福建省泉州市石狮市石光中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市石狮市石光中学教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 2．（4分）若，则的值等于（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若两个相似三角形的相似比为3：5，则它们的周长之比为（　　） A．3：5 B．9：25 C．25：9 D．3：8 4．（4分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）4＝23 B．（x+4）2＝9 C．（x+8）2＝71 D．（x+8）2＝57 5．（4分）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　　） A．32m B．36m C．48m D．56m 6．（4分）一元二次方程9x2﹣6x+1＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 8．（4分）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（　　） A．0.63（1+x）＝0.68 B．0.63（1+x）2＝0.68 C．0.63（1+2x）＝0.68 D．0.63（1+2x）2＝0.68 9．（4分）已知一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根是a和b，则2a2+5a+b的值是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 10．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2024，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）计算：＝　 　． 12．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么AC：AE的值是 　 　． 13．（4分）一元二次方程（x﹣1）（x+2）＝0的根是 　 　． 14．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则四边形BCED的面积为 　 　． 15．（4分）若a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为 　 　． 16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝ 　 　． 三、计算题：本大题共2小题，共16分。 17．（8分）计算：． 18．（8分）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0． 四、解答题：本题共7小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： 19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B．若AB＝10，AC＝8，AD＝4． （1）证明：△ABC∽△AED； （2）求线段AE的长． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝BC． （1）尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接AD，求证：△DAC∽△ABC． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣4＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根是2，求m的值； （2）求m的取值范围． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？ （2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？ 23．（10分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元，有可能吗？请说明理由． 24．（12分）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝，由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，记S1＝α+β，S2＝α2+β2，…，Sn＝αn+βn． （1）求：S1＝ 　 　；S2＝ 　 　.（直接写出所求数值） （2）当n为不小于3的整数时，求证：Sn＝Sn﹣1+Sn﹣2； （3）利用（2）中所证明的结论，求的值． 25．（14分）（1）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，连接BD和CE，求证：△ABD∽△ACE；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，　 　， ∴△ABD∽△ACE； （2）尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，连接CE；求证：△ADF∽△ECF； （3）拓展创新 如图（3），点D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，∠BDC＝90°，AB＝4，．过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，其中，求AD的长． 2024-2025学年福建省泉州市石狮市石光中学教育集团九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0． 【解答】解：根据题意，得 x﹣3≥0， 解得x≥3； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2．（4分）若，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质即可得到结论． 【解答】解：∵， ∴设b＝3k，a＝2k， ∴＝＝， 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．（4分）若两个相似三角形的相似比为3：5，则它们的周长之比为（　　） A．3：5 B．9：25 C．25：9 D．3：8 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为3：5， ∴它们的周长比为3：5， 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 4．（4分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　） A．（x+4）4＝23 B．（x+4）2＝9 C．（x+8）2＝71 D．（x+8）2＝57 【分析】先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答． 【解答】解：∵x2+8x+7＝0， ∴x2+8x＝﹣7， ∴x2+8x+16＝﹣7+16， ∴（x+4）2＝9． 故选：B． 【点评】本题考查运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 5．（4分）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　　） A．32m B．36m C．48m D．56m 【分析】根据相似三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：∵AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝48m， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．（4分）一元二次方程9x2﹣6x+1＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D． 【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠BAC， A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误； D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法． 8．（4分）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（　　） A．0.63（1+x）＝0.68 B．0.63（1+x）2＝0.68 C．0.63（1+2x）＝0.68 D．0.63（1+2x）2＝0.68 【分析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，根据2018年及2020年的全市森林覆盖率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：0.63（1+x）2＝0.68． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（4分）已知一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根是a和b，则2a2+5a+b的值是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【分析】根据一元二次方程根的概念以及根与系数的关系得2a2+4a＝﹣1，a+b＝﹣2，代入2a2+5a+b＝2a2+4a+（a+b）计算可得答案． 【解答】解：∵一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根是a和b， ∴2a2+4a＝﹣1，a+b＝﹣＝﹣2， 则2a2+5a+b ＝2a2+4a+（a+b） ＝﹣1﹣2 ＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，解题关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出两根的和的值，再将所求式子进行变形求解． 10．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2024，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】x＝2024满足方程ax2+bx+c＝0，20242a+2024b+c＝0，两边同时除以20242可确定所求方程的一个根． 【解答】解：把x＝2024代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20242a+2024b+c＝0， 两边除以20242，得a+b+•c＝0， ∴c+b+a＝0， ∴是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）计算：＝　　． 【分析】根据二次根式的除法法则计算． 【解答】解：＝． 【点评】主要考查了二次根式的除法运算．除法法则＝（a＞0，b≥0）． 12．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么AC：AE的值是 　1：3　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入得到答案． 【解答】解：∵BD：DF＝1：2， ∴BD：BF＝1：3， ∵AB∥CD∥EF， ∴AC：AE＝BD：BF＝1：3， 故答案为：1：3． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键． 13．（4分）一元二次方程（x﹣1）（x+2）＝0的根是 　x1＝1，x2＝﹣2　． 【分析】先把原方程分解为x﹣1＝0，x+2＝0，再分别解方程即可． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x﹣1＝0，x+2＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝1，x2＝﹣2． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键． 14．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则四边形BCED的面积为 　10　． 【分析】利用平行线的性质可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，从而证明A字模型相似三角形△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∵， ∴＝（）2＝， ∵△ADE的面积是8， ∴△ABC的面积＝18， ∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积 ＝18﹣8 ＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 15．（4分）若a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根为 　﹣1　． 【分析】由于把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0，从而可判断原方程有一个根为﹣1． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0， 所以若a﹣b+c＝0，a≠0，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝ 　　． 【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF， ∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE， ∵∠ACB＝90°， ∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°， ∴∠BAD+∠ABE＝45°， ∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°， 在Rt△EFG中，EF＝， ∴FG＝EG＝1， ∵AF＝4， ∴AG＝AF﹣FG＝3，根据勾股定理得，AE＝＝， ∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC， ∴CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACF＝45°＝∠AFE， ∵∠CAF＝∠FAE， ∴△AEF∽△AFC， ∴， ∴AC＝＝＝， 故答案为． 【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE是解本题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共16分。 17．（8分）计算：． 【分析】先计算绝对值，二次根式的乘法，再合并 同类二次根式即可． 【解答】解：原式＝﹣2+﹣2 ＝﹣2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 18．（8分）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0． 【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：方程2x2﹣5x﹣3＝0， 因式分解得：（2x+1）（x﹣3）＝0， 可得：2x+1＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣，x2＝3． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 四、解答题：本题共7小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： 19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B．若AB＝10，AC＝8，AD＝4． （1）证明：△ABC∽△AED； （2）求线段AE的长． 【分析】（1）利用两对角相等的三角形相似得到△ABC∽△AED； （2）由相似得比例求出AE的长即可． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED； （2）解：∵△ABC∽△AED， ∴＝， ∵AB＝10，AC＝8，AD＝4， ∴＝， 解得：AE＝5． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AB＝BC． （1）尺规作图：在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接AD，求证：△DAC∽△ABC． 【分析】（1）在BC上取一个点D，使BD＝AD，只需满足∠DAB＝∠B＝36°即可，由∠B＝36°，AB＝BC，可求得∠BAC＝72°，所以，只需作出∠BAC的平分线与BC边的交点即可； （2）由AB＝BC得∠BAC＝∠C，而∠B＝36°，求得∠BAC＝∠C＝72°，由BD＝AD，∠DAB＝∠B＝36°，则∠ADC＝∠B+∠DAB＝72°，即可由∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，证明△DAC∽△ABC． 【解答】（1）解：作∠BAC的平分线交BC于点D， 点D就是所求的点． 理由：AB＝BC，∠B＝36°， ∴∠BAC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°， ∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝36°， ∴∠B＝∠DAB， ∴BD＝AD． （2）证明：∵AB＝BC，∠B＝36°， ∴∠BAC＝∠C， ∴2∠BAC+36°＝180°， ∴∠BAC＝∠C＝72°， ∵BD＝AD， ∴∠DAB＝∠B＝36°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝36°+36°＝72°， ∴∠ADC＝∠BAC， ∵∠C＝∠C， ∴△DAC∽△ABC． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、尺规作图等知识，正确地作出∠BAC的平分线是解题的关键． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣4＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根是2，求m的值； （2）求m的取值范围． 【分析】（1）把x＝2代入一元二次方程，求出m的值即可； （2）根据一元二次方程有两个实数根可知Δ≥0，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）把 x＝2代入 mx2﹣2x﹣4＝0 得：4m﹣4﹣4＝0， 解得m＝2； （2）∵一元二次方程 mx2﹣2x﹣4＝0 有两个实数根， ∴， 解得． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？ （2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？ 【分析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于9，先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出； （2）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t． ∴S△PBQ＝PB•BQ ＝ （6﹣t）•2t ＝﹣t2+6t， 由题意得﹣t2+6t＝9， 解得t1＝t2＝3， 所以运动时间t为3s； （2）若当△PBQ∽△ABC时，＝． 即＝， 解得t＝； 当△PBQ∽△CBA时，＝． 即＝， 解得t＝． 综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 23．（10分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ （2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元，有可能吗？请说明理由． 【分析】（1）设每件童装应降价x元，则每件可盈利（40﹣x）元，平均每天可销售这种童装（20+2x）件，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件童装应降价y元，则每件可盈利（40﹣y）元，平均每天可销售这种童装（20+2y）件，根据平均每天销售这种童装盈利1800元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，则每件可盈利（40﹣x）元，平均每天可销售这种童装（20+2x）件， 由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝20， 答：要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元； （2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元，不可能，理由如下： 设每件童装应降价y元，则每件可盈利（40﹣y）元，平均每天可销售这种童装（20+2y）件， 由题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1800， 整理得：y2﹣30y+500＝0， ∵△＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0， ∴该方程无解． ∴要想平均每天销售这种童装盈利1800元，不可能． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（12分）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝，由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，记S1＝α+β，S2＝α2+β2，…，Sn＝αn+βn． （1）求：S1＝ 　1　；S2＝ 　3　.（直接写出所求数值） （2）当n为不小于3的整数时，求证：Sn＝Sn﹣1+Sn﹣2； （3）利用（2）中所证明的结论，求的值． 【分析】（1）根据根与系数的关系，写出α+β，αβ的值，然后运用完全平方公式进行计算，求出S1，S2的值． （2）由α，β是方程的根，得到α2＝α+1，β2＝β+1进行证明． （3）根据（1）中的结论得到：＝S2＝3． 【解答】解：（1）α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两根， ∴α+β＝1，αβ＝﹣1， ∴S1＝α+β＝1，S2＝α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3； 故答案为：1，3； （2）证明：∵α，β是方程的根， ∴α2＝α+1，β2＝β+1， ∴Sn﹣2+Sn﹣1＝+++＝+＝αn+βn＝Sn； （3）由（1）有：＝S2＝3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根与系数的关系的应用，用到的知识点x1+x2＝﹣；（5）x1•x2＝． 25．（14分）（1）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，连接BD和CE，求证：△ABD∽△ACE；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，　　， ∴△ABD∽△ACE； （2）尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，连接CE；求证：△ADF∽△ECF； （3）拓展创新 如图（3），点D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，∠BDC＝90°，AB＝4，．过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，其中，求AD的长． 【分析】（1）由△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得，∠BAC＝∠DAE，等量代换可得∠BAD＝∠CAE，即可得证； （2）由已知可得△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质得，∠BAC＝∠DAE，等量代换可得∠BAD＝∠CAE，可得△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质得∠ABD＝∠ACE，∠ADF＝∠ECF，再由对顶角相等∠AFD＝∠EFC，即可得证； （3）连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出．证明△BDM∽△CDA，得出，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，则可得出AD的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△ABD∽△ACE． 故答案为：； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ADF＝∠ECF， 又∵∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF． （3）解：如图（3），连接BM， ∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∠CBD＝∠AMD， ∴△BDC∽△MDA， ∴． 又∵∠BDC＝∠ADM， ∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM， 即∠BDM＝∠CDA， ∴△BDM∽△CDA． ∴， ∵AC＝2， ∴BM＝2＝6， ∴AM＝＝＝2． 设AD＝m，则DM＝m， ∴， ∴m＝（负值舍）， ∴AD＝． 【点评】此题考查相似形的综合应用，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$