江苏省海门中学2024-2025学年高二上学期9月学情调研数学试题

2024-2025学年江苏省南通市海门中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）✥ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角大小(    ) A. B. C. D. 2.已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为(    ) A. B. C. D. 3.若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知直线l：，则“，”是“直线l不通过第二象限”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5.在直角坐标系xOy中，若过原点的直线l与圆M：有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.直线l过点P，绕P按逆时针方向转角，所得的直线为，若继续按逆时针方向转角，则得到直线，则直线l的方程为(    ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，若圆上有且仅有3个点到直线l的距离为1，则直线l的倾斜角为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 8.已知点，直线与x轴，y轴分别交于点A，若以线段AB为边在第一象限内作等边，使得和的面积相等，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是(    ) A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B. 若过点，的直线的斜率是2，则 C. 两平行直线与之间的距离为，则或 D. 直线关于直线对称的直线为 10.已知点M在圆O：外，以线段OM为直径的圆和圆O交于P，Q两点，则(    ) A. 直线MP与圆O相切 B. 当时， C. 当时，点M的轨迹方程为 D. 当M点坐标为时，直线PQ的方程为 11.已知直线l：与圆C：交于A，B两点，与y轴交于点E，点M为弦AB的中点，则(    ) A. 的最小值为 B. 面积的最大值为6 C. 存在定点Q，使得为定值 D. 有最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设m为实数，若直线在y轴上的截距为，则m的值为__________. 13.已知圆C：与圆O：有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______. 14.“出租车几何”或“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系xOy内，对于任意两点、，定义它们之间的“曼哈顿距离”为已知点，若点Q满足，则动点Q的轨迹的长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在平面直角坐标系xOy中，设直线：，直线： 若直线，求实数k的值； 求证：直线过定点C，并求出点C的坐标； 当时，设直线，交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC的距离 16.本小题15分 已知函数 解关于x的不等式组； 若函数的图象与坐标轴有三个不同的交点，且经过该三点的圆与y轴相切，求a的值. 17.本小题15分 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切，直线被圆C截得的弦长为 求圆C的方程； 若直线l与圆C相切，且与x轴，y轴分别交于点， ①写出a关于b的表达式； ②求面积的最小值，并写出此时的直线l的方程. 18.本小题17分 已知，，点P满足 求点P的轨迹方程C； 过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点 ①若，求直线l的方程； ②若，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19.本小题17分 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点两球碰撞后，且标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： 如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程； 如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？ 如图3，设母球A的位置为，目标球B的位置为，能使目标球B向处运动或处运动，求a，b的取值范围直接写出结果即可 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【解答】 解：设直线的倾斜角为， 直线的斜率为， 则， 故选 2.【答案】A  【解析】解：与直线垂直的直线的斜率， 所以经过点且斜率的直线的方程为， 即 故选： 利用两直线垂直的充要条件求出直线的斜率k，再利用点斜式求出直线的方程． 本题考查了直线垂直的充要条件和直线的一般方程，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：由，得， 即，解得 故选： 若二元二次方程表示圆，则必须满足 本题考查圆的一般方程，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：当，时，直线l：可化为， 则斜率，，此时直线l经过第一，三，四象限，即充分性成立； 但时，直线l：经过第一，三象限，即必要性不成立． 故选： 结合直线方程检验充分必要性即可判断． 本题主要考查了充分必要性的判断，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：在直角坐标系xOy中，若过原点的直线l与圆M：有公共点， 则直线l的斜率一定存在， 设直线l的方程为， 由题意可得， 即， 则 故选： 结合点到直线的距离公式求解． 本题考查了点到直线的距离公式，属基础题． 6.【答案】C  【解析】解：联立，解得， 由题意可知，直线l与直线垂直， 则， 故直线l的方程为，即 故选： 先求出交点，再结合直线垂直的性质，即可求解． 本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：圆的标准方程为，圆心为，半径， 因为圆上有且仅有3个点到直线l的距离为1，且直线l的方程为， 所以圆心到直线l的距离， 解得，设直线l的倾斜角为 所以，所以或 故选： 由题意，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式可得关于k的方程，求出斜率k，再由斜率与倾斜角的关系即可求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 8.【答案】A  【解析】解：如图所示， 直线与x轴，y轴分别交于点，， 以线段AB为边在第一象限内作等边，， 则AB边上的高为：， 在第一象限内有一点点，使得和的面积相等，则点P到直线BA的距离， ， 解得 故选： 求解A、B的坐标，以线段AB为边在第一象限内作等边，可得，可得AB边上的高，根据在第一象限内有一点使得和的面积相等，即可得出点P到直线BA的距离然后求解 本题考查了平行线之间的距离、点到直线的距离公式、三角形面积、等边三角形性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9.【答案】CD  【解析】解：，令，解得， 令，解得， 直线在两坐标轴上的截距相等， 则，解得，故A错误； 过点，的直线的斜率是2， 则，解得，故B错误； 直线与平行， 则， 两平行直线与之间的距离为， 则，解得或，故C正确； 直线， 则，由反函数的定义可知，， 故直线关于直线对称的直线为，故D正确． 故选： 结合截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，即可求解． 本题主要考查截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，是基础题． 10.【答案】ABD  【解析】解：对于A，如图，连接MP，OP，OM， 由题可得，点P在以OM为直径的圆上， 所以，又点P在圆O上， 所以直线MP与圆O相切，故A正确； 对于B，当时， 由圆的性质可知，，又， 所以，则， 易知，四边形OPMQ是正方形， 所以，故B正确； 对于C，由B可知，当时，， 所以M的轨迹是以O为圆心，半径为的圆， 所以M的方程为：，故C错误； 对于D，当M点坐标为时， ，线段OM的中点为， 所以以线段OM为直径的圆的方程为：，即为， 所以直线PQ的方程为， 即，故D正确． 故选： 对于A，由圆的性质即可判断；对于B，当时，由圆的性质可知，，然后在等腰直角三角形OPM中即可求解；对于C，由B可知，当时，所以M的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，即可判断；对于D，当M点坐标为时，可得以线段OM为直径的圆的方程为：，然后两圆的方程作差即可得解． 本题考查了圆的性质及直线与圆的位置关系，属于中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：如图，由已知可得，圆心，半径，设，， 直线l方程的斜截式为：，所以直线过定点 对于A，当时，最小，， 则，即的最小值为，故A错； 对于B，，， 则当，时，的面积最大，此时，故B正确； 对于C，联立，消去y得， 则，， 所以， 因为M是AB的中点，设，则， 则， 所以M的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以存在定点，使得为定值，故C对； 对于D，由C有，，，则， 所以 ， 令，则， 则，解得， 所以，即， 即， 所以，故D对． 故选： 对于A，当时，最小，求出的长，由垂径定理即可求解；对于B，设，确定的范围，表示出的面积，由的范围可以求出面积的最大值；对于C，设，联立直线与圆的方程，写出韦达定理，表示出M点的坐标，求出点M的轨迹方程，即可判断；对于D，表示出向量，结合韦达定理并化简，利用判别式法可求解最值． 本题考查了直线与圆的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题． 12.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查了直线的斜截式方程，以及直线的截距，属于基础题． 将直线方程化为斜截式，根据条件列出方程求出m的值． 【解答】 解：由得，， 直线l：在y轴上的截距为， ，解得 故答案为： 13.【答案】  【解析】解：根据题意，圆C：，即，其圆心为，半径， 圆O：，其圆心O为，半径， 若圆O与圆C有且仅有一条公切线，且两圆内切，则有，即， 又由，解可得， 则圆C的方程为①， ，即②， ①-②可得：，变形可得：， 即两圆公切线的方程为 故答案为： 根据题意，分析两个圆的圆心和半径，由公切线数目可得两圆内切，由此求出a的值，联立两圆方程，分析可得答案． 本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆公切线的方程，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：设，由，可得， 当，时，方程化为； 当，时，方程化为； 当，时，方程化为； 当，时，方程化为 可得动点Q的轨迹为边长为的正方形，其长度为 故答案为： 去绝对值，可得动点Q的轨迹为边长为的正方形，可得所求长度． 本题考查动点的轨迹长度，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 15.【答案】解：直线：，直线：， 直线， ， 解得 证明：直线：， ， 由，得，， 直线过定点 当时，直线：，直线：， 解方程组，得，，， 过A作x轴的垂线，垂足为B，， 直线BC的方程为：，即， 点到直线BC的距离  【解析】由已知条件利用直线平行的性质能求出 直线转化为，由k的系数为0，能求证明直线过定点 当时，直线：，直线：，解方程组求出，从而求出，再求出直线BC的方程，然后利用点到直线BC的距离求出 本题考查直线方程中参数的求法，考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质、点到直线的距离公式的合理运用． 16.【答案】解：不等式组为 ①当时， 或， ②当时， 或， ③当时， 当时，， 当时，或， 综上：当时，不等式组的解集为， 当时，不等式组的解集为， 当时，不等式组的解集为； 函数与坐标轴的三个不同的交点为，，，其中且， 设经过该三点的圆的方程为， 则解得 圆的方程为， 即， 该圆与y轴相切， ， 解得  【解析】对a分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可； 设圆的一般方程，利用待定系数法求出D，E，F的值，从而可得圆的方程，结合已知条件即可求解a的值． 本题主要考查一元二次不等式的解法，圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 17.【答案】解：因为圆C的圆心在直线上，且与x轴相切， 所以设圆C的方程为， 圆心C到直线的距离为， 又直线被圆C截得的弦长为， 所以， 解得， 所以圆C的方程为或； 因为直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距均为正数， 所以圆C的方程为， ①直线l的方程为，即， 所以， 即为， 化为， 所以； ②， 令则， 所以， 当且仅当即时，， 此时直线l的方程为  【解析】由题意可设圆C的方程为，由圆的弦长公式，解方程可得所求； ①运用直线和圆相切的条件，结合点到直线的距离公式，化简可得所求； ②运用三角形的面积公式和基本不等式，化简整理，可得所求． 本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 18.【答案】解：设， 因为，所以， 化简的点P的轨迹方程C： 因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为， 由 消去y得，， 设，， 则， ， ①因为，所以， 所以，即， 由得， 代入，得， 解得 ②， 则，，， 因为， 所以解得 为定值．  【解析】利用两点间的距离公式即可求解轨迹方程； 由题意可设直线l的方程为，与轨迹方程C联立，可得根与系数的关系． ①由，可得，从而可得关于k的方程，求解即可； ②由向量相等表示，，结合根与系数的关系可得为定值． 本题主要考查轨迹方程，直线与圆的方程的综合应用，考查运算求解能力，属于难题． 19.【答案】解：根据图1，点，所在的直线方程为， 当A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，并且球心在第四象限， 因此设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为， 所以，则 解得，，所以A，B两球碰撞时，球A的球心坐标， 因此母球A的球心运动的直线方程为：，化简可得 假设能使目标球B向处运动，所以根据第一问知球A需运动到处， 且到达处前不与目标球B接触． 所以，， 因此， 因此为锐角， 过B作于D，那么点D在线段上， 因此， 因此球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触， 因此不能使目标球B向处运动． ，  【解析】根据图象设出碰撞后球A的球心坐标，并解出坐标即可求解． 先假设能使目标球B向处运动，再结合第一问证明出为锐角即可证明． 根据已知求解即可． 本题考查圆方程综合应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$