第3单元 第4节 二次函数的图象与性质&小专题培优1 二次函数的对称性、增减性和最值问-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

新教材素材 又.点M,N在二次函数图象的对称轴的异侧玉，-x,-2, 14 解：(1)y与x之间的函数表达式为y= .点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧。 ,当x,≤x≤时，函数在x=2处取得最小值-1 (2)56 当x,≤x≤x2时，函数的最大值与最小值的差为1， (3)0.2 ,当x,≤x≤2时，函数的最大值为0 第四节 小 二次函数的图象与性质 ①若y1≥2，则2-x,≥龙-2，即2-x,≥x1+2-2,解 ①常数项②横 ③上④下=-品 得x,≤10<x1≤1. :函数的最大值为y=a(x-2)2-1=0, 0(-六“。)⑦减小8维大⑨带大 0减小 1 6a=(G-2刃心4<a≤1 ⑩-六卫-1B-1-25a(x-h+6 ②若为<为2，则2-x,<x-2,即2-<x1+2-2,解 得x1>1,∴1<x1<2. 0a(x-x,)(x-名）⑦+8+四-②- 函数的最大值为y=a(x2-2)2-1=a-1=0, ①+2-☒(h-m,k)y=a(x-h)2+k+m 5(h.-k)国y=a(x+h)2+k0(-h,-k) 4<a<1. 奶不相等的四两个交点☒两个相等的实数根 1.向上 综上所述，a的取值范围为}<a≤1 2.(1)(0,3)x=-1(2)<-1>-1(3)y≥1 小专题培优1二次函数的对称性、增藏性和 1≤y≤91≤y≤3(4)<<(5)为<为< 最值问题 3.D4.D5.A 1.C2.C3.C4.x=2或x=-65.C 6.(1)y=-x2+2x+3(2)y=(x-2)2+8 【变式】(1)y=x2-4x+3(2)y=-x2+2x+3 6.B【解析】a<0,.抛物线y=ar2-2x+x-2开口 (3)y=x2-2x-2 向下，对称轴为直线x<0当x>0时y随： 7.y=x2-4x-5 的增大而减小.：抛物线y=ax2-2x+ax-2(a<0)经 8.B【拓展设问】1（答案不唯一）1（答案不唯一） 过点A(2,y,),B(m,),且A,B均在y轴右侧，少，<， 9.y=x2-x-6 ∴，0<m<2. 10.(1)x1=-3,x2=0(2)x1=-3,x2=1 7.A【解析】小：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次 (3)-3<x<1(4)2 函数的顶点坐标为(-1,4)，且二次函数的图象开口向 11.D【解析】如解图，当y=0时，-x2+x+6=0,解得 x1=-2,=3,则A(-2,0),B(3.0),将该函数图象 下：当x=分时y=子>1心a<-1,当y=1时。 在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方的部分的解 析式为y=(x+2)(x-3)(-2<x<3),即y=x2 -a2-2a+3=1,解得a=-3-1或a=3-1(舍 x-6(-2<x<3),当直线y=-x+m经过点A(-2 去)，放a的值为-3-1. 0)时，2+m=0,解得m=-2:当直线y=-x+m与抛 8.2≤1≤4【解析】小：y=x2-2x=(x-1)2-1,抛物线 物线y=x2-x-6(-2<x< 的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1，一1)，∴.横坐 3)有唯一公共点时，方程x 标为-1的点关于直线x=1的对称点的横坐标为3， -x一6=-x+m有两个相 :-1≤x≤1-1，当x=-1时，函数取得最大值，1 等的实数根，解得m--6, 1≤3.又当x=1时，函数取得最小值，.1-1≥1， ∴，当直线y=-x+m与新图 ∴1≤1-1≤3，解得2≤t≤4 象有4个交点时，m的取值范 第五节二次函数的应用与综合 围为-6<m<-2. 1.解：(1)y与x的函数表达式为y=-2x+80: 12.解：(1)y=a(x-2)2-1(2)x=2(2,-1) (2)设日销售利润为w元. (3)①该二次函数的表达式为y=2-2x+1 w=(x-10)(-2x+80)=-2x2+100x-800=-2(x -50x+625)-800+1250=-2(x-25)2+450. 2> -2<0..当x=25时，w最大，最大值为450 ③点M的坐标为(1，-2) 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大 最大利润是450元： (4)x1=-1,x2-1=2,.x=1 (3)由题意，得w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x2+ 将x,=-1,=1分别代入y=a(x-2)2-1. (100+2m)x-800-80m 得为=9a-1,2=a-1, :最大利润为392元， 1-为=8a=3a=8 4×(-2)×(-800-80m）-(100+2m2=392. 4×(-2) :该二次函数的表达式为y=名-子+宁 整理得m2-60m+116=0,.(m-2)(m-58)=0. 解得m1=2,m2=58. (5),>0.∴，二次函数的图象开口向上 当m=58时，x=54(不符合题意，舍去)，，m=2. 由(2)可知，二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)： 2.解：(1)y与x之间的函数关系式为 6 众相原创赋能中考第四节 二次函数的图象与性质 一阶教材知识全梳理 考点工二次函数的概念及图象与性质（重，点） 1.概念 一般地，形如y=a2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和① 2.表达式的三种形式 (1)一般式：y=a.r2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)： (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)： (3)交点式：y=a(x-x,)(x-x2)(a≠0)，x1,x2为抛物线与x轴交点的② 坐标 3.二次函数的图象与性质 解析式 y=ax2+bx+c(a≠0) a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 开口向③ 开口向④ 对称轴 直线⑤ 顶点坐标 ⑥ 在对称轴左侧，y随x的增大而⑦ 在对称轴左侧，y随x的增大而⑨ 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而⑧ 在对称轴右侧，y随x的增大而0 当x=① 时，y取得最小值，最小值 当x=一品时，)取得最大值，最大值 最值 为4ae-6 4a 为4ac-b2 4a 【特别提醒】(1)二次函数的图象为抛物线：(2)1al相同，说明抛物线的开口大小相同：1a越大，开口越 小；（③）在利用二次函数的图象与性质比较二次函数图象上点的横坐标或纵坐标的大小时，要综合运用 其增减性与对称性：首先利用对称性将，点均转化至对称轴的同一侧，再利用增减性进行判断， 考点2 二次函数图象与系数的关系 系数 a a,b 符号 a>0 a<0 b=0 ab>0 ab<0 c=0 c>0 c<0 图象 开口 开口 对称轴为 对称轴在y 对称轴在y 与y轴正 与y轴负 经过原点 特征 向上 向下 y轴 轴左侧 轴右侧 半轴相交 半轴相交 48 众相原创赋能中考 贵州数学 续表 先把含a,b,c的项移到等式（或不等式）的一边 b-4ac≥0，图象与x轴有交点 b-4ac<0,图象与x轴没有交点 特殊 关系 看到2a+b,比较 和1的大小 20 看到2a-b,比较- 和吧 的大小 看到a+b+c,找当x=1时y的值 看到a-b+c,找当x=B 时y的值 看到4a+2b+c,找当x=2时y的值 看到4a-2b+c,找当x=④ 时y的值 考点3二次函数解析式的确定（重点） 1.基本方法：待定系数法； 2.步骤：设解析式→代人已知点的坐标，得方程（组）→解方程（组）→得解析式； 3.根据已知条件，设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点坐标(h,k)+其他点坐标 顶点式：y= (a≠0) 与x轴的两个交点的坐标(x,0),(x2,0)+其他点坐标 交点式：y=0 (a≠0) 【技巧点拨】(1)当抛物线与x轴的两个交点的坐标为(，0)，(，0)时，抛物线的对称轴为直线x= 】;(2)当已知抛物线与x轴的一个交点坐标+对称轴时，可求出抛物线与x轴的另一个交点的坐 标，仍可设交点式 考点④二次函数图象的变换（重点） 1.二次函数（一般式）图象的平移 平移前的解析式 平移方式(m>0) 平移后的解析式 口诀 向左平移m个单位长度 y=a(x17 m)2+b(x8 m)+c 左加右减自变量 y=ax'+bx+e 向右平移m个单位长度 y=a(x四 m)2+b(x2 m）+c (a≠0) 向上平移m个单位长度 y=ax+bx +c2 m 上加下减常数项 向下平移m个单位长度 y=ax'+bx +c 【特别提醒】点平移的坐标变化规律是“左减右加，上加下减”，通数图象平移的变化规律是“左加右减， 上加下减”，切勿搞混！ 2.二次函数（顶点式）图象的平移、翻折（对称）与旋转 变换前图象的解 变换后 变换后的 变换方式(m>0) 变换后图象的解析式 析式及顶点坐标 的a值 顶点坐标 向左平移m个单位长度 a 雪 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 a (h+m,k) y=a(x-h-m)2+k 向上平移m个单位长度 0 (h,k+m) 4 y=a(x-h)2+k. 向下平移m个单位长度 a (h,k-m) y=a(x-h)2+k-m (h,k) 沿x轴翻折（关于x轴对称） -d 雪 y=-a(x-h)2-k 沿y轴翻折（关于y轴对称） (-h,k) 绕顶点旋转180° -d (h,k) y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180 -d 20 y=-a(x+h)2-k 第三单元函数49 考点了二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2+br+c=0的根是抛物线y=ar2+br+c与x轴交点的横坐标 4=b2-4ac 方程ax2+br+c=0的根 抛物线y=ax2+br+c与x轴的交点 4>0 两个四 实数根 29 4=0 30 一个交点 △<0 没有实数根 没有交点 2.二次函数与不等式的关系 (1)ax2+bx+c>0一二次函数y=ax2+br+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围： (2)ax2+bx+c<0=二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 考点1二次函数的图象与性质(2024.12， 说法正确的是 2023.24(2)(3),贵阳5年4考) A.二次函数图象的对称轴是 (-1,4) 直线x=1 1.真题(2021贵阳13题4分)二次函数y=x的图 B.二次函数图象与x轴的另 象开口方向是 (填“向上”或“向下”) 一个交点的横坐标是2 7-30 2.教材（人教九上P41T7改编）已知二次函数 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 y=2x2+4x+3. D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 (1)该二次函数的图象与y轴交于点 考点2二次函数图象与系数的关系 对称轴为直线 (2023.10) (2)当x 时，y随x的增大而减小：当 时，y随x的增大而增大： 4.真题(2023贵州10题3分)已知，二次函数 (3)该函数值y的取值范围是 :当-2≤ y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a,b) x≤1时，函数值y的取值范围是 所在的象限是 () 当-2≤x≤0时，函数值y的取值范围是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 y%1x=1 (4)若该二次函数的图象经过点(-1，a), (2.b),则a b:若该二次函数的图象 经过点(-3，m),(2,n),则m n;(填 “>”“<”或“=”)】 第4题图 第5题图 （5)若点C(3）.D(-3),B(-)均 5.教材（北师九下P55随堂练习改编）已知二次 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 在该二次函数的图象上，则y1,2,y3的大小关 有下列5个结论：①abc>0:②b<4ac: 系为 .(用“<”连接) ③2c<3b:④a+b>m(am+b)(m≠1)：⑤若方 3.真题(2024贵州12题3分)如图，二次函数 程Iax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的 y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点 和为2.其中正确的结论有 () 的横坐标是-3，顶点坐标为(-1,4)，则下列 A.2个B.3个 C.4个 D.5个 50众相原创赋能中考贵州数学 考点3二次函数解析式的确定(2023.24(1) 贵阳5年4考) 【拓展设问】将抛物线y=- 2(x+1)2-1先 6.教材（人教九上P47T4改编）已知抛物线y= 向右平移 个单位长度，再向上平 ax2+bx+c. 移 个单位长度后，得到的新抛物线 (1)若抛物线经过点(3,0)，(-1,0)，(0,3)， 经过原点.（写出一种方式即可） 则该抛物线的解析式为 9.真题(2018贵阳10题改编)将抛物线y=-x2+ (2)若抛物线的顶点坐标为(2,8)，且经过点 x+6关于x轴作轴对称得到的新抛物线的解 (3,9),则该抛物线的解析式为 析式为 【变式】(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过点 考点5二次函数与一元二次方程、不等 (3,0),(0,3),则该抛物线的解析式 式的关系（贵阳5年3考） 为 10.教材（北师九下P51议一议改编）如图，已知 (2)已知抛物线y=ax2+2x+c经过点(-1， 次函数y=x+a和二次函数y=x2+bx的 0),(0,3),则该抛物线的解析式为 图象交于点A(-3,0)和点B. (3)已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴为 (1)方程x2+bx=0的解为 直线x=1,且经过点(1，-3)，则该抛物线的 (2)方程x2+bx-x-a=0的解为 解析式为 (3)不等式x+a>x2+x的解集是 7.真题(2019贵阳24题改编)如 (4)若1>0，则方程x2+bx=t的根的个数为 图，二次函数y=x2+bx+c的图 象与x轴交于A,B两点，与y轴 交于点C,且A(-1,0),对称轴 为直线x=2,则该抛物线的表 达式为 考点4二次函数图象的变换（贵阳5年3考） 11.真题(2018贵阳10题3分)已知二次函数 y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该 8.教材（人教九上P35例3改编）将抛物线y 二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x -(x+1)2-1先向左平移2个单位长度，再 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图 向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式 象（如图所示），当直线y=-x+m与新图象 为 有4个交点时，m的取值范围是 () Ay=-2x-102-2 8=7(+3 +32-2 A.- 2 4<m<3 B.、 4<m<2 Dy=-72-2 C.-2<m<3 D.-6<m<-2 第三单元函数51 三阶了分层设问攻重难 基幽·能力·培优 ●重难点二次函数的性质综合题 培优层》 12.点M(x1,y1),N(x2,2)都在二次函数y=ax (4)若x1=-1,y1-为2=3，求该二次函数的表 -4ax+4a-1的图象上，且x2-x1=2. 达式； 基础层》 (1)将该二次函数的表达式化为顶点式 是 (2)该二次函数的图象的对称轴为直 线 ,顶点坐标为 能力层)》 (3)若该二次函数的图象经过点(4,1) (5)若a>0且x1≤x≤x2时，该二次函数的最 ①求该二次函数的表达式： 大值与最小值的差为1，点M,N在二次函数 图象的对称轴的异侧，求a的取值范围. ②若0<x<1,则为2；（填“>”“<” 或“=”)》 ③若y1=2,求点M的坐标 温馨提示 请完成分层进阶练习册P27~P28习题 52众相原创赋能中考贵州数学 小专题培优1 二次函数的对称性、增减性和最值问题 (近5年必考)】 类型T二次函数的对称性问题(2024.12) 类型2二次函数的增减性和最值问题 (2023.24(3),贵阳5年3考】 【方法总结】考法1：求对称轴或利用对称轴求表达 式中的未知参数：①利用x=-力求解：②若已知两 【方法总结】二次函数在区间内的增减性和最值问 题，已知a≤x≤b 点的纵坐标相等，横坐标不相等(x,≠2)，则对称轴 若二次函数的图象开口向上： 为直线x=名+5 1.当对称轴在a≤x≤b右边，y随x的增大而减小， 2 最大值为y,最小值为y: 考法2：求抛物线上某点关于对称轴的对称点：根据 2.当对称轴在a≤x≤b内，在对称轴处取得最小值，两 对称轴为直线=三，即中点关系进行求解，如 端，点看谁离对称轴远，离对称轴较远处取到最大值： 2 3.当对称轴在a≤x≤b左边，y随x的增大而增大， 已知对称轴为直线龙=h,与x轴的一个交点的坐标 最大值为y6,最小值为y。 为(P,0),则与x轴的另一个交点的坐标为(2h-P, 若二次函数的图象开口向下： 0),任意一点(m,n)关于对称轴的对称点的坐标为 同理以对称轴为界限分三种情况讨论 (2h-m,n) 5.已知二次函数y=-x2+2mx-m2+2m-6(m 1.若抛物线y=x2+ax+2的对称轴是y轴，则a 是常数)的图象与x轴没有交点，且当x<-1 时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围 的值是 ( 是 () A.-2 B.-1 C.0 D.2 A.m<-1 B.m<3 2.(2024黔东南州榕江县模拟)已知二次函数y= C.-1≤m<3 D.-1<m≤3 x2-2mx+1(m为常数)的图象经过点A(m-1,6.已知抛物线y=ax2-2x+ax-2(a<0)经过点 y),B(m+1,2),则y,y2的大小关系是( A(2,y,),B(m,2),且A,B均在y轴右侧.若 为，<y2,则m的取值范围为 () A.y>y B.y<y2 A.0<m<1 B.0<m<2 C.六1=y2 D.与m的值有关 C.m>1 D.m>2 3.(2024贵州12题改编)二次函数y=2x2- 7.(2024贵阳白云区模拟)已知二次函数y= 8x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个 --2x+3,当u≤≤时，函数值y的最小 交点的坐标为(-1,0)，则另一个交点的坐标 值为1，则a的值为 () 为 ( A.-3-1 B.3-1 A.(-3,0) B.(3,0) C.-√3-1或3-1D.-3+1或3+1 C.(50) D.(9,0) 8.(2024乐山改编)已知二次函数y=x2-2x 4.已知抛物线y=a.x2+bx+c(a≠0)与x轴交于 (-1≤x≤1-1)，当x=-1时，函数取得最大 A,B两点，若点A的坐标为(-2,0)，线段AB 值：当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 围是 第三单元函数53