第3单元 第3节 反比例函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

第三节反比例函数及其应用 一阶了教材知识全梳理 考点工反比例函数的图象与性质（重点） 概念 般地，形如y=(k为常教，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数 解析式 y=(k为常数，k≠0) 取值范围 x≠0，y≠0 k的符号 k① 0 k② 0 yt 大致图象 所在象限 第③ 象限 第④ 象限 图象特征 双曲线，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 图象上点的 横坐标与纵坐标的积恒为⑤ 坐标特征 增减性 在每个象限内，)随x的增大而⑥ 在每个象限内，随x的增大而⑦) 中心对称：关于⑧ 成中心对称 对称性 轴对称：关于直线y=x和直线y=一x对称 【特别提醒】(1)反比例函数的图象只在每个分支上具有增减性，不能认为在整个自变量取值范围内增大 (或减小)：(2)在比较反比例函数图象上点的纵坐标大小时，需要分情况讨论：①若两点在同一象限，则根 据函数增减性来比较：②若两点在不同象限，则根据所在象限的纵坐标的符号进行比较，正数>负数 考点习反比例函数中k的几何意义 k的几何 如图，过双曲线y=上任意一点P(x,)分别作x轴，y轴的垂线PM, 意义 PN,所得矩形PMON的面积S=Ixyl=⑨ 一点一垂线： S所题=00 一点两垂线： S送=D 常见类型 两点一垂线： S阴影=2 两点两垂线： Sa =33 本￥ 42 众相原创赋能中考贵州数学 【特别提醒】(1)利用k的几何意义解题时，通常过图象上的点向坐标轴作垂线：(2)因为k有正、负之分， 所以用k表示三角形或四边形的面积时，要给k加绝对值 考点3反比例函数解析式的确定（重点） 1.用待定系数法确定反比例函数的解析式 2.利用的几何意义确定反比例函数的解析式. 【特别提醒】结合函数图象所在象限确定k的正负，从而得出k的值 考点④反比例函数的实际应用 1行程问题：速度一爵需路程一定时，滤度与时间成反比侧关系 2.销售问题：销量=销售额，销售额一定时，销量与售价成反比例关系 售价 3.面积问题（以矩形为例）：长=而积，面积一定时，长与宽成反比例关系 宽 4.表格数据类问题：当给出x,y的多组对应值，且每组对应值的乘积相同时，y是关于x的反比例函数 5.跨学科问题：①压强= 受力面积压力一定时，压强与受力面积成反比例关系： 压力 ②电流一电需，电压一定时，电流与电阻成反比例关系 【特别提醒】一般情况下，在反比例函数的实际应用题中，k是大于0的，x的取值范国也是大于0的，图 象位于第一象很 考点5反比例函数与一次函数结合（重点） 1.图象问题 假设法：针对每一个选项中的图象，先假设一次函数的图象正确，由此确定k的符号，再根据k的 符号判断反比例函数的图象，若符合，则图象正确：若出现矛盾，则图象不正确 2.交点个数问题 (1)大致图象判断法 函数类型 k与k同号 k与k'异号 结论 反比例函数y= ①k与k'同号，必有2个 太与正比例函 交点，且两个交点关于原 点对称： 数y='x ②k与'异号，无交点 反比例函数y= ①k与'同号，必有2个 k与一次函数 木特 交点： ②k与'异号，交点可能 y=k'x+b 有2个，1个或没有 第三单元函数43 (2)联立解析式判断法 步骤：①联立反比例函数和一次函数的解析式 Y= 得到=+b y=kx+b. ②化为一元二次方程2+bx-k1=0(k≠0，k≠0)； ③计算一元二次方程根的判别式△=2-4k(-k,)=62+4k,: ④由判别式△的符号判断交点的个数： 4>0台反比例函数的图象与一次函数的图象有四 交点： △=0台反比例函数的图象与一次函数的图象有可 交点； △<0一反比例函数的图象与一次函数的图象⑥ 交点 3.不等式问题 (此类题的设题背景通常为反比例函数和一次函数的图象有两个交点) 步骤 举例 (1)确定反比例函数图象与一次函数图象 XA.XH 的两个交点的横坐标 (2)分区：过两个交点分别作y轴的平行 区域1，Ⅱ，Ⅲ，N ='x+ 线，连同y轴将坐标平面分为四个部分 若兰>+6，则位于区域1， (3)观察函数图象找答案：根据图象在上 x的取值范围为x<x或0<x<x: 方的函数值比图象在下方的函数值大，在 各区域内找相应的x的取值范围 若<x+b,则位于区域Ⅱ，N, x的取值范围为xm<x<0或x>x 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 考点1反比例函数的图象与性质(2024. 2.真题(2022贵阳10题3分)如图，在平面直角 18(2).2023.21,贵2022.10)】 坐标系中有P,Q,M,N四个点，其中恰有三点 1.教材（湘教九上P10动脑筋改编）已知反比例 在反比例函数y=(k> 函数y= 0)的图象上.根据图中四点 的位置，判断这四个点中不 (1)若反比例函数的图象经过点(-2， -4),则： 在函数y=的图象上的点 ①k= 是 ②当-1<x<0时，y的取值范围是 A.点P B.点Q (2)若该函数图象经过第二、四象限，则实数k C.点M D.点N 的值可以是 ;(只需写一个即可)】 3.真题(2024贵州18题节选)点(-3，a),(1, (3)若k>0,点(xy)(,2)都在该反比例 函数的图象上，且x,<0<x2,则y,2的大小关 6),(3,c)都在反比例函数y=3的图象上，则 系为 ,(用“<”连接)》 a,b,c的大小关系为 ·（用“>”连接) 44众相原创赋能中考贵州数学 考点2反比例函数中k的几何意义 (3)如图，A为该反比例函数图象上一点，B,C (贵阳5年2考) 分别在x轴、y轴上，且矩形ABOC的面积为3， 则这个反比例函数的解析式为 4.真题(2020贵阳12题4分)如图，点A是反比 例函数y=3图象上任意一点，过点4分别作x 轴，y轴的垂线，垂足为B,C,则四边形OBAC 的面积为 第7题图 第8题图 8.真题(2020黔西南州)如图，在菱形AB0C中， AB=2,∠A=60°，菱形的一个顶点C在反比例 函数y=(:≠0)的图象上.则该反比例函数 的解析式为 第4题图 第5题图 考点④反比例函数的实际应用 【变式】（人教九下7例3改编）已知点A在 9.教材（人教九下P17T8改编）在物理学中，功 率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功 双曲线y=(k>0)上，过点A作AB1x轴于 率，即所做的功一定时，功率P(W)与做功所 点B,若△AOB的面积为6，则k的值为 用的时间1(s)成反比例函数关系，图象如图所 示，下列说法不正确的是 () 5.真题(2018贵阳12题4分)如图，过x轴上任 P/丙 意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数 y=2x>0y= 6(x>0)的图象交于A点 4000 4(15,4000 和B点，若C为y轴任意一点，连接AC,BC,则 15 a △ABC的面积为 A.P与1的函数关系式为P=60000 考点3反比例函数解析式的确定 (2024.18(1),2023.21(1).贵阳5年3考) B.当t=5时，P=12000 C.当t>5时，P>12000 6.真题(2024贵州18题节选)已知点(1,3)在反 D.P随t的增大而减小 比例函数y=本的图象上，则该反比例函数的 考点反比例函数与一次函数结合 表达式为 (2023.21(2),贵阳5年4考) 7.教材（人教九下P3例1改编）已知反比例函10.真题(2021贵阳10题3分)已知反比例函数 数y= y=本(k≠0)的图象与正比例函数y=x(a≠ (1)若该函数的图象过点(1,2)，则该反比例 0)的图象相交于A,B两点，若点A的坐标是 函数的解析式为 (1,2),则点B的坐标是 (2)若该函数的图象同时过点(m,m),(2m, A.(-1,2） B.(1,-2) -1),则该反比例函数的解析式为 C.(-1,-2) D.(2,1) 第三单元函数45 11.真题(2023贵州21题10分)如图，在平面直 (2)若一次函数y=+m与反比例函数y= 角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函 数)=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点 (x>0)的图象相交于点M,当点M在反比例 函数图象上D,E之间的部分时（点M可与点 D(4,1)和点E,且D为AB的中点 D,E重合)，直接写出m的取值范围 (1)求反比例函数的表达式和点E的坐标： 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培优 ●重难点与反比例函数有关的综合探究题 能力层》 12.(2019~2022贵阳真题组合改编)如图，已知 交点问题(3)(2021贵阳20题改编)已知反 一次函数y=-x-3的图象与反比例函数 比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y= y=的图象相交于A(-4,m),B(n,-4) ax(a≠0)的图象相交于M,N两点，若点M的坐 两点。 标是(b,2),则点N的坐标是 基础层》 (4)(2020贵阳19题改编)写出一个一次函 求函数表达式(1)(2022贵阳19题)求这个 数，使其图象过点(0,5)，且与反比例函数y= 反比例函数的表达式. 上的图象没有公共点。 反比例函数与不等式关系(2)(2022贵阳19 题)根据图象写出使一次函数值小于反比例 函数值的x的取值范围. 46众相原创赋能中考贵州数学 图象平移问题(5)(2020贵阳19题改编)将 (7)若一一次函数的图象交y轴于点E,过点A 一次函数y=-x-3的图象向上平移6个单 作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第 位长度，求平移后的图象与反比例函数y=冬 二象限的图象上一点，设直线OP与直线AD 交于F点，当S四边形OADE'SAODF=2:1时，求点P 图象的交点坐标 的坐标 培优层》 函数与几何图形结合(6)(2021贵阳20题改 编)过点A作AC⊥y轴于点C,连接BC,求 △ABC的面积和BC的长. 新教材秦材 新北师七上阅读·思考一“瞎转圈”的道理 1896年，挪威生理学家古德贝尔发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子 长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出 的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径 y(米)是其两腿迈出的步长之差x(厘米)(x>0)的反比例函数，其图象如图所示，请根据图象中 的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式： (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.25厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 米： (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差最多是 厘米 /屋米 温馨提示 请完成分层进阶练习册P23~P26习题 第三单元函数47件，横幅的数量为10件： “密文数字”是12对应的“明文数字”为19. (2)设制作三种产品的总量为0件，展板的数量为m 第三节反比例函数及其应用 件，则宣传册的数量为5m件， ①> ②<③一，三④二，四⑤k6减小 ∴制作横幅的数量为(w-6m)件 根据题意，得20m+3×5m+10(w-6m)=700, ⑦增大⑧原点⑨110k1①1k121k 5 六0=之m+70. B2k1④两个⑤一个6没有 L(1)①8②y<-8(2)-3(答案不唯一）(3)y,<2 ?三种产品均有制作， m>0且为偶数，0-6m=70-子m>0且为整数， 2C36>e>a43【变式25号6y= ∴0<m<20,且m为偶数 7(1)y=2 (2y=(3y=-3 ?0是m的一次函数，号>00随m的增大而增大 8.y=-3 9.C10.C ∴当m=2时，和有最小值，最小值为75， ·制作三种产品总量的最小值为75. L()反比例函数的表达式为y=兰(x>0). 12.B E(2,2): 13.解：(1)画图象如解图：一次 (2)-3≤m≤0 Aw/mL 80 70 12解：1)这个反比侧函数的表达式为y=- 6 50 (2)反比例函数y=-4的图象过点B(m,-4)、 40 -4=-4,解得n=1. (051015202530t/mim :一次函数值小于反比例函数值， (2)设w关于1的函数解析式为e=:+b(k≠0)，将 ,一次函数图象在反比例函数图象的下方 “.在y轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的x的 (0,5),(5,20)分别代入解析式，得=5： 5h+6=20.解得 取值范围为-4<x<0: 6=5,加关于1的函数解析式为加=3+5： 「k=3. 在y轴右侧，一次函数值小于反比例函数值的x的取 值范围为x>1. (3)当1=50时，w=3×50+5=155(mL). 综上所述，一次函数值小于反比例函数值的x的取值 答：在第50分钟测量时容器的盛水量是155毫升. 范围为-4<x<0或x>1 14.C【解析】直线y=-x+1与x轴y轴分别交于A,B (3)(2,-2) 两点，当y=0时，x=1,当x=0时，y=1,故A,B两点 (4)一次函数的表达式为y=2x+5.(答案不唯一) 坐标分别为A(1,0),B(0,1).点P是第一象限内的 (5)交点坐标为(4，-1)和(-1,4) 点且△PAB为等腰直角三角形，①当∠PAB=90 (6)A(-4.1),AC⊥Y轴于点C 时，点P的坐标为(2.1)：②当∠PBA=90时，点P的坐 ∴，C(0.1),∴，AC=4 标为(1,2)：③当∠APB=90时，点P的坐标为(1,1). 又，B(1,-4),∴点B到直线AC的距离为5， S6w=2×4×5=10,BC=VP+5=V26 1 (7)如解图 A(-4.1).,∴.AD=1.0D=4. 由y=-x-3得E(0,-3),则 Sa=D+0E),0m=8 第14题解图 第15题解图 4 S边形aDE:S60mr=2:1, 15.(-5,2)【解析1：直线)y=-3x+4与x轴y轴分 .SAoD =4, 别交于A,B两点，∴点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为 即0D·DF=方×40F=4,解得DF=2 (0,4.过点C作CE⊥y轴于点E,如解图.：BC=OC= 点P在第二象限，F(-4,2) 0A=3.0E=BE=2,.CE=0C-0E=5,.点 设直线OF的解析式为y='x, C的坐标为(-√5,2). 新教材素材 代入F(-4,2)得从=-2，则直线0F的解析式为 解：(1)19 (2)y与x的函数关系式为y=2x-26(13≤x≤25)： 2 y=- 解得x=±22. (3)当0≤x≤12时，12=2x+1,解得x=5.5(不是整数， 2联立 y=- 舍去) 当13≤x≤25时，12=2x-26.解得x=19, 点P在第二象限，点P的坐标为(-22,2) 贵州数学5 新教材素材 又.点M,N在二次函数图象的对称轴的异侧玉，-x,-2, 14 解：(1)y与x之间的函数表达式为y= .点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧。 ,当x,≤x≤时，函数在x=2处取得最小值-1 (2)56 当x,≤x≤x2时，函数的最大值与最小值的差为1， (3)0.2 ,当x,≤x≤2时，函数的最大值为0 第四节 小 二次函数的图象与性质 ①若y1≥2，则2-x,≥龙-2，即2-x,≥x1+2-2,解 ①常数项②横 ③上④下=-品 得x,≤10<x1≤1. :函数的最大值为y=a(x-2)2-1=0, 0(-六“。)⑦减小8维大⑨带大 0减小 1 6a=(G-2刃心4<a≤1 ⑩-六卫-1B-1-25a(x-h+6 ②若为<为2，则2-x,<x-2,即2-<x1+2-2,解 得x1>1,∴1<x1<2. 0a(x-x,)(x-名）⑦+8+四-②- 函数的最大值为y=a(x2-2)2-1=a-1=0, ①+2-☒(h-m,k)y=a(x-h)2+k+m 5(h.-k)国y=a(x+h)2+k0(-h,-k) 4<a<1. 奶不相等的四两个交点☒两个相等的实数根 1.向上 综上所述，a的取值范围为}<a≤1 2.(1)(0,3)x=-1(2)<-1>-1(3)y≥1 小专题培优1二次函数的对称性、增藏性和 1≤y≤91≤y≤3(4)<<(5)为<为< 最值问题 3.D4.D5.A 1.C2.C3.C4.x=2或x=-65.C 6.(1)y=-x2+2x+3(2)y=(x-2)2+8 【变式】(1)y=x2-4x+3(2)y=-x2+2x+3 6.B【解析】a<0,.抛物线y=ar2-2x+x-2开口 (3)y=x2-2x-2 向下，对称轴为直线x<0当x>0时y随： 7.y=x2-4x-5 的增大而减小.：抛物线y=ax2-2x+ax-2(a<0)经 8.B【拓展设问】1（答案不唯一）1（答案不唯一） 过点A(2,y,),B(m,),且A,B均在y轴右侧，少，<， 9.y=x2-x-6 ∴，0<m<2. 10.(1)x1=-3,x2=0(2)x1=-3,x2=1 7.A【解析】小：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次 (3)-3<x<1(4)2 函数的顶点坐标为(-1,4)，且二次函数的图象开口向 11.D【解析】如解图，当y=0时，-x2+x+6=0,解得 x1=-2,=3,则A(-2,0),B(3.0),将该函数图象 下：当x=分时y=子>1心a<-1,当y=1时。 在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方的部分的解 析式为y=(x+2)(x-3)(-2<x<3),即y=x2 -a2-2a+3=1,解得a=-3-1或a=3-1(舍 x-6(-2<x<3),当直线y=-x+m经过点A(-2 去)，放a的值为-3-1. 0)时，2+m=0,解得m=-2:当直线y=-x+m与抛 8.2≤1≤4【解析】小：y=x2-2x=(x-1)2-1,抛物线 物线y=x2-x-6(-2<x< 的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1，一1)，∴.横坐 3)有唯一公共点时，方程x 标为-1的点关于直线x=1的对称点的横坐标为3， -x一6=-x+m有两个相 :-1≤x≤1-1，当x=-1时，函数取得最大值，1 等的实数根，解得m--6, 1≤3.又当x=1时，函数取得最小值，.1-1≥1， ∴，当直线y=-x+m与新图 ∴1≤1-1≤3，解得2≤t≤4 象有4个交点时，m的取值范 第五节二次函数的应用与综合 围为-6<m<-2. 1.解：(1)y与x的函数表达式为y=-2x+80: 12.解：(1)y=a(x-2)2-1(2)x=2(2,-1) (2)设日销售利润为w元. (3)①该二次函数的表达式为y=2-2x+1 w=(x-10)(-2x+80)=-2x2+100x-800=-2(x -50x+625)-800+1250=-2(x-25)2+450. 2> -2<0..当x=25时，w最大，最大值为450 ③点M的坐标为(1，-2) 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大 最大利润是450元： (4)x1=-1,x2-1=2,.x=1 (3)由题意，得w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x2+ 将x,=-1,=1分别代入y=a(x-2)2-1. (100+2m)x-800-80m 得为=9a-1,2=a-1, :最大利润为392元， 1-为=8a=3a=8 4×(-2)×(-800-80m）-(100+2m2=392. 4×(-2) :该二次函数的表达式为y=名-子+宁 整理得m2-60m+116=0,.(m-2)(m-58)=0. 解得m1=2,m2=58. (5),>0.∴，二次函数的图象开口向上 当m=58时，x=54(不符合题意，舍去)，，m=2. 由(2)可知，二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)： 2.解：(1)y与x之间的函数关系式为 6 众相原创赋能中考