开口向上 当m=58时，x=54(不符合题意，舍去)，，m=2. 由(2)可知，二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)： 2.解：(1)y与x之间的函数关系式为 6 众相原创赋能中考 ={0g10s9 ÷二次函数的表达式为y=22+2x 当y=840时，2x2+2x=840,解得x1=20,x2=-21(舍 (2)设第x分钟时的排队人数为W人。 去)， 由题意，得 ∴他需要208才能到达终点 「-10x2+140x(0≤x≤9)， e=y-40x= 1810-40x(9<x≤15). （2y=2x+2=2(x+P-2 ①当0≤x≤9时，w=-10r2+140x=-10(x-7)2+490. 六平移后的函数表达式为y=2(x+2+宁)产- .-10<0. 2+5 .当x=7时，n取得最大值490： 2++号 ②当9<x≤15时，e=810-40x,随x的增大而减小， ,.210≤0<450. 5.解：(1)(3,0) 综上所述，排队人数最多时有490人， (2)二次函数的表达式为y=x2-2x-3。 令810-40x=0,解得x=20.25, (3)在y=x2-2x-3中， .全部考生都完成体温检测需要20.25分钟： 令x=0,得y=-3,.点C的坐标为(0，-3) (3)设从一开始就应该增加m个检测点。 .0B=0C=3,.∠0BC=45 如解图I,若点P在点C的上 由题意，得12×20(m+2)≥810，解得m≥8 11 方，则∠0BP=45-15°=30°， :m是整数，m的最小值为2。 ∴OP=OB·tan∠OBP=3× ∴.从一开始就应该至少增加2个检测点 3.解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+9: 3=3CP=3-5 (2)如解图，作点A关于y轴 若点P在点C的下方，则 的对称点A'(-3,0),连接 ∠0BP'=45°+150=60°， A'B交OC于点P,则点P即 .OP'=OB·an∠OBP'=3× 为所求. P 3=33, 解图1 把x=1代入y=-x2+9,得 CP'=35-3 y=8..B(1,8). 综上所述，CP的长为3-3或33-3. 设直线A'B的表达式为y= (4)若a+1≤1，即a≤0，则函数的最小值为(a+1)尸- kx+m(k≠0). A'0 将A'(-3,0),B(1,8)分别 2(a+1)-3=2a,解得a=1-5(正值已舍). 若a<1<a+1.即0<a<1,则函数的最小值为1-2 代人y=任+m,得{仁3+0解得=之。 1k+m=8, 3=2a,解得a=-2(舍去). lm=6. 若a≥1，则函数的最小值为a2-2a-3=2a,解得a 直线A'B的表达式为y=2x+6, 令x=0,得y=6.点P的坐标为(0,6)： 2+7(负值已舍).综上所述，a的值为1-5或2+7. (3)y=-x2+2r+b-1=-(x-b)2+62+b-1, (5)存在. .抛物线开口向下，对称轴为直线x=b,顶点坐标为 由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的表达式为y=x-3. (b,b2+b-1). 如解图2，过点E作EM∥y轴，交BC于点M 设点E的坐标为(x,x2-2x Y 当0<b≤4时，得-62+12b+b-1≥9， 3)(其中0<x<3),则点M的 解得6≥治治≤6≤4 坐标为(x,x-3), 当4<b<6时，若6-4>6-b.则b>5. ∴EM=x-3-(x2-2x-3)= -x2+3x. 六-4+8弘+6-1≥9，解得6≥55<6<6： 0B=3.Sa=20B 若b-4≤6-b.则6≤5， 3 六-6+126+6-1≥9，解得6≥治4<b≤5 9 EW=-2+2x=- 3 2 (x 解图2 .当4<b<6时，都成立 当6≥6时，得-4+86+6-1≥9，解得b≥2 、3 <0,当x= 之时，△EBC的面积取得最大值 .b≥6都成立. 综上所述.6的取值范围为5≥治 此时点E的坐标为（子、一孕 (6)存在.由(5)可知，直线BC的表达式为y=x-3. 4.解：(1)：二次函数的图象过点(0,0)， ①当B是直角顶点时，易得过点B且与BC垂直的直线 ∴.设二次函数的表达式为y=a+x(a≠0). 的表达式为y=-x+3. 将(1,4)，(2,12)分别代人上式， 得2.解得化子： 联立2-3解得=32 1y=-x+3, ly1=0,l%2=5, 1b=2. 贵州数学7 ·点Q的坐标为(-2,5)： ②当C是直角顶点时，易得过点C且与BC垂直的直线 23 3 的表达式为y=-x-3 ④设点P的纵坐标为y 联立-2-3得点0的坐标为1，-4 ly=-x-3, 则5am=l·B=21, 综上所述，点Q的坐标为(-2,5)或(1，-4) 2 新教材素材 3 2 解：(1)52000 3 解得yr= (2)依题意，得S=(30-2x)2=4x2-120x+900(0<x< 或n=-2 2 15): 将)=代入y=号+6，解得=- 4 8 (3)在解决生活中的问题时，可以尝试使用函数（答案不 唯一. 北时点P的坐标（一： 单元整体构建 代入y=子+6，解得x=-5 3 4 易错题专练 将y=- 1.-2【变式】12.-2【变式】-1 453 32【变式】-34.C 此时点P的坐标为(-8，一2) 5.y=2x2-4x-6或y=-2x2+4x+6 6.解：(1)-10.x+800 综上所述点P的坐标为(-子或(-： (2)设每天获得的利润为元. 则e=(x-30)(-10x+800)=-10x2+1100x- ⑤平移后的图象对应的函数解析式为y=:一子)+ 24000 6= 7 =-10(x-55)2+6250. 3+3 :单件该商品的利润率不能超过60%， 4 7 -30 [y=3x+3 ×100%≤60%，解得x≤48. 联立解析式，得 30 6 =- ,-10<0 .当x=48时，有最大值，最大值为5760. 整理，得4x2+17x+18=0. 答：当售价定为48元/件时，商家销售该商品每天获得 9 的利润最大，最大利润为5760元 解得=-4西=-2 知识整合 当=-时y=: -8 1.C2.y=-x2-2x+3 一题一单元 当x=-2时，y=3. 解：(1)(-3,0)(-3,4)(1,4) 交点坐标为(-？号)和(-2.3： (2)①y=3x+1 2四⑧<④6 ⑥向下平移n个单位长度后得到的图象对应的函数解析 ⑤设平移后的图象对应的函数解析式为y=3x+P. 式为y=亭+6-m 将A(1.0)代入上式，得3+p=0,解得p=-3, ·.平移后的图象对应的函数解析式为y=3x-3 令子+6-n=-名，整理，得4+3(6-nx+18=0 4 原一次函数的解析式为y=3x+1, 4=[3(6-m)]2-4×4×18=0, “.平移方式可以是向下平移4个单位长度.（答案不唯 解得m1=6-42,2=6+42(舍去)， ⑥)=-3x+1 ·当两个图象只有一个交点时，n的值为6-42：当两个 (3)0=+6y=-6(x<0) 4 图象没有交点时，n的取值范围为n>6-4,2. (4)①A(1.0),B(-3.0). ②<-3度-}<<0 抛物线的对称轴为直线x=-1. :抛物线的顶点在线段CD上， 3设CD与y轴的交点为Q. 顶点坐标为(-1,4)， ~反比例函数的解析式为y=-6 ∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4. 将A(1,0)代入上式，得a(1+1)2+4=0. Same=saw=2×6=3 解得a=-L, C(-34),B-4).F-3.2), :抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3: ②y=x2-6x+5 w=3x4=l12,GB=号，cf=2. ③y,>y理由如下： 由①知，抛物线的对称轴为直线x=-1, 六Sam=Se影mw-Samm-Saw-Sm=12-3-3-2×点S,T都在抛物线上，且-2≤龙，<-1,0<￥<2， 8众相原创赋能中考