19.2证明举例（4）课件 2023—2024学年沪教版（上海）数学八年级第一学期

19.2 证明举例（4） 复习引入 同一平面内两条直线的位置关系 平行 相交 如何证明两线垂直？ 垂直 新课探究 例题7 已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且∠1=∠2. 求证：AD⊥BC. 从已知条件可得到哪两个三角形全等？ △ABD≌△ACD B C A D 这两个三角形全等对证明结论有何作用？ AB=AC 再利用等腰三角形的三线合一 新课探究 例题7 已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且∠1=∠2. 求证：AD⊥BC. 证明： B C A D ∵DB⊥AB,DC⊥AC ∴∠ABD=∠ACD=90° (已知), (垂直的意义). 在△ABD与△ACD中, ∴△ABD≌△ACD (A.A.S ). ∴AB=AC (全等三角形的对应边相等 ). ∵△ABC是等腰三角形,且∠1=∠2, ∴AD⊥BC (等腰三角形的三线合一 ). 适时小结 1.利用等腰三角形“三线合一”的性质， 可以证明两线垂直； 2.运用“三线合一”性质要先找“等腰三角形”，再找“三线”中的“一条线”． 课堂练习 已知：如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，点M在 CD上，∠AOM=∠BOM． 求证：OM⊥CD． B A C D O M 如何将已知条件与求证结论建立起联系？ 添加辅助线 可得到哪两个三角形全等？ OC=OD 如何添加？ 再利用等腰三角形的三线合一 这两个三角形全等对证明结论有何作用？ △OAC≌△OBD 1 2 3 4 ∠1=∠2 课堂练习 已知：如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，点M在 CD上，∠AOM=∠BOM． 求证：OM⊥CD． B A C D O M 证明： ∵OA⊥AC,OD⊥BD ∴∠A=∠B=90° (已知), (垂直的意义). ∴△OAC≌△OBD (S.A.S ). ∴OC=OD (全等三角形的对应边相等 ). ∵△OCD是等腰三角形,且∠3=∠4, ∴OM⊥CD (等腰三角形的三线合一 ). 联结OC、OD. 在△OAC与△OBD中, OA=OB (已知), ∠A=∠B (已证), OA=OB (已知), 1 2 3 4 ∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等 ). 又∵ ∠AOM=∠BOM (已知), ∴∠3=∠4 (等式性质). 新课探究 例题8 已知:如图，在△ ABD中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC. 点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F. 求证:BF⊥AD. B A C D E F 从已知条件可得到什么结论？ △BCE≌△ACD B A C D E F △BCE≌△ACD 对证明BF⊥AD 有何作用？ B A C F E 3 4 1 2 新课探究 例题8 已知:如图，在△ ABD中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC. 点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F. 求证:BF⊥AD. B A C D E F 3 4 1 2 课堂练习 证明： ∵AC⊥BD ∴∠ACB=∠ACD=90° (已知), (垂直的意义). ∴△BCE≌△ACD (S.A.S ). ∴∠1=∠2 又∵∠3=∠4 ∴ BF⊥AD (垂直的意义 ). 在△BCE与△ACD中, CE=CD (已知), ∠ACB=∠ACD (已证), BC=AC (已知), (全等三角形的对应角相等 ). 在△BCE中, (三角形的内角和为180° ). ∴∠1+∠3+∠ACB=180° 同理∠2+∠4+∠AFE=180° (对顶角相等 )， ∴∠AFE=∠ACB=90° (等式性质 )． 还有其他方法吗？ 适时小结 1.利用等腰三角形“三线合一”的性质． 2. 证明一个三角形中两个锐角的和为90度． 证明两条直线垂直的基本方法： 课堂练习 　小明用如下的两种方法画出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种画法的正确性吗？ 画法1： 1.画∠AOB； A O B 2.以点O圆心，任意长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D； C D 3.分别以点C和点D圆心，大于CD的一半的相同长度为半径画弧，两弧交于∠AOB内部一点P； P 4.分别画射线OP、线段CD. 则OP与CD互相垂直. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂练习 　小明用如下的两种方法画出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种画法的正确性吗？ 证明： A O B C D P 联结CP、DP. 在△OCP与△ODP中, (已作), CP=DP (已作), OC=OD OP=OP (公共边), ∴△OCP≌△ODP (S.S.S ). 1 2 ∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等 ). ∵△OCD是等腰三角形,且∠1=∠2, ∴OP⊥CD (等腰三角形的三线合一 ). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂练习 　小明用如下的两种方法画出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种画法的正确性吗？ 画法2： A B 1.画线段AB，再分别以点A和点B为圆心，大于AB的一半的相同长度为半径画弧，两弧相交于点C； C D 2.分别联结AC、BC，延长AC到点D，使CD=CA； 3.联结DB. 则DB与AB互相垂直. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂练习 　小明用如下的两种方法画出了互相垂直的两条直线，你能证明这两种画法的正确性吗？ A B C D 证明： ∵AC=BC =CD (已作), 1 2 ∴∠1=∠2， 3 ∠3=∠D (等边对等角). ∵在△ADB中, ∠1+∠2+∠3 +∠D=180° (三角形的内角和为180° ). ∴∠2+∠2+∠3 +∠3=180° (等量代换). 即2(∠2+∠3) =180° (等式性质). ∴∠ABD=90° (等式性质). ∴DB⊥AB (垂直的意义 ). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 自主小结 证明两条直线垂直的基本方法： 将复杂图形分解成几个基本图形（可从全等三角形、等腰三角形等方面思考 ）． 1.利用等腰三角形“三线合一”的性质． 2.利用垂直的定义． 谈谈收获与体会 $$