浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（2-17班使用）

北仑中学2024学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 （2-17班使用） 命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则（    ）. A．， B．， C．， D．， 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知实数 ，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（ ） A．当时，的最大值是5 B．当时， C．已知正实数满足，则的最小值是2 D．的最小值为 11．已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．幂函数在上单调递减，则m的值为 . 13．已知函数 ，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围是 . 14．对任意的，不等式恒成立，则实数 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）；    （2）求的值． 16．已知全集，不等式的解集是，，． (1)计算； (2)若不等式的解集为，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)判断并证明的单调性； (3)若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数，满足. (1)求函数图象的对称中心； (2)当时，求的最小值； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①；②； （2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数； （3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学期中试卷 答案 1、 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C B C A C 2、 多选题 题号 9 10 11 答案 BC ABC ACD 3、 填空题 12、2 13、 14、 4、 解答题 15、（1）原式 （2） 原式. 16、 （1），，所以. （2）由题意可得，为方程的两个解， 则，，化简可得，， 所以不等式等价于， 化简可得，则，解得，所以， 因为，且，所以， 则， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是D的真子集， 则，（等号不同时成立）,解得. 17、 (1)由题，的定义域为R，关于原点对称，，又，即，所以为奇函数。 (2) ，且，有，，，即，所以，又，故在R上单调递减 (3) ，可得， 又在上单调递减，， 即对任意的恒成立。 【法一】， 【法二】，即， 故 18、 （1）(-1,-1) （2）令，解得， 由中可知的定义域为，， 因为，则，可得，故， 令，则，故，当且仅当时取等号， 故， （3）因为恒成立，故，即， 由时，令，令， 可知，在上为减函数，在上为增函数， （i）时，在上为减函数， 故，， 故，得，和矛盾， （ii）时，在上为减函数，在上为增函数， ，即，得， （iii）时，在上为增函数，故，得， 即或，由得，由题，故本类舍去 综上得：. 19（1），定义域为，则有， 显然存在正实数，对任意的，总有，故具有性质； ，定义域为，则， 当时，， 故不具有性质； （2）假设二次函数不是偶函数， 设，其定义域为，即， 则， 易知，是无界函数， 故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾， 故是偶函数； （3）的定义域为， ， 具有性质， 即存在正实数k，对任意的，总有， 即，即， 即，即， 即， 即， 通过对比解得：， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$