第1单元 第4节 整式(含因式分解)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

第四节整式（含因式分解） 一阶了教材知识全梳理 考点]代数式（重点） 代数式 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子.单独的一个数或一个字母也是代数式 列代数式 找出问题中的数量关系，再用含有数、字母和运算符号的式子表示出来 (1)直接代入法： (2)整体代入法（整体思想） 步骤一：观察已知条件和所求代数式的关系： 代数式求值 步骤二：将所求代数式变形成与已知代数式成倍数或分数关系，一般会用到提公因式，平方 差公式，完全平方公式： 步骤三：把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值 考点2整式的相关概念 由数或字母的积组成的式子.（单独的一个数或一个 字母也是单项式) +次数：2+3=5 单项式 (1)系数：单项式中的数字因数：（注意：符号也要算） 系数片 (2)次数：一个单项式中，所有字母的指数的① 几个单项式的和。 (1)项：多项式中的每个单项式（包括前面的符号）：（其 次数 +常数项 多项式 3x 中不含字母的项叫做② →项数为3 (2)次数：多项式里，③ 的次数 整式 单项式和多项式统称整式 同类项 所含字母④ ,且相同字母的⑤ 也相同的项（注意：所有常数项都是同类项） 考点3整式的运算（重点） 1.整式的加减（实质：合并同类项） 运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 把各同类项的⑥ 相加减，字母连同它的指数⑦ 合并同类项 如：3a2b+2a2b=⑧ 括号前是“+”，去括号时，括号内各项不变号.如：a+(b+c)=a⑨ 去括号法则 括号前是“-”，去括号时，括号内每一项都变号.如：a-(b+c)=a0 口诀：“+”不变，“-”变 8 众相原创赋能中考贵州数学 2.幂的运算(m,n为正整数)】 同底数幂相乘 底数不变，指数① ,即a”·a”=2 同底数幂相除 底数不变，指数B 即a÷a= (a≠0)】 幂的乘方 底数不变，指数⑤ ,即(a")"=6 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)”= 3.整式的乘除 单项式乘 把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.如： 单项式 2ab2·3b= 单项式乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如：m(a+b+c)=9 多项式 多项式乘 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.如： 多项式 (a+b)(m+n)=0 (1)平方差公式 (2)完全平方公式 公式：(a+b)(a-b)=① 公式：(a±b)2=2 几何背景： 几何背景： 乘法公式 一 b ab ab-b 2 (a+b)(a-) a2- (a-b)* 单项式除 把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 以单项式 指数作为商的一个因式.如：12ab2x÷3ab2=8 多项式除 先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.如：(am+bm)÷m= 以单项式 4 4.整式混合运算的步骤 先算乘方，再算乘除，最后算加减：若有括号，先算括号里面的：同级运算按照从左到右的顺序依次 进行 考点4 因式分解 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 (1)提公因式法：ma+mb+mc= 系数：取各项系数的列 公因式的确定 字母：取各项⑦ 的字母： 指数：取各项相同字母的四 次数 方法 如：2x2y和6y2z的公因式是型 (2)公式法：(i)平方差公式：a2-b2=0 (i)完全平方公式：a2±2ab+b2=① 【知识拓展】 十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).如：x2+3x+2=② 第一单元数与式9 续表 有 提取 规察 两项考虑平 观察是否 公因式 制余项 方差公式 检查每个多 项式是否都 步骤 有公因式 没有 见察 三项考完全 分解翻底 多项式 平方公式 一提 二套 三检查 【特别提醒】(1)因式分解的结果一定是积的形式，每个因式都不能再进行因式分解：(2)因式分解是和 差化积的形式，而整式乘法是积化和差的形式，二者互为逆运算：因式分解完，可用整式乘法运算从结果 逆推过去，检查因式分解结果是否正确。 考点5代数推理 示例：（课标P144例66）设abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3 整除。 论证如下：abcd=1000a+100b+10e+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d), 显然999a+99b+9c可以被3整除， 因此，若a+b+c+d可以被3整除，则abcd就可以被3整除 二阶了追本潮源练考点 教材·兵题·课标 考点口代数式（贵阳5年3考） (2)x2-3y=1: L.教材（人教七上P59T1改编）根据要求列代数 式： (1)a,b两数的平方和是 (2)设甲数为a,乙数比甲数少15%，则乙数 (3)(x-1)2+1y-21=0. 为 (3)原价为a元/双的球鞋，“十一”期间八折出 售，则售价为 元/双： (4)自来水每立方米m元，电每千瓦时n元，若 4.真题(2019贵阳16题8分)如图是一个长为 小明家本月用水8立方米，用电100千瓦时， a,宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边 则一共应缴费 元 长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形 2.真题(2018贵阳1题3分)当x=-1时，代数 (1)用含字母a,b的代数式表示矩形中空白部 式3x+1的值是 ( 分的面积： A.-1 B.-2 C.4 D.-4 (2)当a=3,b=2时，求矩形中空白部分的 3.教材（人教七上P69T3改编）分别在下列条件 面积 下，求代数式-3x2+9y-2的值， (1)x=2,y=1: 10 众相原创赋能中考贵州数学 考点2整式的相关概念 9.真题(2020贵阳11题4分)化简x(x-1)+x 的结果是 5.教材（人教七上P59T3改编）下列说法中，正 10.真题(2020黔南州)若a"-26+7与-3ab的 确的是 ·(填序号) 和仍是一个单项式，则m-n的值为 ①2不是单项式：②单项式y的系数是0：③单 11.真题(2021贵阳17(2)题6分)小红在计算 项式-的次数是2：④多项式x2+x是五次 a(1+a)-(a-1)2时，解答过程如下： 二项式：⑤多项式5x2-6xy-1的常数项是1： a(1+a-(a-1) =1+a2-(a2-1)…第一步 ⑥3ab2与-5b2a是同类项. =n+a2-a2-1………第二步 =a-1. 第三步 考点3整式的运算(2024.3，贵阳5年3考) 小红的解答从第 步开始出错，请写 6.真题(2024贵州3题3分)计算2a+3a的结 出正确的解答过程。 果正确的是 ( A.5a B.6a C.5a2 D.6a2 【变式】下列运算正确的是 .(填序号) ①a3+a=a': ②2·m=a; ③a÷a3=a; ④(a3)‘=a': 12.教材（湘教七上P76T9改编）已知M-(2y- ⑤a+a2=a3; ⑥(a1)3=a: 3x2+5y2)=-2xy-3y2+(2x+y)(2x-y), ⑦3a2-2a=a2; ⑧(3a2)2=9a2: 其中M是关于x,y的多项式， ⑨(a2)3-(-a3)2=0. (1)求多项式M: (2)若x=1,y=2,求M的值： 7.真题(2019贵阳3题3分)选择计算(-4x2+ (3)若x+y=2,y=1,求M的值 3x2y)(4xy2+3x2y)的最佳方法是 A.运用多项式乘多项式法则 B.运用平方差公式 C.运用单项式乘多项式法则 D.运用完全平方公式 8.教材（人教八上P109思考改编）如图是利用 割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之 相对应的是 考点4因式分解(2023.13，贵阳2022.13) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 13.真题(2023贵州13题4分)因式分解：x2-4 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-6 14.真题(2022贵阳13题4分)因式分解：a2+ D.(ab)2=a2b2 2a= 第一单元数与式11 15.教材（人教八上P119T5改编）分解因式： 17.课标(P144例66改编)代数推理： (1)2x2-4x= 15×15=225=2×100+25 (2)a2b-4ab+4b= 25×25=625=6×100+25 (3)m3-n2m= 35×35=1225=12×100+25 (4)x2+3x-4= 考点5代数推理 试探究两位数5（即个位数字是5，十位数字 是a的两位数)的平方的一般规律，(a5)2= 16.教材（北师八下P105T14改编）325-4× (10a+5)2= 324+10×32一定能被( )整除。 A.5 B.7 C.8 D.10 新教材素材 新湘教七上多知道一点一整体思想的应用 1.阅读材料： 因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.再将“A”还原，可以得到： 原式=(x+y+1)2 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法 问题解决： (1)因式分解：1+6(x-y)+9(x-y)2: (2)因式分解：(a2-4a+1)(a2-4a+7)+9: (3)证明：若n为正整数，则代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某个整数的平方 【新增】新北师七上问题解决策略一归纳 2.长方形内点的个数与可以形成的三角形个数的有关数据如下表： 长方形内点的个数 1 2 3 4 可以形成的三角形的个敏4 6 8 10 【归纳】观察表格中的四组数据变化，比较后发现长方形内点的个数每增加1个，可以形成的 三角形的个数增加2个，故可以通过这一规律总结得到：当长方形内点的个数为n(n为正整 数)时，可以形成的三角形有 个 【解决问题】当长方形内有100个点时，可以形成的三角形有 温馨提示 请完成分层进阶练习册P7~P8习题 12 众相原创赋能中考贵州数学课堂精讲册 第一部分 追本溯源夯基础 第一单元数与式 Ta'b"16ab 19ma +mb me am +an+bm +bn 第一节实数及其相关概念 m2-b②a2±2ab+b☒4r2x②④a+b5m(a+b+c） 团最大公约数团相同四最低②2y到(a+b)(a-b) ①-5元2大于③1a-b1④ ⑤-a 60 M(a±b) 2(x+1)(x+2) 1.(1)a2+(2)(1-15%)a(3)0.8a ⑦0⑧原点⑨101①相反数20,1 B0,±1 (4)(8m+100n) 4161067.677.58 2.B 1.A【变式】π，5,5，c0s45°-7.4,3,00 3.(1)原式=-5. (2)原式=-5. 2B3B【变式】-5号4C (3)(x-1)2+1y-21=0, 5.(1)11(2)①3或-1②m(答案不唯一)(3)A ∴.x-1=0,y-2=0. 6.±884【变式】47.①②5⑥8.B ,x=1,y=2, 9.(1)4×103(2)1.173×1031.173×10 ∴，原式=-3×12+9×2-2=13， (3)5×10+(4)-3.05×10-7(5)2×10- 4.解：(1)S=ab-a-b+1: 【变式】2340000 (2)当a=3.b=2时，S=3×2-3-2+1=2 新教材素材B 5.③⑥6.A【变式】②⑨7.B8.A9.x210.9 第二节二次根式 11.解：一 正确的解答过程如下： ①大于或等于②a③-a④a·b⑤g ⑥ab a(1+a)-(a-1)2 =a+a2-(a2-2a+1) ①，√：⑧最简⑨被开方数232Bm =a+a2-a2+2a-1 =3a-1. 14/a-n 12.解：(1)由题意，得M=-2xy-3y2+(2x+y)(2x-y) 1.x≥33【变式】x>32.②⑤⑦83.64.⑤ +(2xy-3x2+5y2) 5.6 =-2y-3y2+4x2-y2+2gy-3x2+5y 6.原式=-23. =x2+y2: (2)当x=1,y=2时，M=x2+y2=12+2=5 7.D8.5(答案不唯一)9.5 (3)x+y=2,xy=1, 第三节实数的大小比较及运算 .M=x+y2=(x+y)2-2y=22-2×1=4-2=2. ①小②大③1④负数⑤正数⑥-1⑦0 13.(x+2)(x-2)14.a(a+2) 15.(1)2x(x-2)(2)b(a-2) (3)m(m+n)(m-n)】 23B0较大 (4)(x+4)(x-1) 16.B17.a(a+1)×100+25 5减去G0(-b)B-ab0 2a×c+bxc 新教材素材 1.(1)原式=(1+3x-3y)2: L.A2.D3.<<4.C5.A (2)原式=(a-2)‘: 611-2781-11日 -85-2 (3)证明：(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3m+2) (n2+3n)+1=(m2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3m+1)月 7.解：原式=4+1-1=4 ,n为正整数，.n2+3n+1为正整数， 8.解：（答案不唯一）选取①②3这3个代数式进行求和， .代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某个 得22+1-21+(-1)" 整数的平方. =4+2+1 2.(2n+2)202 =7. 第五节分式 新教材素材B ①B≠0②B=0③M=0且B≠0④不等于0 第四节整式（含因式分解） ①和②常数项③次数最高项④相同⑤指数 ⑤不变⑥x(x+1)(x-1) 哈置8g: 6 ⑥系数⑦不变⑧5a2b⑨+b+c0-b-c ①相加2a”· 3相减④a"-*5相乘0a 国不变①加减B骑陆若 2众相原创赋能中考