浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

北仑中学2024学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 （全年级+外高班使用） 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线的焦点到准线的距离是 （ ） A． B． C． D． 2．若点在圆：外，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 （ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 6．已知递增的等差数列的前项和为，，，则 （ ） A．70 B．80 C．90 D．100 7．已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为 （ ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 10．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A． B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点 11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若，且，则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为 . 13．已知实数满足，则的最大值为 . 14．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的 面积的最大值． 17．设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 18．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 19．已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)求双曲线：的离心率； (2)将(1)中的曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; (3)已知点是(2)中曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中试卷参考答案 1、 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A B C A D C B AC BD BCD 2、 填空题 12、1 13、49 14、 三、 15、等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 解：（1）因为，可得，故，即， 所以通项公式为 （2）当时， 当时， 16、已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的 面积的最大值． 解：（1）由已知得， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为：； （2）i）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 到直线AB的距离，所以， 同理，， 所以． ， ⅱ）若AB、CD两直线中有一条没有斜率，则另一条的斜率为0， 此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、），所以． 综上所述，当且仅当，即时，四边形ACBD的面积取得最大值7． 17、【详解】（1）因为点在抛物线上，所以， 因为，所以，联立，解得， 所以抛物线的方程为． （2）设两点坐标分别为， 则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得. . 因为直线与曲线于两点，所以. 所以点的坐标为. 由题知，直线的斜率为，用替换可得点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点. 18、如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)存在，. 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【详解】（1）由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. （2）以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. （3）若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 19、已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)求双曲线：的离心率； (2)将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; (3)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 【解析】 (1)（ⅰ）；（ⅱ）． (2)存在，点A到直线距离的最大值为2，． 【详解】 （1）因为渐近线互相垂直，故双曲线是等轴双曲线，所以离心率为 （2）由题意可知双曲线的实轴在上，联立， 解得或，即双曲线的两顶点为， 故实轴长为；由第一问可知 将曲线绕原点顺时针转，得到曲线， 曲线的方程为； （2）方法一：设，，，显然直线的斜率存在，设：， 联立：得， 所以，，①， 因为：，令，则，同理，，② 依题意得，③ 由①②③得，， 所以，即或， 若，则：过点A，不合题意； 若，则：．所以，恒过， 所以，．当且仅当，即时取得， 此时方程为，结合， 解得，，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为； 方法二：设，，，，， 则：，：， 联立，得， 为此方程的一根，另外一根为，则， 代入方程得，， 同理可得，， 即，， 则， 所以直线的方程为， 所以直线过定点, 所以．当且仅当，即时取得， 解得, 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为； 方法三：设，，，，， 则， 依题意，直线不过点A，可设：， 曲线的方程改写为，即， 联立直线的方程得， 所以， 若，则，代入直线方程，无解； 故，两边同时除以得， 则，得， 在直线：中，令，则， 所以，恒过， 所以，， 当且仅当，即时取得，此时，符合题意， 且方程为，解得，，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为． 【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的难点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，难点就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$