第2单元 第4节 一元一次不等式(组)及其应用&单元整体构建-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

第四节一元一次不等式（组)及其应用 一阶了教材知识全梳理 考点了不等式的基本性质 数学表达 在解不等式中的应用 性质1 如果a>b,那么a±c① b±c 移项 性质2 如果a>b,c>0,那么ac② c(或国 2 去分母，系数化为1 性质3 如果a>b,c<0,那么ac④ bc(或⑤ 名 【特别提醒】当不等式的两边同来（或除以）一个负数时，不等号的方向要改变 考点2一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示（重点） 1,解法步骤（类似解一元一次方程）：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 【特别提醒】在去分母、系数化为1时，要注意不等号的方向是否雾要改变， 2.解集在数轴上的表示 解集 x<O x>a x≤a x≥a 在数轴上的表示 【特别提醒】在数轴上表示不等式的解集时，要注意“两定”：一定点或圈一带等号为⑥ 不带等号为⑦ :二定方向一小于向⑧ ,大于向⑨ 考点3一元一次不等式组的解法及解集在数轴上的表示 1.解法步骤 解每一个一元 在数钠上表示各 确定各不等武解 得出不等式 一次不等式 不等式的解集 桑的 组的解桌 2.解集在数轴上的表示 不等式组(a>b) 在数轴上的表示 解集 口诀 [x>a, ① 同大取大 lx>b @ 同小取小 [x<a, lt>b 五 B 大小、小大中间找 7 ④ 大大、小小取不了 第二单元方程（组）与不等式（组） 27 考点4一元一次不等式的实际应用（重点） 列不等式解实际应用题的步骤 常见关键词与不等号的对应关系 找 找出题目中的不等关系 大于，多于，高于，超过 > 设未知数 设 【特别提醒】当题千中求至少时，设未知数要设这个量为x,不 小于，少于，低于，不足固 能设这个量至少为x,如：求甲商品至少要购买多少件，则设购 买甲商品x件，再根据题目条件列不等式求解 列 根据不等关系，列不等式 至少，不小于，不少于， 16 解 解不等式 不低于 检验所求的未知数的值是否符合题意及实际意义， 验 【特别提醒】要记得检验是否符合实际意义，如：人数必须为正 至多，不大于，不多于， 整数，当x表示人数且x≥ 2时，x的最小值是4，即至少有4人 不超过 答 根据题意作答 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 考点1不等式的基本性质（贵附2020.8） 4.教材（人教七下PI22例1改编）解不等式 1.真题(2020贵阳8题3分)已知a<b,下列式 子≥并把它的解集表示在数轴上 子不一定成立的是 A.a-1<b-1 B.-2a>-2b c2+1<0+1 D.ma>mb 考点2一元一次不等式的解法及解集在 数轴上的表示(2024.4.2023.17(2) 2.真题(2024贵州4题3分)不等式x<1的解 集在数轴上表示正确的是 片后骨 3.真题(2023贵州17(2)题6分)己知A=a-1, B=-a+3.若A>B,求a的取值范围. 考点3一元一次不等式组的解法及解集 在数轴上的表示（贵阳5年2考） 5.真题(2018贵阳14题4分)若关于x的不等 5-3x≥-1， 式组 无解，则a的取值范围 a-x<0 是 28众相原创赋能中考贵州数学 那么至少需要甲种原料多少千克？ 5-3x≥-1 【变式】已知关于x的不等式组 (2)如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超 a-x<0. 过120元，那么最多使用甲种原料多少千克？ (1)若a=-1,则该不等式组的解集在数轴 上表示正确的是 -1011 01 -1012 -1012 D (2)若该不等式组恰有两个整数解，则a的取 值范围是 9.真题(2018贵阳19题10分)某青春党支部在 6.真题(2021贵阳17(1)题6分)有三个不等式 精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送 2x+3<-1,-5x>15,3(x-1)>6,请在其中 甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价 任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出 格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗 它的解集。 的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数 相同。 (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两 种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一 次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如 考点4一元一次不等式的实际应用 果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元， (2024.21(2),贵阳5年4考) 那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 7.真题(2021遵义)小明用30元购买铅笔和签 字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和 5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字 笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关 系正确的是 ( A.5×2+2x≥30 B.5×2+2x≤30 C.2×2+2x≥30 D.2×2+5x≤30 8.教材（北师八下39T3改编）用甲、乙两种原 料配制9千克某种饮料，已知这两种原料的维 生素C含量及价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素C含量 500 80 (单位/千克) 价格（元/千克） 16 4 (1)如果要求至少含有4080单位的维生素C, 温馨提示 请完成分层进阶练习册P17~P18习题 第二单元方程（组）与不等式（组）29 单元整体构建 易错题专练 众相提醒]“去括号”“去分母”的常见错误：符号错误、漏乘 【温馨提示】 1.把一元一次方程-3(x-1)=5(x+2)去括号，得 1.分数线有括号的作用，如 2小华解分式方程，2-2-出现了错误，他的解答过程如下： 果分子是一个多项式，去分 母后需注意各项的符号； 解：去分母，得3x-2=-(x-1),…① 2.去括号时，给括号内的每 去括号，得3x-2=-x-1,…② 一项都要乘系数，同时要注 移项，得3x+x=-1+2,…③ 意符号： 合并同类项，得4x=1,…④ 3.去分母时，避免给常数项 系数化为1，得=，…⑤ 漏乘最简公分母. 经检验，x=4是原分式方程的解.…⑥ 上述过程中，错误的步骤是 (填序号)，正确的解为 众相提醒☑注意分式方程增根和无解的区别 【温馨提示】 3若关于x的分式方程34=2-”4有增根，则口的值为 1.增根：使最简公分母为0且 是化简后的整式方程的根： 4.已知关于x的分式方程m- x-x一台=1无解，则m的值是 2 2.无解：分式方程有增根或 分式方程化简所得的整式 众相提醒☒解一元二次方程时不能直接约去含未知数的公因式 方程无解 5.某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x(x- 【温馨提示】 1)=3(x-1),下列解法完全正确的是 解一元二次方程时，切记： 不可将等号两边同时约去 乙：整理，得x2-4x=-3, 丙：移项，得x(x-1)-3(x 含有未知数的公因式，会造 甲：两边同时 配方，得x2-4x+2=-1, 1)=0 成漏解正确的步骤是：先 除以（龙 .(x-2)2=-1, .(x-1)(x-3)=0, 将各项全部移至左边，再利 用因式分解等方法求解 1),得x=3 .x-2=±1， x-1=0或x-3=0, .x1=1,x2=3. 1=1,x2=3 众相提醒4注意与一元二次方程有关的条件 【温馨提示】 6.若关于x的方程x2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )1.二次项系数：若二次项系 A.k>-1 B.k≥-1且k≠0 C.k<-1 D.k≥-1 数是参数m,当已知为一元 二次方程，则m≠0；当未说 7.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0的一个根为0，则 明方程类型，需分美讨论： m的值是 ①m=0时为一次方程： 8.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(1+1)x+2+5=0的两个 ②m≠0时为二次方程； 实数根，若x+x2=36,则t的值是 2.应用根与系数的关系时， 注意4≥0这个前提. 30 众相原创赋能中考贵州数学1.B2.23.①86⑦①③4.③⑤05.A 7.(1)1.25x 6号(2432x(4516 (2)更新设备后每天生产125件产品. 第三节一元二次方程及其应用 7.解：原式= ①一 ②2③整式④是⑤不是63⑦-2 2 当x=3时，原式=3，= ⑧-1⑨(x+m)2=n+m2⑩±√n+m-m①≥ 2 2< B-b±vB-4ac 单元整体构建 a 156 2a 易错题专练 对点自测 1.32.43.C (1)x1=-3,x2=-1. 4.解：原式=3 (2)x1=2,=-6. 当6=-1时，原式=3×(-1)2=3. ⑥不相等相等⑧没有9-名 a a 5.C6.2 12而 2(x-1) x+1-2x+2 ①-2x52 3-x ②(x+名)》产-4②克+马 x (x-1)(x+1) (x-1)(x+1) a(1-x)2=b 12 5(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x) 第二单元方程（组）与不等式（组） (u-(6-）8若ba(1+)2窗”2山 2 第一节一次方程（组）及其应用 n(n-1) ①-个②1③整式④2(3x-1)=6-(4x-1) 1.(1)m≠-1(2)-1(3)x21-3x-32 ⑤6x-2=6-4x+166x+4x=6+1+2⑦10x=9 2.B 品 3.解：（答案不唯一，挑选其中两个方程进行求解即可） ①x,=-1+2,x2=-1-2 对点自测 ②x1=0,2=3. (1)方程组的解是=L, y=-2: (2)方程组的解是：=↓ ly=1. 4号 【变式)m<g且m≠-1(2)m>日 ⑨+0+ 0- 1.C2.C (3)m≤g且m-1(4)m≤日 8 3.(1)-1(2)3(3)a>3(4)2 (5)有两个不相等的实数根 r号 5.B6.B (2)x=1. 1.0)02-3②5-号(2)-4-4(3)2 7 8.(1)x(x-1)=132(2)①500(1+x)2=720 5.(1)B (2)三 ②200+200(1+y)+200(1+y)2=950 9.(1)2x(20+2x)(40-x) 【宝式1归【变式2刘儿（答案不唯） (2)每件童装应降价20元 10.解：(1)由题意，得 6.C7.x+2y=328.20 S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x2+36x: 9.解：(1)0.4xy0.8x0.8y (2)不可以.理由略 (2)午餐含甲原料30克、乙原料20克恰好能满足初中 新教材素材D 学生的需要。 第四节一元一次不等式（组）及其应用 10.解：(1)设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10 ①>②>③>④<⑤<⑥实心圆点 元的钢笔买了(100-x)支 7空心圆圈⑧左⑨右0公共部分Dx> 根据题意.得6x+10(100-x)=1300-378.解得x=19.5. 2x<bB动<x<a无解5<⑥≥D≤ :钢笔的数量不可能是小数，∴学习委员搞错了. 1.D2.C3.a>2. (2)笔记本的单价可能是2元或6元 4.解：原不等式的解集为x≥4 新教材素材 解集在数轴上表示如解图： 13=2×分2A -4-3-2-1012345 第二节分式方程及其应用 5.a≥2【变式】(1)C(2)0≤a<1 ①(x+1)②x-3+x+1=x+2③x=4④x=4 2x+3<-1①. ⑤x+1≠06x=4⑦0 6.解：（答案不唯-）-5x>152, 1.A2.(1)-1(2)1或-1 原不等式组的解集为x<-3 3.原分式方程的解是x=-1, 7.D 4.B5.D6.A 8.(1)至少需要甲种原料8千克 贵州数学3 (2)最多使用甲种原料7千克 9.解：(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的 DE=AD-AE-BC-AE=(6-55 cm. 价格是40元； (2)设他们可购买y棵乙种树苗。 点P在DE段的运动时间为(6-)、 根据题意，得30×(1-10%)(50-y)+40≤1500， 解得)≤山石 CD=AB=10 3 cm, y为整数，∴y的最大值为11， 点P在D段的运动时间为号1：号(。 他们最多可购买11棵乙种树苗. 点P全程的运动加时间为5+655,10_5-55(s. 单元整体构建 33 3 易错题专练 点H的坐标为43-55,0) 3 1.-3x+3=5x+102①②x=-号 3.-3 新教材素材C 4.1或25.丙6.D7.-28.3 第二节一次函数及其应用 第三单元函数 ①一二、三②一三③一、三四④一二、四 第一节平面直角坐标系与函数 ⑤二、四 ⑥二，三，四⑦增大⑧减小⑨(-冬.0) ①>②<③>④<⑤=⑥=⑦=⑧= ⑨相等0互为相反数①纵2横B1y①1x 0(0,b) ①y=x+b(k≠0) 224+6=1. L-k+b=-5 +y 1x-x1 1ly-yI (a-c,b) ⑩(a+c,b)(a,b+c）④(a,b-c）②(a,-b) 3/k=2, y=2x-35+m0-m0+m 1b=-3 3(-a.b)24(-4.-b）25(b,-a)25(-b.a） 2⑦(-4，-b)团唯一四解析式图≥1①>1 ⑧-m0= -1x=-片 1.A2.(9,-4)3.(-4,2) 4.(1)四5【变式】(-4,5)(2)(-3，-5)(-3,5) ②=+4， 8上2下5>函< y=kx+b (3)0=(4)(0,-5)(-2,-1)(5)3-5 L.C【变式】D 60(2,”)Vm-3+a+5 2.(1)0(2)D(3)<>(4)-2-6 (5)(-3,0)(0.-6) 5.A【变式】x≥1且x≠3 6.(1)音速气温(2)y=0.6x+331 3(1)y=子(2y=2x-14.C 7.D8.A9.C 5.(1)y=-3x+5(2)y=-3x-4(3)y=3x-2 10.解：(1)点P,Q出发5s时，△BPQ的面积为10cm (4)y=3x+2 (2)△BPQ的面积保持不变，为10cm 6.B【解析小k,=k3,b=b=b,∴.直线y=kx+b.(n= (3)线段BE线段BC线段ED点C线段DC 1,2,34,5)中，直线y=kx+b,与y=kx+b2无交点y= 点C(4)5cm5cm kx+b与y=x+b与y=kx+b有1个交点，∴直线 (5)由N段图象可知24B·BC=10, y=kx+bn(n=1,2,3,4,5)最多有交点2×3+1=7 个，第6条直线与前5条直线最多有5个交点，第7条 由(4)可知BC=5cm,∴.AB=4cm, 直线与前6条直线最多有6个交点，，这7条直线的交 在△E中，mLAE-品号 点个数最多为7+5+6=18个. 7.B【解析】：直线y=mr+n从左至右呈下降趋势， (6)在Rt△ABE中，由勾股定理，得 ∴y的值随着x值的增大而减小，故①错误；：一次函 AE=√BE-AB-3(cm), 数y=x+b与y=mx+n(a<m<0)的图象的交点坐 ,∴，DE=AD-AE=BC-AE=2(em). 标为(-3,2)方程组-=6的解为[=3故 ∴点P在ED段的运动时间为2÷1=2(s). y-m就=n y=2, CD =AB =4 cm, ②正确；：直线y=mx+n与x轴的交点坐标为(2,0)， 点P在CD段的运动时间为4÷1=4(s), ∴方程mx+n=0的解为x=2,故③正确；：直线y=ax ∴点P全程的运动时间为5+2+4=11(s), +b过点(0，-2)，.当x=0时，x+b=-2,故④错误， 点H的坐标为(11,0). (7)点P的运动速度为1cm/,点Q的运动速度为 8(1)x=-4, (2)x<-4 1y=-3 1,2cm/s,当t=5时，点P运动至点E,点Q运动至点9.解：(1)1=80x(0≤x≤60)， C,∴.BE=5cm,BC=6cm 2=-120x+7200(20≤x≤60)： :点P在线段ED上，点Q在点C处时，△BPQ的面 (2)由题意可知y=y2,即80x=-120x+7200, 积为10emB·BC=10. 解得x=36,.y=-120×36+7200=2880. 答：甲出发后36分钟两人相遇，相遇时乙离A地2880米 en..AE AR55(.cm). 4B=0 10.4500 11.解：(1)制作展板的数量为10件，宣传册的数量为50 4众相原创赋能中考