19.2 第2课时 证明举例（三角形的内角和、外角性质和角平分线运用问题）（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

19.2 第2课时 证明举例（三角形的内角和、外角性质和角平分线运用问题） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型一、与角平分线有关的三角形内角和问题 解题技巧提炼 三角形的内角和主要用于求出两个角之间的和差关系，角平分线则将将角度一分为二，重新构造三角形，利用角的和差关系，以及角的等量代换求出所求角的大小. 1．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是(    ) A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．如图，中，是高，是角平分线，，求． 3．如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，求的度数． 4．如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． (2)若的周长为10，求的长． 5．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝CD，点E在线段AD上，连接CE，设∠ABC＝α，∠AEC＝β． (1)若AC＝BC，CE平分∠ACB，求α和β之间的数量关系； (2)若点E在线段AD的延长线上，且α＋β＝180°，求证：AB＝EC． 6．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 题型二、三角形外角的性质的应用 解题技巧提炼 三角形的外角和性质指的是三角形的一条边与相邻的另一条边的延长线所形成的夹角等于与它不相邻的两个内角之和. 7．如图，在中，平分，于点P，，，．，那么 （用含的代数式表示）． 8．已知△ABC是等边三角形，D，E分别是直线AC，BC上一点． (1)如图，若D在线段AC上，E在BC的延长线上，且DE＝DB． ①当D是线段AC的中点时（如图1），求证：CE＝AD； ②当D不是线段AC的中点时（如图2），过点D作DF∥AB交BC于点F，试确定线段CE与AD的大小关系，并证明你的结论． (2)若D是线段AC的延长线上一点，且CD＝CA，当△DBE是等腰三角形时，求∠DEB的度数． 9．已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连交射线于点，设． (1)如图1，若， ①求的度数； ②当为何值时，为中点，并说明理由． (2) 在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 题型三、平行线与角平分线创新问题 解题技巧提炼 平行线与角平分线所形成的三角形为等腰三角形.即平行线+角平分线=等腰三角形. 几何证明题中常用到等角对等边将三角形的周长三边进行转换. 10．已知，如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，过点E作DE∥BC交AB于点D，若AE=3cm，△ADE的周长为10cm，则AB= cm． 11．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（  ） A． B． C． D． 12．一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的，碰着上的点B后便反弹而滚向桌边，碰着上的点C便反弹而滚向桌边上的点D，如此运动，球经过D点反弹到上的点E，经过E点反弹到上的点F．如果，，，都是线段，且的平分线，的平分线，的平分线，的平分线，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 第2课时 证明举例（三角形的内角和、外角性质和角平分线运用问题） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型一、与角平分线有关的三角形内角和问题 解题技巧提炼 三角形的内角和主要用于求出两个角之间的和差关系，角平分线则将将角度一分为二，重新构造三角形，利用角的和差关系，以及角的等量代换求出所求角的大小. 1．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是(    ) A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定；根据角平分线与三角形内角和定理即可判断①，证明，根据全等三角形的性质即可判断②；作于，于，得出点在的平分线上，进而根据三角形的面积公式即可判断③． 【详解】解：和的平分线相交于点， ，， ，①正确； ， ， ，分别是与的平分线， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 作于，于， 和的平分线相交于点， ∴， 点在的平分线上， ， ， ，③正确． 故选：C． 2．如图，中，是高，是角平分线，，求． 【答案】， 【分析】先利用三角形的内角和定理及推论求出、，再利用角平分线的性质求出，最后利用角的和差关系得结论．本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、角的和差关系等知识点是解决本题的关键． 【详解】解：，， ． 是高，是角平分线． ，． ∴， ， ． ， ． 3．如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，首先根据三角形内角和定理得到，由平分得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分交边于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． (2)若的周长为10，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义； （1）根据等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求解； （2）根据角平分线的定义，平行线的性质得出，则，进而根据的周长为10，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：， ． 平分， ， ． （2）解：平分 ． ． ． 的周长为10， ． ， ． 5．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝CD，点E在线段AD上，连接CE，设∠ABC＝α，∠AEC＝β． (1)若AC＝BC，CE平分∠ACB，求α和β之间的数量关系； (2)若点E在线段AD的延长线上，且α＋β＝180°，求证：AB＝EC． 【答案】(1)3αβ＝90° (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和，可以得到α和β之间的数量关系； （2）根据题意可以构造三角形全等，先作辅助线CF＝CE且点F在直线AD上，然后即可证明△BDA≌△FDC，从而可以得到结论成立． 【详解】（1）解：设∠ACE＝x， ∵CE平分∠ACB，AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA＝2x， ∵AC＝BC，∠ABC＝α， ∴∠ABC＝∠BAC＝α， ∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠AEC＋∠EAC＋∠ACE＝180°，∠AEC＝β， ∴α＋α＋2x＝180°，β＋2x＋x＝180°， ∴3αβ＝90°； （2）解：作CF＝CE且点F在直线AD上，如图所示， 则∠CEF＝∠CFE， ∵∠ABC＝α，∠AEC＝β，α＋β＝180°， ∴∠ABC＋∠CFE＝180°， ∵∠ABC＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∠CFE＝∠CDF＋∠FCD，∠BDA＝∠FDC， ∴∠BAD＝∠FCD， 在△BDA和△FDC中， ， ∴△BDA≌△FDC（ASA）， ∴AB＝CF， ∴AB＝CE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 6．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6②③存在（理由见解析）④存在， 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论． （2）①分别找到以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数． ②利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出的度数． ③和②同理 ④利用“8字形”的数量关系并结合“，”即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 在中， （对顶角相等） （2）①解：以M为交点的有1个，即为和 以O为交点的有4个，即为和，和，和，和 ②解：AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ③解：理由如下： AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ④解：理由如下： 由（1）中的结论得： 整理得： 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键． 题型二、三角形外角的性质的应用 解题技巧提炼 三角形的外角和性质指的是三角形的一条边与相邻的另一条边的延长线所形成的夹角等于与它不相邻的两个内角之和. 7．如图，在中，平分，于点P，，，．，那么 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先延长交于，根据已知条件、结合易知，从而有，，，易求，那么，可知为等腰三角形，那么，结合三角形外角性质可得，最后用即可求得． 【详解】解：延长交于， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴在与中： ∴ ∴ ， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．关键是作辅助线，求证是等腰三角形． 8．已知△ABC是等边三角形，D，E分别是直线AC，BC上一点． (1)如图，若D在线段AC上，E在BC的延长线上，且DE＝DB． ①当D是线段AC的中点时（如图1），求证：CE＝AD； ②当D不是线段AC的中点时（如图2），过点D作DF∥AB交BC于点F，试确定线段CE与AD的大小关系，并证明你的结论． (2)若D是线段AC的延长线上一点，且CD＝CA，当△DBE是等腰三角形时，求∠DEB的度数． 【答案】(1)①证明见解析；②AD＝CE；理由见解析 (2)∠DEB的度数为15°或75°或30°或120°． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到BD平分∠ABC，证明CD=CE，等量代换即可； ②根据等边三角形的性质得到BF=AD，证明△BDF≌△EDC，根据全等三角形的性质证明； （2）利用分情况讨论思想、根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，点D为线段AC的中点， ∴BD平分∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠DBE＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBE＝30°， ∵∠DCE＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠E＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∴AD＝CE； ②解：AD＝CE， 理由如下：∵DF∥AB，△ABC是等边三角形， ∴△CDF是等边三角形， ∴BC﹣CF＝AC﹣CD，即BF＝AD， ∵DF∥AB， ∴∠DFC＝60°， ∴∠BFD＝120°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBE， 在△BDF和△EDC中，， ∴△BDF≌△EDC（AAS）， ∴BF＝CE， ∴AD＝CE； （2）如图， ∵CD＝CA，CB＝CA， ∴CB＝CD， ∴∠CBD＝30°， 当BE′′＝BD时，∠DE′′B＝15°， 当BE＝BD时，∠DEB＝＝75°， 当DE′＝BD时，∠DE′B＝30°， 当点E与点C重合时，EB＝ED，∠DEB＝120°， 则当△DBE是等腰三角形时，∠DEB的度数为15°或75°或30°或120°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的概念，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 9．已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连交射线于点，设． (1)如图1，若， ①求的度数； ②当为何值时，为中点，并说明理由． (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值． 【答案】(1)①；②当时，为中点，理由见解析 (2)的值是或或 【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①的度数；②根据可得，，由为中点，根据等腰三角形的性质可得，，可得的值； （2）分两种情况进行讨论：①当时，②当时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得的值． 【详解】（1）解：如图， ①，平分， ， ， ； ②当时，为中点，理由如下： ， ，， 为中点， ，， ， 时，为中点； （2）①当时，如图， ，， ， ， ， ， ； ②当时， ，，， ，， ， ， ． ③当在右边，时， ，，， ，， ，， ， ． 综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 题型三、平行线与角平分线创新问题 解题技巧提炼 平行线与角平分线所形成的三角形为等腰三角形.即平行线+角平分线=等腰三角形. 几何证明题中常用到等角对等边将三角形的周长三边进行转换. 10．已知，如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，过点E作DE∥BC交AB于点D，若AE=3cm，△ADE的周长为10cm，则AB= cm． 【答案】7 【详解】∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠DEB， ∴BD=DE， ∵△ADE的周长为10cm，AE=3cm， ∴AD+DE=AD+BD=AB=10-3=7cm， 故答案是：7． 【点睛】运用了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点C作，与相交于点E；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案． 【详解】如下图，过点B作，过点C作，与相交于点E ∵， ∴ ∴ ∵与平行 ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解． 12．一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的，碰着上的点B后便反弹而滚向桌边，碰着上的点C便反弹而滚向桌边上的点D，如此运动，球经过D点反弹到上的点E，经过E点反弹到上的点F．如果，，，都是线段，且的平分线，的平分线，的平分线，的平分线，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质和判定得到，然后结合角平分线的概念得到，同理求出，然后利用求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵的平分线， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$