第二章等式与不等式单元测试-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章等式与不等式单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知在的最小值为 A． B． C． D．0 2．不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 3．一元二次方程的根为，则当时，不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 4．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式的解集是M，则对任意实常数k，总有（  ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若a，，则 8．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的可能取值为（    ） A． B．2 C． D．1 三、填空题 9．已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 10．定义域为，且对任意实数、都满足不等式的所有函数组成的集合记为，例如，试写出一个函数，使得数列极限，，则 11．已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 12．若，是方程的两根，则 . 四、解答题 13．已知不等式的解集为. （1）求，的值，并求不等式的解集； （2）解关于的不等式(，且) 14．重新考查不等式.这个不等式的左边可分解因式为.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集 不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，从而不等式的解集为. 试用上述方法解下面的不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 15．已知在中，，，分别为角，，所对的边长，且． （1）求角的值； （2）若，求的取值范围． 16．（1）解关于x的不等式：． （2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C D A BC AD 1．D 【详解】试题分析：化简，由下图可得，故选D. 考点：函数的最值. 2．B 【分析】将一元二次不等式因式分解，求解即可. 【详解】，解得或 故选：B 3．A 【分析】根据给定条件借助韦达定理用a表示b，c，再代入不等式求解即得. 【详解】因是一元二次方程两个根，则有，即， 不等式化为：，而，则，解得， 所以当时，不等式的解集为. 故选：A 4．C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为，所以，， 又根据基本不等式可得，， 所以. 故选：C. 5．D 【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案 【详解】解：对于，例如，，则，故错误， 对于，若，则不成立，故错误． 对于：若，则，无意义，故错误， 对于：由则，所以，故成立， 故选：D 6．A 【分析】先求解集M，再确定0,2与集合M关系，即得结果. 【详解】由解得，即，又 ，，所以，.选A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求范围，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．BC 【分析】A选项，可举出反例； BC选项，利用不等式的基本性质得证； D选项，当或时，无意义. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，因为，所以不等式两边同时乘以得：， 不等式两边同时乘以得：，从而，B正确； C选项，因为，所以，不等式两边同除以得：，C正确； D选项，因为a，，故当或时，无意义，D错误. 故选：BC 8．AD 【分析】由题设可得恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x的范围. 【详解】∵不等式对任意正数a，b恒成立， ∴恒成立. ∵，当且仅当时等号成立. ∴，满足条件的选项有A，D. 故选：AD. 9．1 【分析】由题意可得，由，可得，展开后，运用基本不等式可得最值． 【详解】， 由，可得 ， 当且仅当，等号成立，则的最大值为1． 故答案为：1． 10． 【分析】验证函数，满足条件即可． 【详解】由题意知，函数， 当时， ， 所以. 当时， ， 所以 所以函数. 且极限， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了新定义的函数与极限的应用问题，也考查了分类讨论思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.． 11． 【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知当时，符合题意； 当时，则 则实数的取值范围是. 故答案为：. 12．2 【分析】结合已知条件，利用一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解. 【详解】由题意及根与系数之间的关系可知，，， 所以. 故答案为：2. 13．（1），；（2）答案见解析. 【解析】（1）根据题意得，再结合韦达定理即可得，再求解一元二次不等式即可； （2）结合（1）得，再分类讨论即可得答案. 【详解】（1）由题意知，和是方程的实数根， 故由韦达定理得：，解得. 则 即的解集为. （2）由（1）得： 当，不等式 当，不等式 当时， 则或 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想与运算能力，是中档题. 14．(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用实数乘除法的符号法则，列一元一次不等式组分别解不等式求解集. 【详解】（1）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为或； （2）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为； （3）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为； （4）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 15．（1）；（2）. 【详解】试题分析：第一步利用正弦定理进行“边转角”化为三角函数关系，借助两角和公式进行恒等变形，求出角A的余弦值，进而求出角A；第二步利用余弦定理，转化为b+c与bc的关系，然后利用基本不等式“等转不等”，求出b+c的范围，再根据三角形两边之和大于第三边，求出范围. 试题解析： （1）依题意由正弦定理可得：     又． （2）由余弦定理知： （当且仅当时成立） ，又 故的取值范围是． 【点睛】有关解斜三角形问题，常用正弦定理、余弦定理、面积公式等，多用正弦定理和余弦定理进行“边角转化”，求范围或最值问题常用方法有两种，第一边化角，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，另一种方法是化边，利用基本不等式求范围或最值. 16．（1）或或；；（2）. 【解析】（1）转化条件为或，即可得解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程的关系可得方程的两根为，1，求得后即可得解. 【详解】（1）原不等式或， 解得或或， 所以原不等式的解集为或或； （2）由题意可知方程的两根为，1， 所以，解得， 则不等式即为，其解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $$