4.5.2方差（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

4.5.2方差 题型一 根据方差判断稳定性 1．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别为则成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据方差越大，则平均值的离散程度越大，波动大；反之，则它与其平均值的离散程度越小，波动小，稳定性越好，比较方差大小即可得出答案．本题考查的知识点是方差．熟练应用方差的性质是解题的关键． 【详解】解： ∴成绩最稳定的是甲． 故选A． 2．下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，解题的关键是理解方差越小越稳定．据此解答即可．也考查了平均数． 【详解】解：∵，丙和丁的平均数最大， ∴成绩好且发挥稳定的同学是丁． 故选：D． 3．小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】C 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，反映数据波动大小的统计量有方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较小明和小强同学自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩的稳定程度，应选用的统计量是方差． 【详解】方差的大小能反映数据波动的程度，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．故要比较两人成绩稳定程度，应用的统计量是方差． 故选C 4．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮测试，共分4个投篮点，每个投篮点投10个球，投中次数如表（单位：次）： 甲 8 6 9 9 乙 7 8 9 8 则下列结论正确的是（     ） A．甲的平均成绩较好 B．乙的平均成绩较好 C．甲的投篮成绩较稳定 D．乙的投篮成绩较稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查方差．根据算术平均数的概念先求出甲和乙的平均数，再代入方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲的平均数是：（次）， 乙的平均数是：（次）， 甲的方差， 乙的方差， ， 乙的投篮成绩较稳定． 故选：D． 5．甲、乙两名射击运动员在相同的条件下，各射击10次． 经计算：甲射击成绩的平均数是8环，且；乙射击成绩的平均数是8环，且．则下列说法中， 不一定正确的是（   ） A．甲、乙射击的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定 C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙两成绩的众数相同 【答案】D 【分析】本题考查了平均数、方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案． 【详解】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环， ∴甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意； ∵甲射击成绩的方差是1.1；乙射击成绩的方差是1.5， ∴甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故B，C都正确，不符合题意； 由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，符合题意； 故选：D． 6．甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 (1)统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ (2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． (3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 【答案】(1)40，60，70 (2)乙同学成绩的平均数是60，方差是160 (3)乙同学的成绩更稳定 【分析】本题考查了中位数和和众数、平均数和方差，熟练掌握各定义和计算公式是解题关键． （1）根据甲、乙同学5次考试的总成绩相同可求出的值，再根据中位数和和众数的定义求解即可得； （2）根据平均数和方差的计算公式求解即可得； （3）根据平均数和方差的意义求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 将甲同学成绩从小到大进行排序为， 则甲同学成绩的中位数是60， 乙同学成绩中，70出现的次数最多， 所以乙同学成绩的众数是70， 故答案为：40，60，70． （2）解：乙同学成绩的平均数是， 乙同学成绩的方差是． （3）解：因为甲、乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以乙同学的成绩更稳定 题型二 根据方差作决策 1．团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案，解题的关键是正确理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴应选甲， 故答案为：甲． 2．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，他们两人10次射击训练的成绩情况如下：甲队员： 6， 4， 6， 8， 9， 8， 7， 7， 10， 8； 乙队员的成绩如图. 乙队员射击成绩 队员 平均数(环) 中位数(环) 众数(环) 方差(环²) 甲 7.3 b c 2.61 乙 a 7 7 d 根据以上信息，整理分析数据如下： (1)求表格中a、b、c的值： (2)求出d的值，并判断哪名队员的成绩更稳定? (3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员?请结合表中的四个统计量，作出简要分析. 【答案】(1); (2)，乙队员的成绩更稳定 (3)应选甲 【分析】本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． （1）根据表格中的数据以及平均数，中位数，众数的定义，进行计算即可解答； （2）根据方差的公式进行计算，即可解答； （3）综合平均数，中位数，众数以及方差分析，确定出合适人选，即可解答． 【详解】（1）解：乙的平均成绩 (环)； 将甲队员的射击成绩按从小到大的顺序排列，最中间的两个数是7和8， 甲队员的射击成绩的中位数 甲队员的射击成绩中出现次数最多的是8环， 甲队员的射击成绩的众数； （2）解：乙的方差 ， 乙的方差<甲的方差， 乙队员的成绩更稳定； （3）解：若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，我认为应选甲队员，理由：因为甲的平均数，中位数，众数都高于乙，所以应选甲． 3．某学校为调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是：，，． 通过数据分析，绘制如下扇形统计图，并列表： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述，，的值：________，________，________． (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． (3)九年级两个班共名学生参加了此次调查活动，估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】(1)；； (2)选派九年级（1）班，理由见解析 (3)估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是名 【分析】本题考查的是扇形统计图，统计表，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将九年级（1）班名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出和的值；由题意可知九年级班组有人，即可求出其所占百分比，最后用其它各组所占百分比即可求出的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 【详解】（1）解：九年级（2）班C组占的百分比为， ， ， 九年级班名学生的成绩从低到高排列后，第和第位的数是和， ， 九年级班名学生的成绩中，出现的次数最多， 众数 （2）解：这次比赛中，学校会选派九年级（1）班． 理由：九年级（1）班成绩的方差小于九年级（2）班的方差， 九年级（1）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（1）班． （3）解：解：九年级（1）班名学生的成绩为优秀的有人， 九年级（2）班组的人数为 (人)， ∴九年级（2）班名学生的成绩为优秀的有 (人)． ∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是（人） 答：估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是人． 1．为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______； (2)该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【答案】(1)8，8 (2)228人 (3)，九年级成绩更稳定 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义计算即可； （2）用总人数乘以样本中满分的同学所占的百分比即可； （3）根据两个年级方差解答即可． 本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数， 根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第25，26个人的分数的一半，即， ， 故答案为：8，8； （2）解：（人）， 答：估计满分有228人； （3）解：依题意，九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差： ， ∵八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，且， ∴九年级成绩更稳定． 2．明德中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息． 信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长（h）统计如下． 时长（h） 1 2 3 4 5 6 7 人数 0 3 3 3 4 1 1 信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长（h）的数据如下． 1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7 信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长（h）的平均数、中位数、众数和方差统计如下． 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲 4 m 5 2.13 乙 p 4 n 2.93 根据以上信息，回答以下问题： (1)表格中的______，______，______； (2)从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？ (3)如果该校共有学生2400人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有多少人？ 【答案】(1)4，4，4； (2)从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定．理由见解析； (3)该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有1440人． 【分析】（1）根据众数、中位数以及平均数的定义即可解答； （2）根据方差的定义求解即可； （3）样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：甲班一周锻炼时长，从小到大排列第8位均为4，即中位数为4，即； 乙班一周锻炼时长的平均数为： 乙班一周锻炼时长最多的为，故众数为4，即； 故答案为：4；4；4； （2）解：从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定．理由如下： ，， ， 从甲班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定． （3）解：该校一周锻炼时长不低于的学生共有：人． 答：该校一周锻炼时长不低于的学生共有1440人． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确解答的关键． 3．2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图    B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图                  【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； (2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】(1)，88.5，98，图见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】（1）根据圆心角度数、中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人， 非常了解： 圆心角度数： 中位数 B两班的成绩最多的数是98，所以众数为：98 补全条形统计图如图： （2）（人）． 答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人． （3）从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样；从中位数看，B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数，说明A班的整体水平好一些；从众数看，A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数，说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；从方差看，A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差，说明A班学生测试成绩的波动小一些． 4．的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，详解下列问题． (1)学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”） (2)补全条形统计图． (3)若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【答案】(1)七 (2)补全图见解析 (3)160人 【分析】（1）根据方差的意义判断即可； （2）根据七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，求出2分和3分的人数，即可补全条形统计图； （3）用400乘以参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：∵， ∴学生代表成绩比较整齐的是七年级． 故答案为：七． （2）解：∵七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， ∴2分和3分的人数分别有1人和4人， 补全条形统计图如下： （3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有（人）， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有160人． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体等知识点，读懂统计图、从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 5．如图所示，山脚下有两条上山的石阶路，（图中数字表示每一级的高度，单位：）， (1) 请你用学过的统计知识来判断走那条路更舒适些？ (2) 若为了游客，在保持石阶的个数不变，山的竖直高度不变的情况下，重新维修一下，（石阶的高低起伏小时，走路人会感到舒适）请你帮助计算一下石阶的高度定为多少时走此路更舒适． 【答案】(1)第一段路段走起来更舒服一些，因为它的每一级台阶高度的方差较小； (2)每一级台阶高度均整修为(原数据的平均数)，使得方差为0，此时游客行走最方便， 【分析】此题考查的是方差，算术平均数等知识，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （1）根据方差的大小确定哪段台阶路走起来更舒服，方差小的走起来更舒服； （2）要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小，即每一级台阶的高度与平均高度相差更小． 每一级台阶高度均整修为(原数据的平均数)，使得方差为0，此时游客行走最方便． 【详解】（1）解： （） （） 第一段路段走起来更舒服一些，因为它的每一级台阶高度的方差较小； （2）解：每一级台阶高度均整修为(原数据的平均数)，使得方差为0，此时游客行走最方便 第一段路段走起来更舒服一些，因为它的每一级台阶高度的方差较小； 1．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回䈶下列问题： (1)____________； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】(1)9，8 (2)丙同学的面试成绩为83分 (3)乙 (4)乙 【分析】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． (1）根据中位数的定义可得m的值， 根据众数的定义可得 n的值； (2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分； (3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可； （4）根据加权平均数公式计算即可得出结论． 【详解】（1）解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8， 其中8出现次数最多，故众数． 故答案为：9，8； （2）解∶ 丙同学的面试成绩（分）， 答∶丙同学的面试成绩为83分； （3）解∶乙的平均得分为（分）， 乙的方差为，，可知，乙的得分的波动比甲和丙小， 所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致， 故答案为∶乙． （4）解∶ 甲的综合成绩为∶ (分)， 乙的综合成绩为∶ (分)， 丙的综合成绩为∶ (分)， ． 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为∶乙． 2．为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛． (1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的_____；（填：平均数或众数或中位数） (2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下： 签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成绩 9.8 9.6 8.8 9 2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！” 14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！” 请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______； (3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为，15号选手的方差为．你认为______号选手的成绩比较稳定． 【答案】(1)中位数 (2)9.05，、、、、、 (3)15 【分析】（1）因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数； （2）根据平均数公式、求众数的方法求解即可； （3）根据方差的意义分析即可得到答案． 【详解】（1）解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以， 故答案为：中位数； （2）解：这19位同学成绩的平均数为 ， 如表所示： 签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成绩 8.8 其中有1个、有1个、有1个、有2个、有2个、有1个、有1个、有2个、有2个、有2个、有2个、有1个、有1个，从而确定、、、、、均有2个，则众数为、、、、、， 故答案为：9.05，、、、、、； （3）解：她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为0.5，15号选手的方差为0.38，15号的方差小， 号选手的成绩比较稳定， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，此题不但要求学生会求，而且要求掌握方差、平均数、众数的运用． 3．某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：）如下表： 学生/成绩/次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 161 174 172 162 163 172 172 176 两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表： 学生/成绩/名称 平均数（单位：） 中位数（单位：） 众数（单位：） 方差（单位：） 甲 169      乙 169 172      根据图表信息回答下列问题： (1)______，______，______； (2)这两名同学中，______的成绩更为稳定；（填甲或乙） (3)若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择______同学参赛，理由是：__________________________； (4)若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择______同学参赛，理由是：__________________________． 【答案】(1) (2)甲 (3)甲，成绩在或以上的次数甲多 (4)乙，成绩在或以上的次数乙多 【分析】本题考查平均数和方差的意义．平均数表示数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． （1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得、、的值即可； （2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立； （3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在或以上的次数多，就选哪位运动员参赛； （4）若预测跳高方可获得冠军，则看哪位运动员的成绩在以上的多即可． 【详解】（1）解：； ， ∵出现了3次，最多， ∴， 故答案为：； （2）解：∵甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩更稳定， 故答案为：甲； （3）解：应选择甲，理由如下： 若跳高就获得冠军，那么成绩在或以上的次数甲多，则选择甲， 故答案为：甲，成绩在或以上的次数甲多； （4）解：应该选择乙，理由如下： 若才能获得冠军，那么成绩在或以上的次数乙多，则选择乙． 故答案为：乙，成绩在或以上的次数乙多． 4．某校开展了“学习二十大”的知识竞赛(百分制)，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 (数据分成五组：，，，，)； b． 七年级成绩在的数据如下 (单位: 分)：． c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ; (2)下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)， (2)①② (3)七年级有名学生成绩优秀的学生人数约为人 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数的计算及决策，运用样本百分比估算总体数量的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数的概念和计算方法即可求解； （2）根据平方数，方差可判定推理①；根据中位数可判定②，即可求解； （3）根据样本估算总体数量的方法即可求解． 【详解】（1）解：七年级成绩在的数据从小到大的排序为：． ∵七年级有人，中位数是第15，16名同学的成绩的平均数， ∴， ∵出现次数最多的是， ∴， 故答案为：，； （2）解：①七年级、八年级的平均数都是，七年级的方差为，八年级的方差为，八年级学生成绩的波动程度较小， ∴①推理正确； ∵八年级成绩的中位数是，小明同学的成绩是分， ∴他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩， ∴②推理正确； 故答案为：①②； （3）解：七年级竞赛成绩分及以上的人数有（人）， ∴（人）， ∴七年级有名学生成绩优秀的学生人数约为人． 1．下列判断正确的是（  ） A．数据2，4，4，1，的中位数是3 B．从初三月考成绩中抽取50名学生的数学成绩，则 50名学生是总体的样本 C．甲、乙两人各射靶5次，已知方差，，则乙的射击成绩较稳定 D．了解云南省昆明市居民疫情期间的出行方式，采用全面调查的方式 【答案】C 【分析】本题考查了方差的意义、调查的方式、样本的定义、中位数的定义，熟练掌握方差的意义和统计的基础知识是解决问题的关键． 由中位数的定义得出选项A错误；由样本的定义得出选项B错误；由方差的意义得出选项C正确；由调查的方式得出选项D错误． 【详解】解：A、把数据2，4，4，1，从小到大排列为，1，2，4，4，所以中位数为2，故原说法错误； B、从初三月考成绩中抽取50名学生的数学成绩，这50名学生的数学成绩是总体的一个样本，故原说法错误； C、，乙的射击成绩稳定，故原说法正确； D、了解云南省昆明市居民疫情期间的出行方式，应采用抽样调查的方式，故原说法错误； 故选：C． 2．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表： 班级 参赛人数 中位数 方差 平均字数 甲 55 149 181 135 乙 55 151 110 135 某同学分析上表后得出如下结论： ①甲、乙两班学生电脑汉字输入的平均水平相同；②乙班学生电脑汉字输入优秀的人数多于甲班（每分钟输入汉字个为优秀）；③甲班学生电脑汉字输入成绩的稳定性好于乙班．则该同学分析的结论正确的是（      ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数，平均数和方差，熟知三者的意义是解题的关键．根据表格中的数据，结合平均数，中位数和方差的意义求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两个班级的平均数相同， ∴甲、乙两班学生成绩平均水平相等，故①正确； ∵甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，即甲班第28名的成绩为149，乙班第28名的成绩为151， ∴甲班优秀的人数小于等于27人，乙班优秀的人数大于等于28人， ∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，故②正确， ∵甲班的方差大于乙班的方差， ∴乙班学生电脑汉字输入成绩的稳定性好于甲班，故③错误， 故选：B． 3．下列说法正确的是（    ） A．九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B．数据，，，，的中位数和众数都是5 C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 D．若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 【答案】D 【分析】考查全面调查、抽样调查的意义，中位数、众数、平均数以及方差的意义，根据选项内容逐个进行剖析，判断正误，做出选择即可． 【详解】解：A.英语测试平均成绩是95.5，说明这个班的英语成绩的平均水平是95.5分，并不是每个同学的得分都是95.5分，因此选项不符合题意， B. 数据，，，，的中位数是4和众数是5，因此选项不符合题意， C.要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽查的方式，不能采取全面调查，也没有全面调查的必要，因此选项不符合题意， D.甲的方差比乙的方差大，因此乙数据比较稳定，因此选项符合题意， 故选：D． 4．某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竟赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，则下列说法正确的是（   ） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数以及优秀率，掌握各自的定义以及计算公式是解题的关键． 分别求出甲、乙两组学生成绩的平均数、方差、中位数以及优秀率即可． 【详解】解：甲组平均成绩为：分， 乙组平均成绩为：分， ∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩的方差为：， 乙组成绩的方差为：， ∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩中位数为：， 乙组成绩中位数为：， ∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意； 甲组成绩优秀率为：， 乙组成绩优秀率为：， ∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5.2方差 题型一 根据方差判断稳定性 1．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别为则成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 4．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮测试，共分4个投篮点，每个投篮点投10个球，投中次数如表（单位：次）： 甲 8 6 9 9 乙 7 8 9 8 则下列结论正确的是（     ） A．甲的平均成绩较好 B．乙的平均成绩较好 C．甲的投篮成绩较稳定 D．乙的投篮成绩较稳定 5．甲、乙两名射击运动员在相同的条件下，各射击10次． 经计算：甲射击成绩的平均数是8环，且；乙射击成绩的平均数是8环，且．则下列说法中， 不一定正确的是（   ） A．甲、乙射击的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定 C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙两成绩的众数相同 6．甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 (1)统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ (2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． (3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．  题型二 根据方差作决策 1．团队游客年龄的方差分别是，，，导游小明最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选 ． 2．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，他们两人10次射击训练的成绩情况如下：甲队员： 6， 4， 6， 8， 9， 8， 7， 7， 10， 8； 乙队员的成绩如图. 乙队员射击成绩 队员 平均数(环) 中位数(环) 众数(环) 方差(环²) 甲 7.3 b c 2.61 乙 a 7 7 d 根据以上信息，整理分析数据如下： (1)求表格中a、b、c的值： (2)求出d的值，并判断哪名队员的成绩更稳定? (3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员?请结合表中的四个统计量，作出简要分析. 3．某学校为调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是：，，． 通过数据分析，绘制如下扇形统计图，并列表： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 b c 九年级（2）班 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述，，的值：________，________，________． (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． (3)九年级两个班共名学生参加了此次调查活动，估计两个班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 1．为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______； (2)该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 2．明德中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息． 信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长（h）统计如下． 时长（h） 1 2 3 4 5 6 7 人数 0 3 3 3 4 1 1 信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长（h）的数据如下． 1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7 信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长（h）的平均数、中位数、众数和方差统计如下． 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲 4 m 5 2.13 乙 p 4 n 2.93 根据以上信息，回答以下问题： (1)表格中的______，______，______； (2)从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？ (3)如果该校共有学生2400人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有多少人？ 3．2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图    B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图                  【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； (2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 4．的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，详解下列问题． (1)学生代表成绩比较整齐的是 年级．（填“七”或“八”） (2)补全条形统计图． (3)若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． ． 5．如图所示，山脚下有两条上山的石阶路，（图中数字表示每一级的高度，单位：）， (1) 请你用学过的统计知识来判断走那条路更舒适些？ (2) 若为了游客，在保持石阶的个数不变，山的竖直高度不变的情况下，重新维修一下，（石阶的高低起伏小时，走路人会感到舒适）请你帮助计算一下石阶的高度定为多少时走此路更舒适． 1．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 1.85 乙 8.5 8 87 丙 8 n p 2.01 根据以上信息，回䈶下列问题： (1)____________； (2)求丙同学的面试成绩； (3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (4)按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是______（填“甲”、“乙”或“丙”）． 2．为弘扬民族精神，传播传统文化，某县教育系统将组织“弘扬传统文化，永承华夏辉煌”的演讲比赛．某校各年级共推荐了19位同学参加初赛（校级演讲比赛），初赛成绩排名前10的同学进入决赛． (1)若初赛结束后，每位同学的分数互不相同．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的_____；（填：平均数或众数或中位数） (2)若初赛结束后，这19位同学的成绩如下： 签号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 签号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成绩 9.8 9.6 8.8 9 2号选手笑着说：“我的成绩代表着咱们这19位同学的平均水平呀！” 14号选手说：“与我同分数的选手最多，我的成绩代表着咱们这19位选手的大众水平嘛！” 请问，这19位同学成绩的平均数为______，众数为______； (3)已知10号选手与15号选手经常参加此类演讲比赛，她俩想看看近期谁的成绩较好、较稳定，她俩用近三次同时参加演讲比赛的成绩计算得到平均分一样，10号选手的方差为，15号选手的方差为．你认为______号选手的成绩比较稳定． 3．某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：）如下表： 学生/成绩/次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 161 174 172 162 163 172 172 176 两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表： 学生/成绩/名称 平均数（单位：） 中位数（单位：） 众数（单位：） 方差（单位：） 甲 169      乙 169 172      根据图表信息回答下列问题： (1)______，______，______； (2)这两名同学中，______的成绩更为稳定；（填甲或乙） (3)若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择______同学参赛，理由是：__________________________； (4)若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择______同学参赛，理由是：__________________________． 4．某校开展了“学习二十大”的知识竞赛(百分制)，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 (数据分成五组：，，，，)； b． 七年级成绩在的数据如下 (单位: 分)：． c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ; (2)下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 1．下列判断正确的是（  ） A．数据2，4，4，1，的中位数是3 B．从初三月考成绩中抽取50名学生的数学成绩，则 50名学生是总体的样本 C．甲、乙两人各射靶5次，已知方差，，则乙的射击成绩较稳定 D．了解云南省昆明市居民疫情期间的出行方式，采用全面调查的方式 2．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表： 班级 参赛人数 中位数 方差 平均字数 甲 55 149 181 135 乙 55 151 110 135 某同学分析上表后得出如下结论： ①甲、乙两班学生电脑汉字输入的平均水平相同；②乙班学生电脑汉字输入优秀的人数多于甲班（每分钟输入汉字个为优秀）；③甲班学生电脑汉字输入成绩的稳定性好于乙班．则该同学分析的结论正确的是（      ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 3．下列说法正确的是（    ） A．九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B．数据，，，，的中位数和众数都是5 C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 D．若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 4．某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竟赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，则下列说法正确的是（   ） A．甲组平均成绩高于乙组 B．甲组成绩比乙组更稳定 C．甲组成绩中位数与乙组相同 D．乙组成绩优秀率更高 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$