8.1.1向量数量积的概念-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 知识梳理 一．向量的夹角 1.向量夹角的定义 给定两个非零向量，在平面内任选一点O，作＝，＝，则称内的∠AOB为向量与向量的夹角，记作． 如图，向量与夹角为，即；向量与的夹角为，即；向量与的夹角为0，即0；向量与的夹角为，即. 2.向量夹角的性质 （1）根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且 ； （2）当时，称向量与向量垂直，记作，由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直． 二．向量数量积的性质 1.向量数量积的定义 数量积的定义：一般地，当都是非零向量时，称为向量的数量积(也称为内积)，记作，即＝ 2.数量积的性质 （1）； （2） ，即; （3） 0，即向量垂直的充要条件为； （4） 三．向量的投影与向量数量积的几何意义 1.向量在直线上的投影、向量在向量上的投影 如图所示，设非零向量过分别作直线l的垂线，垂足分别为，则称向量为向量在直线l上的投影向量或投影. 类似地，给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为，则在直线上的投影称为在向量上的投影. 如图所示，向量在向量上的投影为，可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反. 如图所示， 当时，的方向与的方向相同，而且； 当时，为零向量，即0 当时，的方向与的方向相反，而且 2.向量投影的数量及数量积的几何意义 （1）一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数. （2）因为 所以两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的数量 与的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义. （3）特别的，当为单位向量时，因为，所以，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量. 常见考点 考点一 平面向量数量积的定义及辨析 典例1．已知向量与的夹角是，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据数量积的定义即可得结果. 【详解】 因为向量与的夹角是，且，， 所以， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题. 变式1-1．已知向量，满足，，且与的夹角为，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数量积的定义式列式，即可解出. 【详解】 由题意可知，，解得. 故选：B． 变式1-2．在中，若，则此三角形为（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量数量积的定义式可得，即可判断. 【详解】 ∵， ∴， ∴是钝角，则△ABC是钝角三角形. 故选：A. 变式1-3．若为单位向量，则下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积的性质，以及模长的概念，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对A，夹角未知，故A错误； 对B，由于模长都为1，故B正确； 对C，为向量，故C错误； 对D，模长相减为数，故D错误. 故选：B. 考点二 平面向量数量积的几何意义 典例2．已知，，向量在方向上投影是4，则为（ ） A．12 B．8 C．-8 D．2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量数量积几何意义即可求解. 【详解】 解：设两个向量的夹角为，由题意已知，， 向量在方向上投影是4，则， 所以； 故选：A. 变式2-1．已知，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用数量积的几何意义求解即可 【详解】 解：因为，向量与向量的夹角为，是与同向的单位向量， 所以在上的投影向量为 ， 故选：D 变式2-2．若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用投影向量的公式即可求解. 【详解】 ， 在的方向上的投影向量为：， 所以在的方向上的投影向量的模长为， 故选：C. 变式2-3．向量与的夹角为，，，在上投影为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量投影的概念计算即可. 【详解】 解：在上投影为. 故选：D 典例3．在梯形中,,,,则 A．-1 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】 根据题意，由向量数量积的几何意义可知，为在方向的投影与之积，即可求得. 【详解】 由题可知，因为四边形ABCD为直角梯形，故： 在方向的投