第八章向量的数量积与三角恒等变换综合测评(B卷) -2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第八章向量的数量积与三角恒等变换综合测评 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图所示，图中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，，，，，是其中四个圆的圆心，则（    ） A． B． C． D． 2．若，与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是单位向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．－2 4．已知向量，，若，则实数的值是（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知，则（    ） A． B．0 C． D． 6．已知平面上直线l的方向向量点，点和在l上的射影分别是和，则，其中（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 7．下列各式化简中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，则（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．与的夹角余弦值为 D．若，则 三、填空题 9． 10．已知为第二象限角，且，求的值 . 11．已知向量，，若，则 . 12．已知，，则 四、解答题 13．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 14．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 15．已知 （1）求的值； （2）求的值. 16．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，是轴的正半轴上一点，交椭圆于，且，的内切圆半径为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为圆上一点，求的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C A D ACD BC 1．A 【解析】建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量和均可以用表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解. 【详解】解：如图所示,建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60°, ∴,, ∴. 故选：A. 2．C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】，与的夹角为， 所以. 故选：C 3．B 【分析】根据垂直向量数量积为0结合数量积的运算求解即可. 【详解】因为是单位向量，且，所以，所以. 故选：B． 4．C 【分析】，由数量积的坐标运算列出方程即可. 【详解】 ， ，即，解得. 故选：C. 5．A 【分析】 由弦切互化可得，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解. 【详解】由可得，故， 故选：A 6．D 【分析】求出，利用向量共线定理即可求解. 【详解】因为和，所以， 所以在l上的投影满足：. 又由与的方向相反, ， 故由得：. 故选：D 7．ACD 【分析】利用诱导公式、二倍角正余弦公式及差角正切公式化简各项左侧函数式，即可判断. 【详解】A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，故， 而， 所以，正确. 故选：ACD 8．BC 【分析】A．先计算出，然后通过计算是否为进行判断； B．先计算出向量在向量上的投影，则对应投影向量可知； C．先计算出，根据求解出结果； D．根据向量共线对应的坐标关系进行判断. 【详解】A．因为，所以，故错误； B．因为向量在向量上的投影为， 又，所以向量在向量上的投影向量为，故正确； C．因为，所以，所以，故正确； D．因为，所以，所以不成立，故错误； 故选：BC. 【点睛】结论点睛：已知向量， （1）若，则有； （2）若，则有. 9． 【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式化简计算. 【详解】 . 故答案为： 10． 【解析】由条件依次算出、、，然后代入即可算出答案. 【详解】因为为第二象限角，且，所以 所以， 所以 故答案为： 11． 【分析】根据平面向量共线的坐标运算求得的值，即可得向量，从而可求. 【详解】解：由，得，解得，则，可得. 故答案为：. 12． 【分析】利用两角和的正切公式即可. 【详解】， 故答案为：. 13．(1)， (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入最小正周期运算求解，再以为整体结合正弦函数可得，运算求解的单调递减区间；（2）根据图像变换可得，以为整体结合正弦函数图像求值域． 【详解】（1） ∴的最小正周期为 ∵，则 ∴的单调递减区间为 （2）根据题意可得：将函数的图象向右平移个单位长度，得到 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则 ∵，则 ∴，则 即函数在区间上的值域为． 14．（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）类比等差数列求和的倒序相加法，将等比数列前n项积倒序相乘，可求，代入即可求解. （2）由（1）知，利用两角差的正切公式，化简，，得 ，再根据裂项相消法，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，构成递增的等比数列，其中，则 ① ② ①②，并利用等比数列性质，得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又 所以数列的前项和为 【点睛】（Ⅰ）类比等差数列，利用等比数列的相关性质，推导等比数列前项积公式，创新应用型题；（Ⅱ）由两角差的正切公式，推导连续两个自然数的正切之差，构造新型的裂项相消的式子，创新应用型题；本题属于难题. 15．（1） （2） 【分析】将展开,可求得. （1）利用诱导公式,可求得答案; （2）结合二倍角的正弦、余弦公式,两角之和的正弦公式,对原式进行化简可求得答案. 【详解】由题意,,即. （1）由三角函数诱导公式可得:; （2）. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式的运用,考查了二倍角的正弦、余弦公式的运用,考查了三角函数的诱导公式的运用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 16．（1）（2） 【分析】（1）设内切圆与三角形各边的切点，再由直角三角形中，由勾股定理可得椭圆的值，再由可得的值，由，，之间的关系求出椭圆的方程； （2）由（1）得直线的方程，由圆心到直线的距离为半径1，求出圆的圆心坐标，可得圆的方程，设的参数坐标，可得数量积的表达式，进而求出其取值范围． 【详解】解：（1）设的内切圆切，，于，，连接，， 因为，因为，所以四边形为正方形，所以， 设，，由，且，有，则，， 由得，有， 故，即，， 所以椭圆的方程的标准方程：； （2）设点，其到直线的距离为1， 有，解得或（舍），即. 故圆的方程为， 设， 由，， 所以， 有 因为 所以 故为. 【点睛】本题考查三角形的内切圆的半径与边长的关系，及求椭圆的标准方程的方法，数量积的求法，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$