北京市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第-学期期中练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知直线的斜率分别是，如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中的系数为15，则（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线C：的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 5．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有（ ） A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 6．已知椭圆C：的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 7．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 9．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边三角形，则（ ） A． B． C．2 D．3 10．如图、是椭圆：与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． 11．设圆的弦AB的中点为，则直线AB的方程是______． 12．二项式的展开式的常数项是______． 13．设，分别为椭圆C：的左、右焦点，经过的直线交椭圆C于A，B两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为______． 14．已知，为椭圆C：两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为______． 15．如图所示，在8×6的长方形区域（含边界）中有A，B两点，对于该区域中的点P，若其到A的距离不超过到B距离的一半，则称P处于A的控制下，例如原点O满足，即有O点处于A的控制下．同理可定义P处于B的控制下．给出下列四个结论： ①点处于A的控制下； ②若点P不处于A的控制下，则其必处于B的控制下； ③若P处于A的控制下，则； ④图中所有处于A的控制下的点构成的区域面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题12分） 从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动． （Ⅰ）共有多少种不同的选择方法? （Ⅱ）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法? 17．（本小题14分） 已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，，焦距为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知直线与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为，证明：点D在x轴上． 18．（本小题14分） 设，分别为椭圆W：的左、右焦点，斜率为直线l经过右焦点，且与椭圆W相交于A，B两点． （Ⅰ）如果线段的中点在y轴上，求直线l的方程； （Ⅱ）如果以AB为直径的圆过点，求直线l的斜率k． 19．（本小题15分） 已知椭圆E：的一个顶点为，焦距为． （Ⅰ）求椭圆E的方程： （Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB、AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 20．（本小题15分） 已知圆C：． （Ⅰ）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程． （Ⅱ）设圆C与x轴交于两点M，N（点M在点N的左侧），是否存在圆O：，使得过点M作任意一条直线，与圆O交于点A，B，都有?若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题15分） 已知椭圆C：经过点，离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设椭圆C的左、右两个顶点分别为，，T为直线l：上的动点，且T不在x轴上，直线与C的另一个交点为M，直线与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：的周长为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$北京八中20242025高二数学第一学期期中练习答案 北京八中2024~2025高二数学第一学期期中练习答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 B D 8 C B B B D 二、填空题 11.x+y-4=0 12.7 13. -=1 14.8 15.①③④ 9 6 三、解答题 16解：(I)根据题意，从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动， 是组合问题，其选择方法数为C=20. 一6分 (Ⅱ)根据题意，从6人中选出3人，其中没有女生入选的选择方法数为C=4, 所以至少有1位女生入选的选择方法数为20-4=16. ---12分 17.解：(1)由题意可得b=1,c=√5，a2=b2+c2=4, x 所以椭圆C的方程为： +y2=1: ----4分 4 (Ⅱ)证明：设M(x,m),N(-x,m）),x≠0，-1<m<1 所以直线M的斜率为：m=一_m+1 -0无 因为直线BD,8M的斜率的积为-， 4 所以直线BD的斜率为：一4m+D 直线AN的方程为：y=1”x+1,直线BD的方程为：y=- 5-x-1, 4(m+1) 第1页共7页 北京八中2024~2025高二数学第一学期期中练习答案 - y=- -x+1 联立直线 ,解得：D的纵坐标。=4-m+7 12 V=- 4m+1) 4+m2-1 因为M在椭圆上，所以上+m2=1,则y。=0, 4 故证得D在x轴上 -14分 18.解：)椭圆W的左焦点为F(-2,0),右焦点为F(2,0), 因为线段FB的中点在y轴上，所以点B的横坐标为-2， 因为点B在椭圆W上，将x=-2代入椭圆W的方程，得y=± 6 3 因为直线/的斜率k>0且经过右焦点F, 所以点B的坐标为(-2，- 3 】t 6 则直线1的方程为刻+3 0+6 3 =2+2 x+2 化简得，x-2V6w-2=0, 所以直线1的方程为x-2V6y-2=0. -6分 (2)因为以AB为直径的圆过点F, 所以∠BFA=90°. 设直线AB的方程为y=(x-2),A(x,),B(x2,2) x22 6+2=1 得1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0, y=k(x-2). 第2页共7页 北京八中2024~2025高二数学第一学期期中练习答案 所以△=(12k32-41+3k2)(12k2-6)>0, 12k2 12k2-6 +61+3浓 1+3k2 由∠BFA=90°，得FA·FB=0, 因为F=(1+2,h),FB=(2+2,2) 所以F1A.FB=x12+2(1+x2)+4+h2 =x12+2(1+x2)+4+2(1-2)(2-2) =(1+)x12+(2-2k2)(1+2)+4+4k2 12k2-6 1+码)×3+(2-2h3)×1+32+4+42=0, 解得k=土V② (舍去负数)。 23 所以直线1的斜率k为 =-14分 23 b=1 a=2 19解：①)依题意可知： 2c=25 ,解得b=1,故椭圆E的方程为： +y2=1: a2=b2+c2 4 c=V3 --3分 M (2)由题可设直线方程为：y-1=k(x+2),B(x,),C(x2,2), y-1=k(c+2) 联立直线和椭圆E方程： +2=1 x ，可得： 第3页共7页 北京八中2024~2025高二数学第一学期期中练习答案 1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由△>0可得： (16k2+8k)2-4×(1+4k2)16k2+16k)>0,解得：k<0, 根据韦达定理可得：无+5=16+8， 1+4h2,x5= 16k2+16 1+4k2, 直线A8的斜率为w=一，A8的直线方程为：y=当二 x+1, 少三0，可得点M的横坐标w三，同理可得点N的横坐标，一1户 1- 则有MNH2日月kx+2)-kx,+2)kx+2无+2 H =6+2-s+2到是. ++x)+4 252-x)上2， kxx2+2(x+x2)+4 (2-x) 即1k5,+26+5)44人1， -(16k2+8k)】 (G-x)V:+x)2-4= 4 16k2+16k V-64k 1+4K 1+4k2 1+4k2 、2+2(x1+飞2)+4=16+6k+2(十4+44 1+4k2 1+4k2 21, 4解得：k=-4 故k的值为-4. ---15分 20.解：0由题意得(-}+0-2}=25 4 当直线/的斜率不存在时，直线1的方程x-5=0与圆相切， 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(x-5), 第4页共7页 北京八中2024~2025高二数学第一学期期中练习答案 5 因为直线/与圆相切，所以d= --25 V2+1=2 解得k= 0,故所求直线1的方程x-5=0或9c-40y-45=0. --5分 (2)令y=0,得x2-5x+4=0,即(x-1)(x-4)=0，求得x=1,或x=4, 所以M(1,0),N(4,0), 假设存在圆O:x2+y2=r2,当直线AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y=k(x-1),代入x2+y2=r2得(1+k2)x2-2k2x+k2-r2=0, 设.从面场器 因为NA、B的斜率之和为片+为=k-l-4)+3-Ix-4) x-4x3-4 (x-4)(x2-4) 而 (x1-1+1)x1-4)=22-52+1)十0=X1+2-5×,+8 8-2r2 1+2 因为∠ANM=∠BNM,所以，NA、NB的斜率互为相反数，即光，+片，=0，所以 x-4x2-4 8-2r2 1+k2 =0,即r2=4. 当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM,即NA、NB的斜率互为相反数 综上，存在圆O:x2+y2=4,使得∠ANM=∠BNM. ---15分 第5页共7页 北京八中2024~2025高二数学第一学期期中练习答案 c I 9 a=2 1 21.()解：有题意可知 4=1,解得b=5, 厅+ a2=b2+c2 c=1 “椭圆c的标准方程为兰+上= + 一-4分 43 (2)证明：由题意可知A(-2,0),4(2,0),T(4,01≠0)， 设M(x,),N(2,2),如图所示， T4,1 0 A F-1,0 直线74的方程为y=后x+2),直线4的方程为y=x-2), 2 y-=x+2 联立方程 ￡+1'消去y得(27+f2+4x+4r-10s=0. 6 一=1 43 2即 54-22 27+2 -+3=名二2- 27+2 第6页共7页 北京八中2024~2025高二数学第一学期期中练习答案 y=5x-2) 2 联立方程 ,消去y得(3+2)x2-41x+42-12=0, -=1 43 2即% 2t2-6 3+t2 则%-》--2是 23+2 w22-6-6 3+3+7 181,61 kw=27+Pt3+2 61 54-212212-62-9 27+23+72 直线MN的方程为y+,6一6-2-S 3+22-9 3+, 即g+gg-0.18 故直线MN过定点(1，O), 所以△FMN的周长为定值8， 当1=s时，ML,N或M,N0,弓。 .MN过焦点(L,O),此时aFMN的周长为定值4a=8, 综上所述，△FMN的周长为定值8. --15分 第7页共7页