第01讲 实数及其运算（讲练）（思维导图+6考点+2命题点9种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 利用数轴判断正负 考点三 求一个数的相反数、绝对值、倒数 考点四 比较实数的大小 考点五 科学记数法 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 ►题型02 无理数的估算 ►题型03 平方根、立方根 ►题型04 实数与数轴 ►题型05 计算器——平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 程序设计与实数运算 ►题型02 新定义实数运算 ►题型03 实数找规律 ►题型04 实数的混合运算 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 2024省卷1题，3题，17（1）题 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 【例1】．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 【变式1-1】．（2023·山东·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.5 【变式1-2】．（2021·山东青岛·中考真题）下列各数为负分数的是（    ） A．－1 B． C．0 D． 【变式1-3】．（2021·山东聊城·中考真题）下列各数中，是负数的是（    ） A．|﹣2| B． C．（-1）0 D．﹣32 考点二 利用数轴判断正负 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 【例1】．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2022·山东枣庄·二模）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】．（2020·山东枣庄·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 考点三 求一个数的相反数、绝对值、倒数 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 【例3】．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（ ） A． B．2 C． D． 【变式3-1】（2024·山东泰安·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·山东东营·中考真题）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式3-3】（2022·山东德州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 考点四 比较实数的大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 【例4】．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【变式4-1】（2021·山东临沂·中考真题）比较大小： 5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【变式4-2】（2021·山东枣庄·一模）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【变式4-3】（2022·山东临沂·二模）比较大小： 4．（填“>”“<”或“=”） 考点五 科学记数法 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 【例5】．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-2】（2024·山东青岛·中考真题）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 考点六 实数的运算 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 【例6】．（2023·山东临沂·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．12 C． D．2 【变式6-1】（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【变式6-2】（2022·山东威海·模拟预测）算式按照性质符号读作为： ． 【变式6-3】（2022·山东滨州·二模）计算： ． 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 【例1】（2024·山东菏泽·一模）若盈余200元记作元，则元表示（    ） A．盈余200元 B．亏损200元 C．亏损元 D．不盈余也不亏损 【变式1-1】．（2021·山东滨州·一模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2022·山东临沂·一模）某商店出售种品牌的面粉，袋上分别标有：质量为，，的字样，从中任取两袋，它们的质量最多相差（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2022·山东威海·模拟预测）若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为（    ） A． B． C． D． ►题型02 无理数的估算 【例2】．（2022·山东济南·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【变式2-1】．（2024·山东临沂·模拟预测）估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2-2】．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2020·山东临沂·中考真题）设，则（    ） A． B． C． D． ►题型03 平方根、立方根 【例3】．（2023·山东临沂·二模）25的平方根是 ． 【变式3-1】．（2023·山东潍坊·一模）若一个正数的平方根分别为 和，则 a 的值是 ． 【变式3-2】．．（2021·山东烟台·二模）＝ ． 【变式3-3】．（2022·山东济南·二模）计算： ． ►题型04 实数与数轴 【例4】．（2021·山东烟台·模拟预测）如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是 ． 【变式4-1】．（2023·山东潍坊·二模）如图，在数轴上以宽为1个单位长度，长为2个单位长度画一个矩形，以原点O为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正半轴交于点A．在点A的左侧截取，则点B表示的数为 ．    【变式4-2】．（2023·山东滨州·一模）如图，把边长为单位1的正方形一边与数轴重叠放置，以O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 【变式4-3】．（2022·山东济南·二模）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． ►题型05 计算器——平方根、立方根 【例5】．（2023·山东烟台·中考真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是 ． ④按键的结果为；故④不正确，不符合题意； 【变式5-1】．．（2024·山东东营·模拟预测）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为 ． 【变式5-2】．．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果应为 ． 【变式5-3】．．（2024·山东烟台·模拟预测）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为 ．      命题点二 实数的运算 ►题型01 程序设计与实数运算 【例1】．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 【变式1-1】．．（2022·山东德州·二模）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为时，输出的值是 ． 【变式1-2】．．（2021·山东烟台·二模）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是 ． 【变式1-3】（2021·山东烟台·一模）有一个数值转换器，原理如图：当输入的x为﹣83时，输出的y是 ． ►题型02 新定义实数运算 【例2】．（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【变式2-1】．（2024·山东菏泽·一模）现定义一种新运算：，如．则 ． 【变式2-2】．（2024·山东聊城·三模）对于两个不相等的实数p、q，用符号表示 p、q两数中较小的数，如；用表示p，q两数中较大者，如．使，同时成立的x的取值范围是 ． 【变式2-3】．（2024·山东聊城·一模）已知表示取三个数中最大的那个数，例如：当时，．当时，则的值为 ． ►题型03 实数找规律 【例3】．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【变式3-1】．（2022·山东济宁·一模）观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ． 【变式3-2】．（2024·山东济宁·二模）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 【变式3-3】．（2023·山东聊城·二模）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示9，则表示123的有序数对是 ． ►题型04 实数的混合运算 【例4】．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【变式4-1】．（2022·山东菏泽·中考真题）计算：． 【变式4-2】．（2022·山东济南·中考真题）计算：． 【变式4-3】．（2021·山东济宁·中考真题）计算：． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列实数中是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 2．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 4．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．的值（   ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 二、填空题 7．比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 8．某市文旅局的统计信息显示2024年国庆假日期间本地接待游客9207000人次，该数据可用科学记数法表示为 ． 9．如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 10．在实数范围内定义一种运算“★”，其规则为，根据这个规则，方程：的解为 ． 11．若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 12．若，， ． 三、解答题 13．计算： 14．计算： 15．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 能力提升 一、单选题 1．下列各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 2．在数轴上的位置如图所示，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．平方根等于本身的数是0 C．存在最大的负实数 D．是的立方根 5．实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，且、是两个连续整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．光在真空中速度约是，1光年是指光在真空中经过1年所行的距离，如果取1年的时间约为：，那么1光年的距离大约是 米．（用科学记数法表示） 8．实数a，b的位置如图，化简： ． 9．如图，输入，则输出的值为 ． 10．设 a、b是有理数，且满足等式,则a+b= ． 11．，，，……，其中为正整数，则的值是 ． 12．已知和的小数部分分别为和，则 ． 三、解答题 13．已知的平方根是，的立方根是2． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 14．计算： 15．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． $$第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 利用数轴判断正负 考点三 求一个数的相反数、绝对值、倒数 考点四 比较实数的大小 考点五 科学记数法 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 ►题型02 无理数的估算 ►题型03 平方根、立方根 ►题型04 实数与数轴 ►题型05 计算器——平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 程序设计与实数运算 ►题型02 新定义实数运算 ►题型03 实数找规律 ►题型04 实数的混合运算 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 2024省卷1题，3题，17（1）题 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 【例1】．（2024·山东烟台·中考真题）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 【变式1-1】．（2023·山东·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.5 【答案】A 【分析】根据无理数的概念求解． 【详解】解：实数中，是无理数，而是有理数； 故选A． 【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 【变式1-2】．（2021·山东青岛·中考真题）下列各数为负分数的是（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据负分数的定义，在正分数前面加负号的数叫做负分数，即可判断． 【详解】解：A、-1是负整数，故本选项不符合题意； B、是负分数，故本选项符合题意； C、0是整数，故本选项不符合题意； D、 是无理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了负分数的概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义． 【变式1-3】．（2021·山东聊城·中考真题）下列各数中，是负数的是（    ） A．|﹣2| B． C．（-1）0 D．﹣32 【答案】D 【分析】先求出各个运算结果，继而即可判断正负性． 【详解】解：A. |﹣2|=2，是正数，不符合题意， B. （﹣）2=5，是正数，不符合题意， C. （﹣1）0=1是正数，不符合题意， D. ﹣32=-9是负数，符合题意， 故选D． 【点睛】本本题主要考查正负数的概念，掌握乘方运算，零指数幂运算以及绝对值的意义，是解题的关键． 考点二 利用数轴判断正负 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 【例1】．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 【变式2-1】．（2022·山东枣庄·二模）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和有理数的乘法运算法则，能根据数轴得出是解此题的关键．根据数轴得出，求出，，，，，，再根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，，，， ∴，，，， ∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误， 故选：D． 【变式2-2】．（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，． A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、， ，则此项正确，符合题意； D、， ，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【变式2-3】．（2020·山东枣庄·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案． 【详解】解：由数轴上a与1的位置可知：，故选项A错误； 因为a＜0，b＞0，所以，故选项B错误； 因为a＜0，b＞0，所以，故选项C错误； 因为a＜0，则，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正误，正确结合数轴分析是解题关键． 考点三 求一个数的相反数、绝对值、倒数 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 【例3】．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫作互为相反数是解答此题的关键． 根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 【变式3-1】（2024·山东泰安·中考真题）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键． 【变式3-2】（2024·山东东营·中考真题）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值求法．绝对值是指一个数在数轴上对应的点与原点的距离，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】， 故选：A． 【变式3-3】（2022·山东德州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的概念，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：C． 考点四 比较实数的大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 【例4】．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据实数大小比较解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答． 【变式4-1】（2021·山东临沂·中考真题）比较大小： 5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 【变式4-2】（2021·山东枣庄·一模）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（2022·山东临沂·二模）比较大小： 4．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先根据题意把化为的形式是解答此题的关键． 先把化为的形式，再比较出与的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，即． 故答案为：． 考点五 科学记数法 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 【例5】．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 【变式5-1】（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】解：万， 则， 故选：B． 【变式5-2】（2024·山东青岛·中考真题）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式5-3】（2024·山东济南·中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故选：B． 考点六 实数的运算 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 【例6】．（2023·山东临沂·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．12 C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键． 【变式6-1】（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键． 【变式6-2】（2022·山东威海·模拟预测）算式按照性质符号读作为： ． 【答案】正3负7正8负6正13的和 【分析】根据算式得出结果即可． 【详解】算式按照性质符号读作：正3负7正8负6正13的和． 故答案为：正3负7正8负6正13的和． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算的相关知识是解本题的关键． 【变式6-3】（2022·山东滨州·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据有理数的减法运算法则，减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 【例1】（2024·山东菏泽·一模）若盈余200元记作元，则元表示（    ） A．盈余200元 B．亏损200元 C．亏损元 D．不盈余也不亏损 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正和负具有相对性，若盈余用“”表示，那么亏损就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若盈余200元记作元，则元表示亏损200元， 故选：B． 【变式1-1】．（2021·山东滨州·一模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查负数的意义，解题的关键是运用负数来描述生活中的实例．首先审清题意，明确正数和负数所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作， 故选：A． 【变式1-2】．（2022·山东临沂·一模）某商店出售种品牌的面粉，袋上分别标有：质量为，，的字样，从中任取两袋，它们的质量最多相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，根据题意，可得字样的面粉波动最大，求出算式的值即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式1-3】．（2022·山东威海·模拟预测）若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的实际意义可进行求解． 【详解】解：由题意可知零上3摄氏度记为； 故选：C． ►题型02 无理数的估算 【例2】．（2022·山东济南·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【变式2-1】．（2024·山东临沂·模拟预测）估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先利用二次根式的运算法则和性质对二次根式进行运算，再利用夹逼法估算即可求解，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 【变式2-2】．（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 【变式2-3】．（2020·山东临沂·中考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估计的范围，再得出a的范围即可. 【详解】解：∵4＜7＜9， ∴， ∴，即， 故选C. ►题型03 平方根、立方根 【例3】．（2023·山东临沂·二模）25的平方根是 ． 【答案】±5 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 【变式3-1】．（2023·山东潍坊·一模）若一个正数的平方根分别为 和，则 a 的值是 ． 【答案】 【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：，解方程即可求出a． 【详解】解：由题可知：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【变式3-2】．．（2021·山东烟台·二模）＝ ． 【答案】5． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及立方根分别化简得出答案． 【详解】解： ＝3+2 ＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查负整式指数幂的计算以及求一个数的立方根，掌握运算法则正确计算是解题关键． 【变式3-3】．（2022·山东济南·二模）计算： ． 【答案】3 【分析】根据立方根和零指数幂运算法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案是：3． ►题型04 实数与数轴 【例4】．（2021·山东烟台·模拟预测）如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】在AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数． 【详解】 解：如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3， 根据勾股定理得：AB==， ∴AP=AB=， ∴OP=AP-OA=-1， 则P表示的实数为1-． 故答案为：1-． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 【变式4-1】．（2023·山东潍坊·二模）如图，在数轴上以宽为1个单位长度，长为2个单位长度画一个矩形，以原点O为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正半轴交于点A．在点A的左侧截取，则点B表示的数为 ．    【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出矩形对角线的长，进而得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，矩形的对角线长为， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理和矩形的性质，正确求出是解题的关键． 【变式4-2】．（2023·山东滨州·一模）如图，把边长为单位1的正方形一边与数轴重叠放置，以O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是 ． 【答案】 【分析】先求出正方形对角线OB的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数． 【详解】由勾股定理得，正方形对角线OB=， 则A点表示的数等于， 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理和实数与数轴的对应关系以及正方形的性质． 【变式4-3】．（2022·山东济南·二模）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】根据数轴得出，根据平方及算术平方根化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：1． ►题型05 计算器——平方根、立方根 【例5】．（2023·山东烟台·中考真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可． 【详解】 解：①按键的结果为；故①正确，符合题意； ②按键的结果为；故②不正确，不符合题意； ③按键的结果为；故③正确，符合题意； ④按键的结果为；故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 【变式5-1】．．（2024·山东东营·模拟预测）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查计算器、算术平方根，根据算术平方根的求解方法进行计算即可得解． 【详解】 解：表示“”，， 故答案为：2． 【变式5-2】．．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果应为 ． 【答案】 【分析】根据按键的顺序得出算式，计算出答案即可． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学计算器的使用与立方根，解题的关键是掌握“”与“平方根”键组合表示求一个数的立方根． 【变式5-3】．．（2024·山东烟台·模拟预测）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为 ．      【答案】0 【分析】根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：0 命题点二 实数的运算 ►题型01 程序设计与实数运算 【例1】．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 【答案】1 【分析】根据程序分析即可求解． 【详解】解：∵输出y的值是2， ∴上一步计算为或 解得（经检验，是原方程的解），或 当符合程序判断条件，不符合程序判断条件 故答案为：1 【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键． 【变式1-1】．．（2022·山东德州·二模）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是时，取算术平方根是，是有理数； 再把输入，的算术平方根是，是有理数； 再把输入，的算术平方根是是无理数， 所以输出是． 故答案为：． 【变式1-2】．．（2021·山东烟台·二模）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是 ． 【答案】 【分析】根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 【变式1-3】（2021·山东烟台·一模）有一个数值转换器，原理如图：当输入的x为﹣83时，输出的y是 ． 【答案】 【分析】将x的值代入数值转化器计算即可得到结果． 【详解】将x＝﹣83代入得：＝﹣8， 将x＝﹣8代入得：＝﹣2， 将x＝﹣2代入得：， 则输出y的值为：． 故答案为． ►题型02 新定义实数运算 【例2】．（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 【变式2-1】．（2024·山东菏泽·一模）现定义一种新运算：，如．则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了有理数的四则运算，解题的关键是理解新定义运算规则． 【详解】解：由题意可知，， 则， 故答案为：． 【变式2-2】．（2024·山东聊城·三模）对于两个不相等的实数p、q，用符号表示 p、q两数中较小的数，如；用表示p，q两数中较大者，如．使，同时成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，以及求一元一次不等式组的解集，根据题意得到，，求解这两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解，”取它们的公共解即可． 【详解】解： ， 由题意得，， 解得， ， 由题意得，， 解得， 综上所述，x的取值范围是， 故答案为：． 【变式2-3】．（2024·山东聊城·一模）已知表示取三个数中最大的那个数，例如：当时，．当时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了新定义，根据被开方数为非负数得到，再由新定义可得三个数中最大的数为，则，据此可得，则． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∵， ∴三个数中最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型03 实数找规律 【例3】．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】．（2022·山东济宁·一模）观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，观察可知，二次根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，二次根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可． 【详解】解：、 、 ……， 以此类推可知，， 故答案为：． 【变式3-2】．（2024·山东济宁·二模）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，通过观察可知每一个单项式均为关于a的单项式，再分别观察单项式的系数、次数的变化规律即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式为a， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …， 以此类推可知，第n个单项式的系数为，次数为n，字母部分都为a， ∴第n个单项式为， 故答案为：． 【变式3-3】．（2023·山东聊城·二模）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示9，则表示123的有序数对是 ． 【答案】 【分析】根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到123在第多少排，然后即可写出表示123的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， 奇数排从小到大排列，偶数排从大到小排列， ∵当时，， 当时，， ∴123在第16排， ∵， ∴表示123的有序数对是． 故答案为：． ►题型04 实数的混合运算 【例4】．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 【变式4-1】．（2022·山东菏泽·中考真题）计算：． 【答案】3 【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解：原式=2+4×-2+1 =2+2-2+1 =3． 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【变式4-2】．（2022·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键． 【变式4-3】．（2021·山东济宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂以及平方根的知识化简，然后再计算即可． 【详解】解： = =． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列实数中是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、3.14是小数，是有理数，故本选项不符合题意； B、是整数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、是分数，是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的性质化简，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、无意义，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可． 【详解】解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意； B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意； C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意； D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示．下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的乘法计算，根据数轴可得，进一步可得，，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴四个选项中，只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 5．下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据运算法则分别计算即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 6．的值（   ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小．用夹逼法估算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在到之间． 故选：C． 二、填空题 7．比较大小： ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了估算实数的大小；根据，利用算术平方根比较出和大小；即可求解． 【详解】∵ ∴即 ∴ 故答案为： 8．某市文旅局的统计信息显示2024年国庆假日期间本地接待游客9207000人次，该数据可用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 9．如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数在数轴上点的表示．估算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴得：对应点可能是点， 故答案为：． 10．在实数范围内定义一种运算“★”，其规则为，根据这个规则，方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下实数的运算，新定义下，根据新定义得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 12．若，， ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法和乘方，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数的乘法和乘方，零指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 14．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，先计算负整数指数幂和绝对值，再计算除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 15．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 能力提升 一、单选题 1．下列各数中，最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较法则比较即可求解，掌握有理数大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最小的是， 故选：． 2．在数轴上的位置如图所示，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的点表示有理数，数轴上有理数的大小关系，绝对值等知识；根据三个数在数轴上的位置可确定其大小关系，离原点的远近确定三数绝对值大小关系，从而确定答案． 【详解】解：观察数轴知：，且， 则选项A、B、D均正确，选项C错误； 故选;：C． 3．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题有理数的运算，根据有理数的四则混合运算，乘除混合运算，有理数乘方对各选项进行计算即可作出判断．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序和运算律． 【详解】解：A．∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．平方根等于本身的数是0 C．存在最大的负实数 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题主要考查了整数、平方根、立方根等知识点，熟练掌握各自的定义和性质是解本题的关键． 利用平方根、立方根以及整数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； B．平方根等于本身的数是0，原说法正确，故此选项符合题意； C.不存在最大的负实数，原说法错误，故此选项不符合题意； D.是的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，先根据数轴图得出的取值范围，再取，即可得出，进而得出，再据此一一判断四个选项即可； 【详解】解：由数轴可知，，不妨取，则 ， ， ， ∴正确的是B选项， 故选：B． 6．若，且、是两个连续整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，且、是两个连续整数， ∴，， ∴， 故选：． 二、填空题 7．光在真空中速度约是，1光年是指光在真空中经过1年所行的距离，如果取1年的时间约为：，那么1光年的距离大约是 米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】该题主要考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法． 首先用光在真空中的速度乘，求出1光年为多少米；然后根据用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为正整数（n的取值方法，把原数化为时，小数点移动的位数，n的绝对值等于小数点移动的位数），用科学记数法表示1光年即可． 【详解】解：1光年的距离大约是米， 故答案为：． 8．实数a，b的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，输入，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算的规则输入，逐步运算即可． 【详解】解：输入，可得， ∴， 再输入得：， ∴此时输出， 故答案为：． 10．设 a、b是有理数，且满足等式,则a+b= ． 【答案】1或﹣11 【分析】根据实数相等的条件可求出a、b的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵a、b是有理数，且满足等式， ∴， 解得：， 当a=6，b=﹣5时，a+b=6－5=1； 当a=﹣6，b=﹣5时，a+b=﹣6－5=﹣11； 故答案为：1或﹣11． 【点睛】本题考查了实数的相关知识，正确理解题意、得到关于a、b的方程组是解题的关键． 11．，，，……，其中为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，熟练掌握数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点是解题的关键． 12．已知和的小数部分分别为和，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小．先估算出的大小，然后求得、的值，最后合并即可． 【详解】解；， ，． ∴，， ．． ， 故答案为：1． 三、解答题 13．已知的平方根是，的立方根是2． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)3． 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得，； （2）解： ，， ， ， 的算术平方根为3． 14．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先将0次幂，绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 15．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． $$