第3单元 第2节 一次函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

(2)最多使用甲种原料7千克 9.解：(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的 DE=AD-AE-BC-AE=(6-55 cm. 价格是40元； (2)设他们可购买y棵乙种树苗。 点P在DE段的运动时间为(6-)、 根据题意，得30×(1-10%)(50-y)+40≤1500， 解得)≤山石 CD=AB=10 3 cm, y为整数，∴y的最大值为11， 点P在D段的运动时间为号1：号(。 他们最多可购买11棵乙种树苗. 点P全程的运动加时间为5+655,10_5-55(s. 单元整体构建 33 3 易错题专练 点H的坐标为43-55,0) 3 1.-3x+3=5x+102①②x=-号 3.-3 新教材素材C 4.1或25.丙6.D7.-28.3 第二节一次函数及其应用 第三单元函数 ①一二、三②一三③一、三四④一二、四 第一节平面直角坐标系与函数 ⑤二、四 ⑥二，三，四⑦增大⑧减小⑨(-冬.0) ①>②<③>④<⑤=⑥=⑦=⑧= ⑨相等0互为相反数①纵2横B1y①1x 0(0,b) ①y=x+b(k≠0) 224+6=1. L-k+b=-5 +y 1x-x1 1ly-yI (a-c,b) ⑩(a+c,b)(a,b+c）④(a,b-c）②(a,-b) 3/k=2, y=2x-35+m0-m0+m 1b=-3 3(-a.b)24(-4.-b）25(b,-a)25(-b.a） 2⑦(-4，-b)团唯一四解析式图≥1①>1 ⑧-m0= -1x=-片 1.A2.(9,-4)3.(-4,2) 4.(1)四5【变式】(-4,5)(2)(-3，-5)(-3,5) ②=+4， 8上2下5>函< y=kx+b (3)0=(4)(0,-5)(-2,-1)(5)3-5 L.C【变式】D 60(2,”)Vm-3+a+5 2.(1)0(2)D(3)<>(4)-2-6 (5)(-3,0)(0.-6) 5.A【变式】x≥1且x≠3 6.(1)音速气温(2)y=0.6x+331 3(1)y=子(2y=2x-14.C 7.D8.A9.C 5.(1)y=-3x+5(2)y=-3x-4(3)y=3x-2 10.解：(1)点P,Q出发5s时，△BPQ的面积为10cm (4)y=3x+2 (2)△BPQ的面积保持不变，为10cm 6.B【解析小k,=k3,b=b=b,∴.直线y=kx+b.(n= (3)线段BE线段BC线段ED点C线段DC 1,2,34,5)中，直线y=kx+b,与y=kx+b2无交点y= 点C(4)5cm5cm kx+b与y=x+b与y=kx+b有1个交点，∴直线 (5)由N段图象可知24B·BC=10, y=kx+bn(n=1,2,3,4,5)最多有交点2×3+1=7 个，第6条直线与前5条直线最多有5个交点，第7条 由(4)可知BC=5cm,∴.AB=4cm, 直线与前6条直线最多有6个交点，，这7条直线的交 在△E中，mLAE-品号 点个数最多为7+5+6=18个. 7.B【解析】：直线y=mr+n从左至右呈下降趋势， (6)在Rt△ABE中，由勾股定理，得 ∴y的值随着x值的增大而减小，故①错误；：一次函 AE=√BE-AB-3(cm), 数y=x+b与y=mx+n(a<m<0)的图象的交点坐 ,∴，DE=AD-AE=BC-AE=2(em). 标为(-3,2)方程组-=6的解为[=3故 ∴点P在ED段的运动时间为2÷1=2(s). y-m就=n y=2, CD =AB =4 cm, ②正确；：直线y=mx+n与x轴的交点坐标为(2,0)， 点P在CD段的运动时间为4÷1=4(s), ∴方程mx+n=0的解为x=2,故③正确；：直线y=ax ∴点P全程的运动时间为5+2+4=11(s), +b过点(0，-2)，.当x=0时，x+b=-2,故④错误， 点H的坐标为(11,0). (7)点P的运动速度为1cm/,点Q的运动速度为 8(1)x=-4, (2)x<-4 1y=-3 1,2cm/s,当t=5时，点P运动至点E,点Q运动至点9.解：(1)1=80x(0≤x≤60)， C,∴.BE=5cm,BC=6cm 2=-120x+7200(20≤x≤60)： :点P在线段ED上，点Q在点C处时，△BPQ的面 (2)由题意可知y=y2,即80x=-120x+7200, 积为10emB·BC=10. 解得x=36,.y=-120×36+7200=2880. 答：甲出发后36分钟两人相遇，相遇时乙离A地2880米 en..AE AR55(.cm). 4B=0 10.4500 11.解：(1)制作展板的数量为10件，宣传册的数量为50 4众相原创赋能中考 件，横幅的数量为10件： “密文数字”是12对应的“明文数字”为19. (2)设制作三种产品的总量为0件，展板的数量为m 第三节反比例函数及其应用 件，则宣传册的数量为5m件， ①> ②<③一，三④二，四⑤k6减小 ∴制作横幅的数量为(w-6m)件 根据题意，得20m+3×5m+10(w-6m)=700, ⑦增大⑧原点⑨110k1①1k121k 5 六0=之m+70. B2k1④两个⑤一个6没有 L(1)①8②y<-8(2)-3(答案不唯一）(3)y,<2 ?三种产品均有制作， m>0且为偶数，0-6m=70-子m>0且为整数， 2C36>e>a43【变式25号6y= ∴0<m<20,且m为偶数 7(1)y=2 (2y=(3y=-3 ?0是m的一次函数，号>00随m的增大而增大 8.y=-3 9.C10.C ∴当m=2时，和有最小值，最小值为75， ·制作三种产品总量的最小值为75. L()反比例函数的表达式为y=兰(x>0). 12.B E(2,2): 13.解：(1)画图象如解图：一次 (2)-3≤m≤0 Aw/mL 80 70 12解：1)这个反比侧函数的表达式为y=- 6 50 (2)反比例函数y=-4的图象过点B(m,-4)、 40 -4=-4,解得n=1. (051015202530t/mim :一次函数值小于反比例函数值， (2)设w关于1的函数解析式为e=:+b(k≠0)，将 ,一次函数图象在反比例函数图象的下方 “.在y轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的x的 (0,5),(5,20)分别代入解析式，得=5： 5h+6=20.解得 取值范围为-4<x<0: 6=5,加关于1的函数解析式为加=3+5： 「k=3. 在y轴右侧，一次函数值小于反比例函数值的x的取 值范围为x>1. (3)当1=50时，w=3×50+5=155(mL). 综上所述，一次函数值小于反比例函数值的x的取值 答：在第50分钟测量时容器的盛水量是155毫升. 范围为-4<x<0或x>1 14.C【解析】直线y=-x+1与x轴y轴分别交于A,B (3)(2,-2) 两点，当y=0时，x=1,当x=0时，y=1,故A,B两点 (4)一次函数的表达式为y=2x+5.(答案不唯一) 坐标分别为A(1,0),B(0,1).点P是第一象限内的 (5)交点坐标为(4，-1)和(-1,4) 点且△PAB为等腰直角三角形，①当∠PAB=90 (6)A(-4.1),AC⊥Y轴于点C 时，点P的坐标为(2.1)：②当∠PBA=90时，点P的坐 ∴，C(0.1),∴，AC=4 标为(1,2)：③当∠APB=90时，点P的坐标为(1,1). 又，B(1,-4),∴点B到直线AC的距离为5， S6w=2×4×5=10,BC=VP+5=V26 1 (7)如解图 A(-4.1).,∴.AD=1.0D=4. 由y=-x-3得E(0,-3),则 Sa=D+0E),0m=8 第14题解图 第15题解图 4 S边形aDE:S60mr=2:1, 15.(-5,2)【解析1：直线)y=-3x+4与x轴y轴分 .SAoD =4, 别交于A,B两点，∴点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为 即0D·DF=方×40F=4,解得DF=2 (0,4.过点C作CE⊥y轴于点E,如解图.：BC=OC= 点P在第二象限，F(-4,2) 0A=3.0E=BE=2,.CE=0C-0E=5,.点 设直线OF的解析式为y='x, C的坐标为(-√5,2). 新教材素材 代入F(-4,2)得从=-2，则直线0F的解析式为 解：(1)19 (2)y与x的函数关系式为y=2x-26(13≤x≤25)： 2 y=- 解得x=±22. (3)当0≤x≤12时，12=2x+1,解得x=5.5(不是整数， 2联立 y=- 舍去) 当13≤x≤25时，12=2x-26.解得x=19, 点P在第二象限，点P的坐标为(-22,2) 贵州数学5第二节一次函及其应用 一阶了教材知识全梳理 考点工一次函数的图象与性质（重点） 1.一次函数的概念：一般地，形如y=x+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.当b=0时， y=x是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 2.一次函数的图象与性质 解析式 y=x+b(k,b为常数，k≠0).特别地，当b=0时，y=x(k是常数，k≠0)为正比例函数 k>0 k<0 k,b的符号 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 大致图象 而元 第① 第② 第③ 第④ 第⑤ 第⑥ 经过的象限 象限 象限 象限 象限 象限 象限 增减性 y随x的增大而⑦) y随x的增大而⑧ 与坐标轴的交点 与x轴的交点坐标为⑨ 与y轴的交点坐标为0 【特别提醒】(1)一次函数的图象是一条直线：(2)k的正负决定一次函鼓图象的倾斜方向和一次函敏的 增减性，b决定一次函数图象与y轴的交，点位置。 考点2一次函数解析式的确定（重点） 常用 例：已知直线1经过点(2,1)，(-1，-5)，求直线1的解 待定系数法 方法 析式 设设一次函数解析式为y=:+b(k≠0) 设直线！的解析式为① 将已知点的坐标代入解析式，得到含 列 将(2,1)，(-1，-5)分别代入y=x+b,得2 有待定系数k,b的方程或方程组 一般 步骤解解这个方程或方程组，求出k,b的值 解得B 将k,b的值代入所设解析式，写出此 写 直线1的解析式为④ 函数的解析式 考点3 一次函数图象的变换 平移前的解析式 平移方式(m>0】 平移后的解析式 口诀 向左平移m个单位长度 y=(x⑤ )+b 左加右减自变量 向右平移m个单位长度 y=k(x1 )+b y=x+b(k≠0) 向上平移m个单位长度 y=x+b西 上加下减常数项 向下平移m个单位长度 y=kx+b1 36 众相原创赋能中考贵州数学 【特别提醒】点平移的坐标变化规律是“左减右加，上加下减”，函数图象平移的变化规律是“左加右减，上 加下减”，不要搞混了！ 【知识拓展】 1.一次函数图象的对称 原解析式 对称方式 x,y的变化 对称后的解析式 关于x轴对称 y变为相反数 -y=x+b,即y=-kx-b y=x+b(k≠0) 关于y轴对称 x变为相反数 y=k(-x)+b,即y=-kx+b 关于原点对称 x,y都变为相反数 -y=k(-x)+b,即y=kx-b 2.两个一次函数图象的位置关系 位置关系 两直线平行 两直线垂直 两直线重合 yy=kx+h Yty=hx+b 中y=k客+h Y=点x+b (y=kx+b】 图示 y=x+ 系数关系 ←，9 k2,b1≠b2 k1·k2=② k1=k2,b1=b 考点④一次函数与一次方程（组）、不等式的关系 与一元一次 一次函数y=x+b的图象与x轴交点的横坐标 方程的关系 方程x+b=0的解 1k+h, 与二元一次方 一次函数y=k,x+b,与y=k,x+b,图象的交点坐标曰方程 程组的关系 组2 的解 y=kx+h 次函数y=x+b的函数值y>0(或y<0)时对应的x的 y=kx+b 与一元一次不 取值范围一一次函数y=缸+b的图象位于x轴 kx+b>0 等式的关系 方（或 方)的部分对应的x的取值范围一不等式 kx+b2 0(或x+b②5 0)的解集 kx+b<0 考点⑤一次函数的实际应用 1.解题步骤：(1)设实际问题中的变量：(2)建立一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围： (4)利用一次函数的增减性解决最值或最优问题：(5)作答。 2.常见类型及解题思路：解含有一次函数图象的实际问题时，常借助数形结合，利用一次函数与方程 (组)、不等式的关系解决问题，常涉及行程问题、最低费用、最大利润、最优方案等问题.在解决实 际问题时，注意自变量的取值范围及结果要符合实际意义. 第三单元函数37 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课相 考点1一次函数的图象与性质(2023.21(2) 考点2一次函数解析式的确定(2024.24(1) 贵阳5年4考) 贵阳5年2考) 1.真题(2018贵阳9题3分)一次函数y=x-13.教材（人教八下P93例4改编）已知平面直角 的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增 坐标系中的点A(2,3),B(3,5) 大，则点P的坐标可以为 (1)若正比例函数的图象经过点A,则函数解 A.(-5,3) B.(1,-3) 析式为 C.(2,2) D.(5,-1) (2)若直线I经过点A,B,则直线I的解析式 【变式】若一次函数y=(k+3)x-1中y随x 为 的增大而减小，则k的值可能是 4.教材（北师八上98T4改编）一次函数y= A.2 C.-2 D. -4 kx+b(k≠0)的x与y的部分对应值如下表 所示： 2.教材（人教八下P93T1改编）已知一次函数 -4 -3 -2 y=kx+b(k≠0). -2 -4 (1)若该函数的图象经过原点，则b的值 根据表中数据分析，下列结论正确的是()》 为 A.y随x的增大而增大 (2)若该函数的图象如图所示，则k,b的取值 B.该函数的图象不经过第四象限 范围是 C.该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积 为16 D.该函数图象关于x轴对称的函数图象的解 析式为y=2x+4 A.k>0.b>0 B.k>0,b<0 考点3一次函数图象的变换（贵阳5年2考） C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 5.教材（湘教八下P127练习T1改编）已知一次 (3)当k<0时，若点A(x,y),B(x2,y2)在该函 数图象上，且y>,则x 2(填“>” 函数y=-3x+2. “<”或“=”)：当k>0时，若点A(x1,y), (1)将该函数图象向上平移3个单位长度，得 B(x2,2)在该函数图象上，且x1>2,则y 到的函数图象的解析式是 y2;(填“>”“<”或“=”) (2)将该函数图象向左平移2个单位长度，得 (4)若b=3k,且x每增加1，y就减少2，则k= 到的函数图象的解析式是 ,b= (3)该函数关于x轴对称的函数图象的解析式 (5)在(4)的条件下，该一次函数的图象与x轴 是 的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标 (4)该函数关于y轴对称的函数图象的解析式 为 是 38众相原创赋能中考贵州数学 6.真题(2021贵阳12题3分)小星在“趣味数 分别为y1米，y2米，y1,y2与x的函数关系图象 学”社团活动中探究了直线交点个数的问题。 如图所示，根据图象解答下列问题： 现有7条不同的直线y=kx+b.(n=1,2,3,4, (1)直接写出y,2与x的函数关系式，并写出 5,6,7),其中k1=k2,b3=b4=b5,则他探究这7条 自变量x的取值范围： 直线的交点个数最多是 () (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙 A.17个B.18个 C.19个 D.21个 离A地多少米？ 考点4一次函数与一次方程（组）、不 4(米) 等式的关系（贵阳5年2考） 4800 7.真题(2022贵阳12题3分)在同一平面直角 20 60x(分钟) 坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a< m<0)的图象如图所示.小星根据图象得到如下 结论： ①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着 x值的增大而增大： [y-ax=b x=-3, ②方程组 的解为 y-mx =n y=2; ③方程mx+n=0的解为x=2: ④当x=0时，a.x+b=-1. 其中结论正确的个数是 Y=ax+b =m+ 4-327T23 考向2销售、费用问题 10.教材（湘教八下P121T6改编）某种商品的销 -3 售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函 A.1 B.2 C.3 D.4 数关系，当投入10万元时销售额1000万元， 8.教材（人教八下P99T8改编）已知一次函数 当投人90万元时销售额5000万元.则投入 y=x+1和y=5x+17 80万元时，销售额为 万元 (1)方程组 [y=x+1, 的解为 ly=5.x+17 11.真题(2021贵阳22题10分)为庆祝“中国共 (2)不等式x+1>5x+17的解集为 产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作 “童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅。 考点5一次函数的应用(2024.24(1)，贵阳 其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广 5年2考) 告公司制作每件产品所需时间和利润如下表： 类型1一次函数的实际应用 产品 展板 宣传册 横幅 考向1行程问题 制作一件产品所 1 9.教材（北师八上93T3改编）已知A,B两地 需时间（小时） 5 2 相距4800米，甲从A地出发步行到B地，20 分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步 制作一件产品 20 3 10 行的时间为x分钟，甲，乙两人离A地的距离 所获利润（元）》 第三单元函数 39 (1)若制作三种产品共计需要25小时，所获 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显 利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的 示水量的容器，每5min记录一次容器中的水 数量： 量，得到如下表的一组数据： (2)若广告公司所获利润为700元，且三种产 滴水时间t/min 0 10 15 20 品均有制作，求制作三种产品总量的最小值 盛水量w/mL 5 20 35 50 65 【问题探究】 (1)请根据表中信息在平面直角坐标系中描 点、连线，画出0关于t的函数图象，根据图象 发现容器内盛水量w(mL)与滴水时间t(min) 符合学习过的 函数关系（选填“正比 例”或“一次”)； (2)根据以上判断，求m关于1的函数解 析式： 【问题解决】 (3)请你估算小亮在第50分钟测量时容器的 盛水量是多少毫升？ /mL 80 10 051015202530/mim 考向3其他问题 12.教材（人教八下P99T3改编）一种弹簧秤最 大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧 的长为12cm,每挂重1kg物体，弹簧伸长 0.5cm,在弹性限度内，挂重后弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数 关系式为 A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x C.y=10+0.5x D.y=0.5x 13.教材3（人教八下P105活动2素材）综合与 实践 【问题情境】2024年3月22日是第三十二届 “世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视 水资源的重要性.小亮决定探究水龙头关闭 不严造成漏水的问题，为了调查漏水量与漏 水时间的关系，进行了以下的试验与研究 40 众相原创赋能中考贵州数学 类型2一次函数与几何图形结合 15.真题(2020黔南州)如图，在平面直角坐标系 14.真题(2021黔东南州)已知直线y=-x+1 中，直线y=- x+4与x轴、y轴分别交于 4 与x轴、y轴分别交于A,B两点，点P是第一 象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则 A,B两点，点C在第二象限，若BC=OC= 点P的坐标为 OA,则点C的坐标为 A.(1,1) B.(1,1)或(1,2) C.(1,1)或(1.2)或(2,1)》 D.(0,0)或(1,1)或(1,2)或(2,1) 新教材素材 【新增】新北师八上综合与实践一神奇的加密术 一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转 化为密文 某校信息兴趣小组编制了一套密码.如表：x表示明文，y表示密文，且x为非负整数 6 13 14 13 0 2 己知当0≤x≤12时，加密密钥为y=2x+1:当13≤x≤25时，加密密钥为y=mx+n(n≠1且m≠0) 根据以上信息，完成下列问题： (1)表格中“？”处的数字是 (2)请求出当13≤x≤25时这套密码的加密密钥，即y与x的函数关系式： (3)若小樊同学给某个“明文数字”加密后对应的“密文数字”是12，请求出对应的“明文数字” 温馨提示 请完成分层进阶练习册P21~P22习题 第三单元函数41