精品解析：江苏省连云港市东海县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024～2025学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，，三点共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 2. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6. 若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（ ） A 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设直线过两点和，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上截距为 D. 直线在轴上的截距为 10. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 当双曲线的焦点在轴上时，其实轴长为2 B. 当双曲线的焦点在轴上时，其共轭双曲线为 C. 当双曲线的焦点在轴上时，其离心率为 D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为2 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线的周长为 C. 曲线所围成图形的面积为 D 曲线与直线有3个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过原点，且到直线的距离等于4，则直线的斜率为________. 13. 已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，点，求： （1）经过点且与直线垂直的直线方程； （2）点关于直线的对称点. 16. 已知圆经过点，，. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切直线方程. 17. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 18. 设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点. （1）求的方程； （2）过点的两直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，，三点共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】由点取向量，根据向量共线定理，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 可得，解得. 故选：B. 【点睛】 2. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】由题意，根据平行线间的距离公式，， 即，解得或. 故选：D 3. 若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准式方程为. 故选：A. 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为相交. 故选：C. 5. 一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 6. 若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合在上，在上及中点坐标公式求解. 【详解】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，. 故选：A 7. 在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点所在的两个轨迹，再确定两个图形公共点个数即可. 【详解】由点满足到直线的距离为1，得， 即或，此时点在直线或上， 由，得，则，此时点在以为圆心，2为半径的圆上， 点到直线距离为0，该直线与圆有2个公共点； 点到直线的距离，该直线与圆有1个公共点， 所以符合要求的点的个数有3个. 故选：C 8. 已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，利用抛物线定义，结合三角函数的单调性，取得切线，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线，作图如下： 由，垂足为，则， 在中，，则， 由图可知当与抛物线相切时，最小， 设过与抛物线切线的切点为，则，即， 由抛物线方程，可得，求导可得， 切线斜率，可得切线方程为， 将代入上式，可得，解得， 由图可知切线的方程为，则， 此时取得最小值，则取得最大值. 故选：B. 【点睛】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设直线过两点和，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项. 【详解】根据斜率公式，，故A错误， 设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，则，B正确， 根据点斜式方程，直线方程可写作，即， 令，则，令，则， 故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误. 故选：BC 10. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 当双曲线的焦点在轴上时，其实轴长为2 B. 当双曲线的焦点在轴上时，其共轭双曲线为 C. 当双曲线的焦点在轴上时，其离心率为 D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，再根据渐近线方程分别求焦点在x、y轴上的双曲线，然后逐个分析判断即可. 【详解】依题意，， 当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为，则 ，解得，所以双曲线方程为， 对于A，由于，所以双曲线的实轴长为，所以A错误； 对于C，由，得离心率为，所以C错误； 对于B，当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为，则 ，解得，所以双曲线方程为， 其共轭双曲线中，所以双曲线方程为，所以B正确， 对于D，当焦点在y轴上时，由双曲线的对称性，不妨取焦点， 则其到渐近线的距离为， 当焦点在x轴上时，由双曲线的对称性，不妨取焦点， 则其到渐近线的距离为，所以D正确， 故选：BD 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线的周长为 C. 曲线所围成图形的面积为 D. 曲线与直线有3个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】若点在曲线上，可得也在曲线上，即可判断A，再由曲线关于x轴，y轴对称，当时，曲线E的方程为，表示以点为圆心，为半径的半圆，画出图象，根据图像与圆的几何性质，再逐项判断即可； 【详解】曲线上任意点有：，该点关于的对称点为，又， 即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上， 所以曲线关于直线对称，故A正确； 因点在曲线上，点，也都在曲线 E上， 则曲线E关于轴，轴对称， 当时，曲线的方程为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点)， 因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如下图所示， 所以曲线围成的图形面积是，故C正确; 曲线的周长为，故B错误； 因为直线过点，，且经过第一、二、四象限， 又， 当时，曲线的方程为，曲线过点，， 又圆心直线的距离， 结合图象可得，此时曲线与直线有个公共点； 当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点）， 又到直线的距离，所以直线与圆相切， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 则，解得，即， 由，解得， 所以直线与有且只有一个交点， 当时，曲线的方程为， 表示圆心为，半径为的半圆（包含端点），显然与直线没有公共点； 当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点）， 又点到直线的距离， 则曲线：与直线没有公共点； 综上可得：曲线与直线有个公共点，故D正确 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用曲线方程的对称性，分析得曲线的图形，从而数形结合即可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过原点，且到直线的距离等于4，则直线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出斜率，整理一般式，利用点到直线距离公式列方程，可得答案. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设其为，则方程为， 由题意可得，解得 故答案为：. 13. 已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆得标准方程，可得焦点坐标，利用焦点三角形得面积与椭圆方程，可得点的坐标，可得答案. 【详解】由椭圆，则，， 所以，，设， 由的面积为，则，解得， 不妨设在第一象限，当时，，解得， . 故答案为：. 【点睛】 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线的定义由，得，再由，余弦定理得，可求离心率． 【详解】由，令，则． 由双曲线的定义可知， ． 由，所以，即， 得，解得． 则有，，， ． 因为，所以． 由余弦定理可得， 所以，得，所以双曲线的离心率. 故答案为：． 【点睛】方法点睛： 设，先利用双曲线的定义结合，建立起与的关系，再借助余弦定理建立起与的关系，最后利用离心率的计算公式求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，点，求： （1）经过点且与直线垂直的直线方程； （2）点关于直线的对称点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直直线可得斜率，结合点斜式方程，可得答案； （2）设出对称点，利用中点坐标与垂直直线的斜率关系，建立方程组，可得答案. 【15题详解】 由直线，可得其斜率为2， 所以可得与之垂直的直线的斜率为， 所以过点与垂直的直线的方程为，即 【16题详解】 设的坐标为，则直线是线段的中垂线， 所以 解得 所以的坐标为 16 已知圆经过点，，. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的一般式方程，代入已知点建立方程组，可得答案； （2）利用分类讨论思想，结合圆的切线性质建立方程，可得答案. 【16题详解】 设所求圆的方程为， 因为点，，在所求的圆上，所以 解得 故所求圆的方程是 . 【17题详解】 当直线垂直于轴时，直线：与圆相切，满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为 即， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 从而，解得， 因此，所求切线方程是或 17. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，然后由可求得值得直线方程． 【小问1详解】 因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 18. 设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点，由已知，可得，，代入抛物线的方程，解得，即可得到抛物线的方程； （2）设点的坐标为，当时，得到直线的方程，联立抛物线的方程，消去，可得点的纵坐标，进而得直线的斜率为0，讨论当和时，可得直线的斜率均为0，即直线的斜率为定值. 【小问1详解】 设点，由已知，所以， 又点到轴的距离为，即，即， 由点在抛物线上， 所以，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 设点的坐标为， 则直线的方程为，① 抛物线的准线方程为，② 联立①②，可解得点的纵坐标为， 由（1）知焦点， 当，即时，直线的方程为， 联立消去，可得， 即，可得点的纵坐标为， 与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0， 当时，点的纵坐标为， 直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为， 此时直线的斜率为0， 当时，同理可得直线的斜率为0， 综上，直线的斜率为定值0. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点. （1）求的方程； （2）过点的两直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知点建立方程组，可得答案； （2）法1：设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合中点坐标，可得答案； 法2：设出坐标轴上点的坐标，整理直线方程，联立椭圆方程，求得两点，写出直线方程，可得答案. 【小问1详解】 设椭圆的方程为，过，， 则，解得， 所以椭圆的方程为： . 【小问2详解】 法1：设线 设直线的方程为，，， 联立，得， 由， 由韦达定理得，， 因为，则直线， 令，解得，即，同理可得， 则，即， 整理得， ， 即，所以， 解得或， 当时，，过定点，舍， 当时，，过定点， 所以直线过定点 法2：设点 设，， 因为，则直线，， 联立，得， 联立，得， 则 ， 所以， ， 即， 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$