精品解析：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 命题学校：黄石二中 命题教师：万莲艳 张雪 范志军 审题学校：武穴中学 审题教师：范超 考试时间：2024年11月14日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 2i B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，再根据复数虚部的概念可得结果. 【详解】因为， 所以，其虚部为：2. 故选：C 2. 已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出草图，先求出直线和直线的斜率，直线与线段有公共点时，找出直线的斜率的临界状态即可. 【详解】运用两点间的斜率公式，，， 过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示， 直线斜率的取值范围是. 故选：B. 3. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】由题设，，， 在方向上的投影向量为. 故选：D 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 5. 已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量模长公式求出的模长，再根据通过向量模长公式展开得到关于的等式，最后根据向量点积公式（为与的夹角）求出夹角. 【详解】已知，根据向量模长公式. 因为，将其两边平方可得. 根则有. ，所以；，所以. 代入上式可得，化简得，所以. ，解得. 因为，所以. 故选：A. 6. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件与事件是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】先列举出各事件包含的基本事件，再根据相互独立事件的概率特征判断A；根据互斥事件、对立事件的概念判断B，C，D. 【详解】解：由题意可知：所以基本事件为： ， ； ；， 所以，，， 对于A，因为，而，故错误； 对于B，因为， 所以事件与事件不是对立事件，故错误； 对于C，因为， 则， 所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 对于D，因为，， 所以， 所以事件与事件是互斥事件，故正确. 故选：D. 7. 如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设先得平面、和的法向量分别为、和，设直线的一个方向向量为得，进而求出，再由线面角的向量法公式计算即可求解. 【详解】由题可得平面的一个法向量为，平面一个法向量为， 平面的法向量， 设直线的一个方向向量为，则由题意， 所以，取，则， 直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B. 不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式 C. 是直线与直线垂直的充要条件 D. 是直线与直线平行的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜率、倾斜角、直线方程的不同形式以及两直线垂直和平行的条件等概念逐个分析选项，判断每个说法的正确性. 【详解】对于A选项，直线的斜率为时，倾斜角的范围是. 当不在这个区间时，不能直接说直线的倾斜角为. 例如时，，但直线倾斜角.所以A选项说法不正确. 对于B选项，不与坐标轴平行或重合的直线，它有两个不同的点. 两点式方程（且）适用于这种直线， 所以其方程一定可以写成两点式，B选项说法正确. 对于C选项，对于直线和， 若两直线垂直，则. 对于直线与直线， 由垂直条件可得，即，解得或. 所以是两直线垂直的充分不必要条件，C选项说法不正确. 对于D选项，若两直线平行，则. 对于直线与直线， 由平行条件可得. 由得，即，解得. 当时，，，， 不满足，所以两直线不平行. 所以不是两直线平行的充要条件，D选项说法不正确. 故选：ACD. 10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 当与垂直时，直线与平面所成的角的正切值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将平面和平面展开到一个平面内，求得即可得结论判断A；与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，求解可判断B；面积最小时，体积最小，求解可判断C；当在处时，三棱锥的体积最大时，求得外接球半径可判断D． 【详解】如图，令中点为中点为，连接MN， 又正方体中，为棱的中点，可得， 平面平面，又， 且平面平面平面， 又平面，且平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，的轨迹为线段， 对A，将平面和平面展开到一个平面内，的最小值即点和点连线的距离，由题意易得， 所以，从而可得取最短距离时，是的中点，且， 又，所以，所以，故A正确； 对B，的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角， F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点， ，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确； 对C，由正方体侧棱底面， 所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，， 易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心， ，所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为， 由，可得外接球半径，其外接球的表面积为，故选项D错误． 故选：ABC. 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象表示两个圆 B. 的最大值是 C. 的取值范围是 D. 直线与曲线有且仅有2个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A对于判断曲线表示的图形，需要对给定方程进行化简变形. 对于求的最大值，可考虑将其转化为到原点距离的平方再加1，画图求解即可. 对于求的取值范围可联系到点与点连线的斜率范围.画图找出临界状态即可. 对于D，判断直线与圆的交点个数，运用圆心到直线距离与半径比较的方法判断. 【详解】对于A，由得， 即， 所以或， 所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．故A正确. 对于表示到原点距离的平方再加1，如图，根据两圆关于原点对称，故最大值考虑一种情况即可，即为.故B错误. 对于表示点与点连线的斜率.如图，设过点且与圆相切的直线为 ，由直线与圆相切得或故C正确. 对于D，由C知，时，则直线为，与圆M相切. 圆心N到直线距离，故直线为，与圆N相切. 直线与曲线有且仅有两个交点.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【详解】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即. 当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为. 故所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，两圆有公共点可得，求解即可. 【详解】圆的标准方程为，故圆是以为圆心，1为半径的圆， 的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 依题意，两圆有交点，则， 两边平方得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为. 14. 已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，把问题转化成圆上的点到直线的距离的最大值问题求解. 【详解】设，， 因为，，所以、为圆上的两点.如图： 则. 又，所以， 取中点，则. 作直线：，作，，，，垂足分别为，，，. 所以 又，所以. 即. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，根据点到直线的距离公式求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为. （1）求直线AC的方程； （2）求直线AB的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）边上的高线所在的直线方程为，则边可设为，代入计算即可； （2）先求出，再求出点关于直线对称的点,进而求出，再用点斜式计算即可. 【小问1详解】 边上的高线所在的直线方程为， 边可设为 又点在AC边上，，求得 直线AC的方程为. 【小问2详解】 由，解得 设点关于直线对称的点 ，解得 , 又点在直线AB上， ，则求得直线AB的方程为：，即. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）若的面积为，求BC边上中线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合恒等变换，再结合余弦定理求解； （2）利用面积公式，结合（1）中角，由余弦定理，解三角形求边上中线的长. 【小问1详解】 由题设得 于是故 由正弦定理得 又， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 所以是顶角为，底角为的等腰三角形，即， ， 设BC边上中线的长为，则有 . . 17. 黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； （3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【答案】（1）， （2）第二组、第四组的方差是 （3） 【解析】 【分析】（1）联立求出再用平均数公式计算； （2）运用分层抽样平均数和方差公式计算即可； （3）设出事件，求出对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知：，解得 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数等于， 【小问2详解】 设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 ， 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. 【小问3详解】 设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件， 由题意得， 所以， 所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为， 则，因为， 所以，因为相互独立， 所以， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面所成角取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连，又， 即， 均为等边三角形，， 所以四边形为菱形． 取中点，连. 为等边三角形，， 又，即， 又平面. 平面. 又平面平面平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平面平面平面PCD又平面平面， 建立如图的空间直角坐标系， 易得， ， 令， ，令平面法向量为， ， 令，可得：， 即 ， ， 令 ， 当， ， 所以平面的法向量， ， 设平面的法向量， 令，， 得 设二面角的夹角为， 19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. （1）求点的轨迹方程； （2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； （3）当点在曲线上运动时，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明：，设， 当斜率存在时，直线的方程为，故 将直线方程与圆的方程进行联立， 整理得：， ∴ 将其带入中可得：， 化简得， ∴或， 由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）； 当直线的斜率不存在时， 设，则， 故可得，即则直线，仍恒过定点， 综上可得，则直线恒过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）由两直线斜率的关系得到两直线垂直，那么两直线交点就是垂足，由两直线过定点，所以交点轨迹是以两直线定点为直径的圆（注意特殊点不在圆上），由此得到圆的方程； （2）由（1）得出点，设点坐标得到，讨论直线斜率存在，写出直线方程，联立方程组后消元得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的关系，代入直线方程得到定点坐标；讨论斜率不存在得到两点坐标的关系，由斜率乘积建立等量关系，求得坐标，得到直线，验证该直线同样经过前一种情况求得的定点； （3）因为点在圆上运动，所以由“阿波罗尼斯圆”思想构造一个点使得点，由三角形三边关系得到最大值. 【小问1详解】 当时，，此时，交点为 当时，由，斜率为t， 由，斜率为，综上，. 直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以EF为直径的圆， 又因为当代入方程得到不成立，所以点的轨迹不包含点. 则圆心为EF的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，易知R、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足. 下面证明任意一点，都满足，即， 即,所以 ，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立. 即的最小值为 【点睛】方法点睛，题中介绍到了“阿波罗尼斯圆”，本题可以借助这个定理来对线段进行转化，从而变成了两线段和最打问题，就可以借助三角形三边长来得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 命题学校：黄石二中 命题教师：万莲艳 张雪 范志军 审题学校：武穴中学 审题教师：范超 考试时间：2024年11月14日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 2i B. C. 2 D. 2. 已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件与事件是互斥事件 7. 如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B. 不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式 C. 是直线与直线垂直的充要条件 D. 是直线与直线平行的充要条件 10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 当与垂直时，直线与平面所成的角的正切值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象表示两个圆 B. 的最大值是 C. 的取值范围是 D. 直线与曲线有且仅有2个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 13. 在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为______. 14. 已知实数满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为. （1）求直线AC的方程； （2）求直线AB的方程. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）若的面积为，求BC边上中线的长. 17. 黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； （3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面所成角取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. （1）求点的轨迹方程； （2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； （3）当点在曲线上运动时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $