精品解析：广东省中山市坦洲实验中学2024-2025学年九年级上学期期中抽查调研数学试题

九年级中段抽查调研数学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， B．是轴对称图形但不是中心对称图形， C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形， D．既是轴对称图形也是中心对称图形． 故选D． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，是解题的关键． 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：A ． 3. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式，其中对称轴为：．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：由二次函数可知， 其图象的对称轴是直线：． 故选：C． 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等． 5. 的半径为，点A到圆心O的距离，则点A与的位置关系为（　　） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此即可解答． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离， ∴， ∴点A与内． 故选：A． 6. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（ ） A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，则，在中，运用内角和定理，结合，可得． 【详解】解：∵AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，灵活运用该知识点是解题的关键． 7. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 8. 若抛物线的解析式是：，点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， ， 故选：B． 9. 如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是（4，2），若直线y＝mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为（　　） A. 1 B. 0.5 C. 0.75 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】经过矩形对角线交点的直线把矩形分成面积相等的两个部分．所以先求对角线交点坐标，然后求解． 【详解】∵直线y＝mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线y＝mx﹣1经过矩形的对角线交点（2，1）， 把点（2，1）代入可得m＝1， 故选A． 【点睛】主要考查了坐标与图形的性质和矩形的性质．解题关键是要熟知对角线的交点是矩形的中心，过中心的直线能把矩形分成面积相等的两个部分． 10. 简易直尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），为三角板与直尺的交点，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点．若点处刻度为4，点处刻度为6，则该量角器的直径长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、，可证平分，从而可求，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ，， ，， ， 平分， ， ， 该量角器的直径长为； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，角平分线的判定定理，特殊角的三角函数值，掌握相关的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”是解题的关键． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程x2－x+m=没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可。 【详解】解：∵方程x2－x+m=没有实数根， ∴△=， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 13. 如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用是解题的关键． 根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：切于C，过圆心O点，是弦，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 14. 已知a为一元二次方程的根，那么的值是_____ 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a为一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则，其中正确的有______． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】首先由对称轴得到，得到，然后结合抛物线经过点，得到，然后由开口方向得到，得到，可判断①；由抛物线的对称性得到和关于对称轴对称，然后得到时，，即可判断②；同理得到时，，得到，然后代入即可判断③；联立直线与抛物线，然后根据根与系数的关系得到，，进而可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为、， ∴，， ∴，故⑤正确， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数关系，二次函数图像上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 用合适的方法解一元二次方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图，在6×9的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长，每个小正方形顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2）9 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∴的面积为． 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握旋转的方向和角度． 18. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径． 再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径． 【答案】⊙O的直径为26寸 【解析】 【分析】连接OC，在Rt△COA中，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接OC， ∵OB⊥CD垂足为A， ∴CA＝CD＝5， 设CO＝x，则AO＝x﹣1， 在Rt△AOC中，∠CAO＝90°， ∴OA2+CA2＝OC2， ∴（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， ∴⊙O的直径为26寸． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． （1）求B，C，D三点的坐标； （2）当时，则函数y的取值范围是 （3）平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （）由平移前点A的坐标和顶点坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，函数有最小值为；当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵平移前，顶点坐标为， ∴原抛物线向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）与相切，理由如下： 连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形： （1）连接，则，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，推出，得到，即可得出结论； （2）直径所对的圆周角为直角，得到，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径， ∴， ∵ ∴， 又∵在中， ， ∴． 21. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边长为．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成． （1）___________：(用含的代数式表示) （2）当苗圃园的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质即可得出答案； （2）由矩形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去， ， 【点睛】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，由矩形面积公式，列出一元二次方程是解题的关键． 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】 【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【解决问题】； 【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：略 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 23. 【问题背景】 已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点. 【构建联系】 （1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； 【深入探究】 （3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值. 【答案】（1）该抛物线顶点的坐标为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得的值，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）∵，与交于点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得，， 解得，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中段抽查调研数学科试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 15 3. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 的半径为，点A到圆心O的距离，则点A与的位置关系为（　　） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 6. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（ ） A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° 7. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线的解析式是：，点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是（4，2），若直线y＝mx﹣1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为（　　） A. 1 B. 0.5 C. 0.75 D. 2 10. 简易直尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），为三角板与直尺的交点，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点．若点处刻度为4，点处刻度为6，则该量角器的直径长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 关于x的一元二次方程x2－x+m=没有实数根，则m的取值范围是______． 13. 如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则________． 14. 已知a为一元二次方程的根，那么的值是_____ 15. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则，其中正确的有______． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 用合适的方法解一元二次方程： 17. 如图，在6×9的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长，每个小正方形顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 18. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①） 阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径． 再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． （1）求B，C，D三点的坐标； （2）当时，则函数y的取值范围是 （3）平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 20. 如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若，求的长． 21. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边长为．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成． （1）___________：(用含的代数式表示) （2）当苗圃园的面积为时，求的值． 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 23. 【问题背景】 已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点. 【构建联系】 （1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； 【深入探究】 （3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $